Матеріали творчої групи математиків (Гринь Н.В..)

1. 4210011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Площі фігур
Дидактичний матеріал до уроку
геометрії

2. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011• Геометрія - це наука про
властивості фігур
• Геометрія – слово грецьке,
означає «землемірство»

3. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
З давніх часів обчислювання площ було одним
з найважливіших застосувань геометрії. У
Стародавньому Єгипті заплави річки Нілу
землероби почали обробляти приблизно в п’ятому
тисячолітті до н.е. Тоді і виникла потреба в
обчисленні площ. На підставі документів, що
дійшли до нас, вже у Х Υ – ХΥІ ст. до н.е. єгиптяни
вміли вимірювати площі прямокутника,
трикутника і трапеції за відомими тепер
правилами.
Обчислення площі або поверхні фігури
називається « квадратурою», що в перекладі з
латинської означає надання квадратної форми. У
стародавніх єгиптян квадратура якоїсь фігури
зводилася до побудови квадрата, що мав таку саму
площу. Звідси зрозуміле походження слова
«квадратура».

4. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Поняття площі
Числове значення якої має властивості
Якщо фігура розбивається
На частини , що є
простими фігурами
Площа квадрата
Додатна
величина
Площа
Мають рівні площі
Дорівнює одиниці
То площа фігури =
сумі площ її частин
проста
Рівні фігури
можна
розбити
Скінченну кількість
плоских трикутників
Геометрична
фігура
Сторона дорівнює одиниці
вимірювання

5. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Плоским
трикутником
називають скінченну
частину площини,
обмежену
трикутником

6. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Геометричну фігуру
називатимемо
простою, якщо її
можна розбити на
скінченну кількість
плоских
трикутників.

7. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Площа – це додатна величина,
числове значення якої має такі
властивості:
• рівні фігури мають рівні площі;
• якщо фігура розбивається на частини, що
є простими фігурами, то площа цієї
фігури дорівнює сумі площ її частин;
• площа квадрата зі стороною, що
дорівнює одиниці вимірювання,
дорівнює одиниці.

8. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
За одиницю
вимірювання площ
приймають площу
квадрата, сторона якого
дорівнює одиниці
вимірювання відрізків.

9. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• 1 мм 2
– площа квадрата зі стороною 1 мм
• 1 см 2
– площа квадрата зі стороною 1 см
• 1 дм 2
– площа квадрата зі стороною 1 дм
• 1 м 2
– площа квадрата зі стороною 1 м
• 1 ар - площа квадрата зі стороною 10 м,
• 1 гектар – площа квадрата зі стороною
100м

10. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Квадрат
Площа квадрата
дорівнює квадрату його
сторони
S = d2
S = a 2
Площа квадрата
дорівнює половині
квадрата його діагоналі

11. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Прямокутник
Площа прямокутника дорівнює
добутку його сусідніх сторін S = a b
Площа прямокутника дорівнює
половині квадрата його діагоналі ,
помноженій на синус кута між ними S = d2
sin φ

12. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Паралелограм
S = a hа
S = b hв
Площа паралелограма дорівнює
добутку його сторони на висоту,
проведену до неї
S = a b sin α
Площа паралелограма дорівнює
добутку його сторін на синус кута
між ними
Площа паралелограма дорівнює
половині добутку його діагоналей
на синус кута між ними
S = d1 d2 sin φ

13. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Чотирикутник
Площа чотирикутника дорівнює
половині добутку його діагоналей
на синус кута між ними
S = d1 d2 sin φ
Площа чотирикутника , в який
можна вписати коло, дорівнює
добутку його півпериметра на
радіус вписаного кола
S = p r
Півпериметр
р = (a +b + c + d )
Площа чотирикутника, навколо
якого можна описати коло,
знаходиться за формулою
S = ))()()(( dpcpbpapp −−−−

14. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Ромб
Площа ромба дорівнює
добутку квадрата його
сторони на синус кута ромба
S = d1 d2
Площа ромба дорівнює
половині добутку його
діагоналей
S = a h
Площа ромба дорівнює
добутку його сторону на
висоту
S = а2
sin α
від грецького «ромбос» - бубон
( у стародавні часи цей ударний
музичний інструмент мав форму ромба).

15. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
S = d1 d2 sin φ
Площа трапеції дорівнює
половині добутку її
діагоналей на синус кута
між ними
S = ( a + b)h
Площа трапеції дорівнює
добутку півсуми її основ на
висоту
S = h2
Площа рівнобічної
трапеції, діагоналі якої
перпендикулярні, дорівнює
квадрату її висоти
Трапеція
2
1
2
1

16. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Т
р
и
к
у
т
н
и
к
Площа трикутника дорівнює
половині добутку його сторони на
висоту, проведену до цієї сторони
S = a hа
S = b hв
S = bсsin α
Площа трикутника дорівнює
половині добутку двох його
сторін на синус кута між ними
Площа трикутника виражається
через добуток його сторін та
радіус описаного кола
Формула Герона
2
1

17. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Т
р
и
к
у
т
н
и
к
Площа рівностороннього
трикутника виражається через
його сторону
Площа прямокутного трикутника
дорівнює половині добутку його
катетів
S = a b
Площа трикутника дорівнює
добутку його півпериметра на
радіус вписаного кола
S= pr
2
1

18. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Герон Александрійський ( мабуть І ст. н.е.) –
давньогрецький математик –
енциклопедист, який працював в Александрії. Праці
його мали головним чином прикладний характер.
Він був видатним механіком, його навіть називали «
Герон – механік». У творах « Пневматика» і
«Механіка» описав автомат для відкривання дверей,
автомат для продажу «священної води», пожежний
насос тощо. Багато уваги Герон приділяв питанням
геодезії і практичному застосуванню геометрії. У
кращій з математичних праць «Метрика», він виклав
практичні правила для обчислення площ та об’ємів
геометричних фігур, які застосовували
давньогрецькі, римські та середньовічні землеміри і
техніки.

19. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Формула Герона красива, симетрична, зручна, легко
запам’ятовується, справжня формула – красуня! Цікава й історія
її творення. Називають її ім'ям Герона Олександрійського
(Старшого) не зовсім заслужено, бо вперше відкрив і обґрунтував
її Архімед. А Герон тільки через чверть тисячоліття після того
вмістив її у своїй праці «Метрика». Тому справедливіше було б
називати її формулою Архімеда або принаймні Архімеда –
Герона. Отже, про формулу Герона можна було б написати цілу
поему.
• Формула Герона досить корисна, бо за її допомогою можна
розв’язувати багато цікавих і важливих задач. І все таки
користуватися нею бажано тільки тоді, коли вона справді
доцільна.

20. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Задача
Знайти площу
трапеції, у якої
паралельні
сторони 20 см і
60 см, а
непаралельні –
13 см і 37 см
А
В
С
D
К N

21. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
І спосіб
За формулою Герона S KCD = 240 (см 2
)
S KCD = KD· CN,
KD = 60 – 20 = 40 (см), CN = 12 (см)
За формулою площі трапеції
S =( 60+20) : 2 · 12 = 480 (см2
).
• Відповідь: S = 480 (см2
).

22. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
ІІ спосіб
З трикутника CKD за теоремою косинусів
CD2
= CK2
+ KD2
– 2 CK · KD cos < CKD
знайдемо cos < CKD = cos α і sin α.
тоді CN = CK sin α.
CN =12 (см). За формулою
S =( 60+20) : 2 · 12 = 480 (см2
).
• Відповідь: S = 480 (см2
).

23. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
ІІІ спосіб
• Нехай КN = х, тоді ND = 40 – х. Для
∆ CKN і ∆ CND застосуємо теорему
Піфагора і знайдемо CN :
CN 2
= 132 – х2
, CN2
= 372 – (40 -х)2
.
З рівняння 132 – х2
= 372 – (40 -х) 2
х = 5, CN =12 (см) .
За формулою S =( 60+20) : 2 · 12 = 480
(см2
).
• Відповідь: S = 480 (см2
).

24. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
ІУ спосіб
• Продовжимо АВ і СD до перетину в т. О.
∆АОD ˜ ∆ВОС (за кутами ). Тоді
OD =1,5 · 37 = 55,5 (см), ОА =1,5 ·13 = 19,5 (см).
За формулою Герона знайдемо SAOD= 540 (см2
).
SABCD= SAOD.
SABCD=480 (см2
).
• Відповідь: S = 480 (см2
).
9
8
3
1
60
20
==
АД
ВС

25. 421
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
А
R
G
P
L
B
M
C
N
O
D
F
Задача
Один веселий кулінар
зробив торт у вигляді
правильного
шестикутника
АВСDFG . Після цього
він перетворив його у круглий торт, з’ївши
залишки. Поміркувавши, він вирішив, що
попередня форма торта була кращою, і ,
знову з’ївши залишки, отримав нарешті
правильний шестикутник LMNOPR . Яку
частину початкового торта з’їв кулінар?