комбінації

1. Комбінації геометричних тілКомбінації геометричних тіл

2. Приклади комбінації фігур

3. Можливі типи комбінацій геометричних тіл
1. Многогранник і многогранник
(призма вписана в піраміду,
або піраміда вписана в призму, та інші)
2. Многогранник і тіло обертання
(піраміда вписана в конус або циліндр або кулю; циліндр,
вписаний в піраміду або призму; куля вписана або описана
навколо піраміди та інші.)
3. Тіло обертання і тіло обертання
(конус вписаний в циліндр, куля описана
навколо циліндра,та інші.)

4. Описані навколо многогранників (призм) кулі
1. Кулю називають описаною
навколо многогранника, якщо всі
вершини многогранника лежать
на поверхні кулі(сфери). В цьому
випадку многогранник називають
вписаним в кулю.
О
А
В С
С1
В1
А1
2. Центр кулі, описаної навколо
многогранника, рівновіддалений
від всіх його вершин.
АО=ВО=ОВ1=….=Rкулі.
О
1
О
2
3. Центр кулі, описаної навколо
прямої призми, лежить на середині
висоти, яка з`єднує центри кіл,
описаних навколо основ призми.
H= О1О2 -висота призми,
R- радіус кулі,
r- радіус кола описаного навколо
основи призми:
2
2
2
2
r
H
R +





=
Rкулі
r

5. Описані навколо многогранників (призм) кулі
(продовження)
D
A
C
B
A1
C1
D
1
B
1
1. Кулю можна описати навколо
призми, тільки якщо вона пряма і її
основа многокутник навколо якого
можна описати коло.
О
2. Центр кулі, описаної навколо
прямокутного паралелепіпеда,лежить
в точці перетину діагоналей
паралелепіпеда, а кожна його
діагональ є діаметром описаної кулі.
АС1=dкулі=2R
Кулю можна описати навколо призми
якщо в основі лежить прямокутник,
квадрат.

6. Завдання:
Розв`язання:
А
В С
С1
В1
А1
Rкулі
r
О1
О2
О
222
2
2
2
2
rRHr
H
R −=⇒+





=
3.Якщо n=6,то в основі призми
правильний шестикутник.
ВО1= а - як радіус описаного кола.
.
3
2
2
2 a
RH −=
.
2
2
2
2 a
RH −=
.2 22
aRH −=
4.Якщо n=3,то
Якщо n=4,то
Якщо n=6,то Відповідь: ,
3
2
2
2
3
a
RH −= ,
2
2
2
2
4
a
RH −= .2 22
6 aRH −=
1. Якщо n=3, то трикутник в основі призми
рівносторонній.
ВО1= - як радіус описаного навколо
рівностороннього трикутника кола
3
a
2. Якщо n=4,то в основі призми квадрат.
ВО1= - як радіус описаного навколо
квадрата кола.
2
a
Правильну n-кутну призму вписано у кулю радіуса R. Ребро основи
призми дорівнює а. Знайдіть висоту призми, якщо: 1) n=3, 2) n=4,
3) n=6.

7. С1
В1
А1
А
В С
1.Кулю можна вписати в пряму призму,
якщо її основи є многокутниками,
описаними навколо кола, а висота
призми дорівнює діаметру кулі і
діаметру цього кола.
Вписані в многогранники (призми) кулі
О1
О2
О
2. Центр кулі,вписаної в пряму призму,
лежить на середині відрізка, який
з’єднує центри кіл, вписаних в основи
призми.
R
r
3. Радіус кулі дорівнює радіусу кола,
вписаного в основу призми, а діаметр
кулі дорівнює висоті призми.
4. R-радіус кулі,
r- радіус кола,вписаного в основу
призми,
H = О1О2 - висота призми і діаметр кулі.
2
H
rR ==

8. Завдання:
Знайдіть радіус кулі,вписаної в куб
з ребром 6см.
Розв`язання:
6см
О1
О2
О
D
A
C
B1. Будуємо переріз куба.
D
A
C
B
6см
О1
О2
О
R
2. Радіус вписаної кулі дорівнює
радіусу вписаного в квадрат
АВСD кола: R=О1О2:2 = 6:2 =
=3(см)
Відповідь: R=3см.

9. Описані навколо пірамід кулі
S
A
B
C
1. Кулю називають описаною
навколо піраміди, якщо всі
вершини піраміди лежать на
поверхні кулі.
О1
О
2. О1 - центр кулі; АО1=Rкулі ; О -
центр кола описаного навколо
основи.
Rкулі
3. Центр кулі,описаної навколо
довільної піраміди лежить на
прямій,перпендикулярній
площині основи, яка проходить
через центр кола,описаного
навколо основи, в точці перетину
цієї прямої з площиною,яка
перпендикулярна до бічного
ребра і проходить через його
середину.
αМ
ОО1 ┴ (АВС); М - середина SA;
α ┴ SA(М α );
α перетинає ОО1 в точці О1.
∈
4. Центр кулі може знаходитись:
•в середині піраміди;
•в площині основи;
•поза пірамідою.

10. Описані навколо пірамід кулі (продовження)
S
A
B C
D
1. Якщо вершина піраміди
проектується в центр кола
описаного навколо основи, то
центр описаної кулі лежить на
прямій, яка містить висоту
піраміди в точці перетину цієї
прямої з серединним
перпендикуляром до бічного
ребра.
О1
О
r
R
M
SO - висота піраміди; О-центр
кола описаного навколо основи
піраміди;
АО = r - радіус кола описаного
навколо основи піраміди;
М-середина ребра SА,
МО1∩SА=О1-центр описаної кулі
S1
┐
2. Якщо центр описаної кулі лежить
на висоті піраміди або на її
продовженні, то при розв`язанні
деяких задач можна продовжити
висоту піраміди до перетину з кулею
в точці S1 і з`єднати S1 з А. Тоді SS1
-діаметр кулі SAS1 - прямий, як
вписаний кут, який спирається на
діаметр.
∠

11. Завдання:
Доведіть, що центр кулі,
описаної навколо правильної
піраміди,
лежить на її осі.Розв`язання:
А
О
1. Точка О-центр описаної кулі
Опустимо перпендикуляр ОА з
центра кулі на площину основи
піраміди.
2. Нехай Х - довільна вершина
основи піраміди.
Х
3. За теоремою Піфагора
АХ2
=ОХ2
-ОА2
=R2
-OA2
.Таким
чином, АХ одне і те саме для
будь-якої вершини основи
піраміди. А це означає, що точка
А є центром кола,описаного
навколо основи піраміди. Отже
центр кулі лежить на осі піраміди,
що і потрібно було довести.
R

12. Вписана в піраміду куля
1. Куля називається вписаною в
піраміду, якщо всі грані піраміди
дотикаються до кулі.
О1
К
ВА
С
S
О1 - центр кулі, К - точка дотику з
гранню (SАС);
О1К=r (радіус кулі), О1К┴(SАС).
2. Якщо вершина піраміди
проектується в центр кола, вписаного
в основу, то центр вписаної кулі
лежить на висоті піраміди, в точці
перетину висоти з бісектрисою
лінійного кута двогранного кута при
основі піраміди.
О
SО - висота піраміди, О - центр кола,
вписаного в основу піраміди, О1О=r.
M
┐
┐
МО1 - бісектриса SМО.∠
SM┴ ВС і ОМ ┴ ВС, тому SМО -
лінійний кут двогранного кута при
основі .
ОМ - радіус кола,вписаного в
основу піраміди.
∠

13. Завдання:
Висота правильної чотирикутної
піраміди 3см. Апофема утворює з
площиною основи кут 60°.З
найдіть радіус кулі вписаної в
піраміду.
Розв`язання:
M
┐
┐
О1
S
О
60º
3. Із прямокутного трикутника
ОSM ОM=SOctg60°= (cм).3
4. Із прямокутного трикутника
ОО1M ОО1=МOtg30°= 1(cм). Відповідь: r = 1см.
1. SO=H=6см - висота піраміди;
О1- центр вписаної кулі; О1О = r -
радіус вписаної кулі; SМО=60º.∠
2. МО1 - бісектриса SМО, тому
О1МО=30º.
∠
∠

14. Циліндр, вписаний у кулю
2. Основи циліндра рівновіддалені від центра кулі.
О2
О1
О
3. Ця комбінація тіл симетрична
відносно будь-якої площини, що
проходить через центр кулі паралельно
твірним циліндра.
4. Переріз тіла такою площиною є
прямокутник АВСD і описане навколо
нього коло.
А
В
С
D
5. Прямокутник АВСD є осьовим
перерізом циліндра, а описане коло –
велике коло даної кулі.
О
А
СD
6. Діагональ АС є
діаметром
описаної кулі.
B
1. Куля називається описаною навколо циліндра,якщо основи циліндра є паралельними
перерізами кулі.
7. Центр описаної кулі лежить на середині висоти циліндра, яка проходить через вісь
циліндра: R2
=(0,5H)2
+ r2
AD= R-радіус кулі
DE=r-радіус циліндра
H-висота циліндра Er
R

15. Завдання:
У кулю вписано рівносторонній
циліндр(висота циліндра дорівнює
його діаметру). У скільки разів площа
великого круга кулі більша за площу
основи циліндра?
О1
О2
О
А
В
Розв`язання:
2. S осн.ц.=π rц
2
1. АВ=О1О2=Нц=2rц
3. Із прямокутного
рівнобедреного трикутника
ОО1В ОВ=Rк= rц 2
4. Sк=π (rц ) 2
= 2π rц
22
5. Sк: Sос.ц.=( 2π rц
2
):( π rц
2
)=2
Відповідь: у 2 рази.

16. Циліндр, описаний навколо кулі
О
О1
О2
2. Точки дотику кулі і основ циліндра є
центрами основ циліндра.
3. Площина проведена через центр кулі
паралельно твірним циліндра, є
площиною симетрії тіла.
5. Висота циліндра є діаметром кулі:
Н циліндра = О1О2= dкулі
4. Осьовий переріз даного циліндра є квадрат.
rц
О
R
A
B
C
D
D
CB
A
H
Rк
1. Куля називається вписаною в циліндр,якщо
основи і всі твірні,які утворюють циліндр
дотикаються кулі. Кулю можна вписати тільки в
рівносторонній циліндр. Rкулі=rциліндра.

17. R
Конус, вписаний в кулю
1. Вершина конуса S лежить на сфері.
S2. Комбінація є симетричною відносно
площини, що містить вісь конуса . У такому
перерізі маємо трикутник, вписаний у коло.
А В
О
S
4. Трикутник ASB рівнобедрений . Бічні сторони -
твірні конуса, коло – велике коло описаної кулі. O1
5. Радіус кулі дорівнює радіусу кола ,
описаного навколо осьового перерізу конуса.
O1
C
3.Трикутник АОS-рівнобедрений
Кут АСО-прямий
АС=СS, R-радіус кулі,
r-радіус конуса,
H-висота конуса,
R2
=(H-R)2
+r2
r
H

18. Завдання:
У рівносторонній циліндр
вписано кулю радіуса R,а в неї
вписано рівносторонній
конус(осьовий переріз конуса –
правильний трикутник).
Знайдіть відношення площ
бічних поверхонь циліндра і
конуса.
Розв`язання:
О1
О2
О3
О
В
А
С
1. Будуємо осьовий переріз циліндра.
2rконуса
rконуса
R
2. R- радіус
описаного навколо
рівностороннього
трикутника із
стороною 2rконуса
R = .
3
2r
3. Sц =2πRH=4πR2
= πr2
3
16
4. Sк=πrl=2πr2
5. Sц: Sк=8:3 Відповідь: 8:3.

19. Куля , вписана в конус
S
O
2. Площина, яка містить вісь конуса, є площиною симетрії.
3. Осьовий переріз комбінації є рівнобедрений трикутник,
у який вписане коло.
S
A B
O1
4. Трикутник – це осьовий переріз конуса, SA=SB -
твірні конуса, АВ - діаметр основи конуса, коло -
велике коло вписаної кулі. Радіус кулі дорівнює
радіусу кола вписаного в трикутник ASB.
R
1.Кулю можна вписати в будь-який конус. Куля дотикається
основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу,
що лежить в площині, паралельній основі конуса.
H
rO
22
rH
r
RH
R
−
=
−
R-радіус кулі,
r-радіус конуса,
H-висота конуса

20. Завдання:
Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом α. Визначити
радіус, висоту і твірну конуса, якщо радіус вписаної в нього кулі r.
Обчислити, якщо r = 6см, α=60 °.
S
O
A B
Розв`язання:
1. Будуємо осьовий переріз конуса.
A
B
О1О1
S
O
α
r
┐
┐4. Із АSО( О=90°):
Hц=SO=AO tgα = r tgα ctg 6( )2
=18(cм);
∠
=
2
α
SA=AO: cosα = rctg : cosα = 6 : = 12 (см) -
твірна.
2
1
3
2
α
3 3
Відповідь:Rц =6 см,Hц=18см,SA=12 .3 3
2. У рівнобедреному ASB
Центр О1 вписаного кола
лежить на висоті SO. Оскільки
О1О АВ, то О - точка дотику
вписаної кулі до основи конуса.
за умовою, О1О=r. Центром
кола,вписаного в трикутник,є
точка перетину його бісектрис.
Тому, О1АО =
⊥
.
2
α∠
2
α
3= rctg = 6ctg30° =6 (cм)
3. Із АО1О( О=90°):
Rц= ОА = О1Оctg =
2
α
∠

21. Циліндр описаний навколо призми
1. Циліндр називається описаним навколо
призми,якщо його основи - круги, описані
навколо основ призми,а твірні збігаються з
ребрами призми.
2. Вісь циліндра співпадає з висотою призми.
Hц
R
3. Радіус циліндра дорівнює радіусу кола
описаного навколо основи призми.
Завдання:
У циліндр вписано правильну шестикутну
призму. Знайдіть кут між діагоналлю її бічної
грані і віссю циліндра, якщо радіус основи
дорівнює висоті циліндра.
Розв`язання:
1. Бічні грані призми - квадрати, оскільки
сторона правильного шестикутника, вписаного у
коло, дорівнює радіусу.
R
R
R
2. Бічні ребра призми паралельні осі циліндра, тому
кут між діагоналлю грані і віссю циліндра дорівнює
куту між діагоналлю і бічним ребром.
Оскільки грані – квадрати, то цей кут дорівнює 45º. Відповідь: 45°.

22. Циліндр вписаний в призму
2. Циліндром, вписаним в призму,
називається циліндр, основи якого
-круги, вписані в основи призми, а
бічна поверхня циліндра дотикається
бічних граней призми.
3. Вісь циліндра співпадає з висотою призми.
Hц
r
4. Радіус циліндра дорівнює радіусу кола
вписаного в основу призми.
1. Дотичною площиною до циліндра
називається площина,яка проходить
через твірну циліндра й перпендикулярна
до площини осьового перерізу, що містить
цю твірну.
α ┴ β.
О1
О2
α
β

23. Піраміда вписана в конус
S
1. Конус називається описаним навколо піраміди,якщо
його основа - круг, описаний навколо основи
піраміди,вершина співпадає з вершиною піраміди,а
твірні збігаються з ребрами піраміди.
Н
О
2. Висоти конуса і піраміди збігаються на основі єдиності
прямої, перпендикулярної до площини і проведеної
через точку, яка не лежить у даній площині.
R - радіус конуса, який дорівнює радіусу описаного
навколо основи піраміди кола.
R
Завдання:
Усі бічні ребра піраміди рівні Доведіть,що вона
вписана у деякий конус.
Розв`язання:
1. SO- перпендикуляр, опущений з вершини
піраміди на площину основи;
SA- довжина бічного ребра.
А
2. Вершини основи віддалені від точки О
на одну й ту ж відстань .22
OSSAR −=
3. Звідси випливає,що наша піраміда вписана в конус, вершина якого є
вершиною піраміди, а основа - круг з центром О і радіусом R, що і потрібно
було довести.

24. 2. Радіус вписаного в основу піраміди
кола (круга) перпендикулярний
стороні многокутника, який лежить в
основі піраміди, і є проекцією твірної
конуса на площину основи.
Конус вписаний в піраміду
S
1. Конусом, вписаним в піраміду, називається
конус, основа якого – круг, вписаний у
многокутник основи піраміди, вершина співпадає
з вершиною піраміди, бічна поверхня конуса
дотикається бічних граней піраміди.
Дотичною площиною до конуса називається
площина,яка проходить через твірну конуса і
перпендикулярна до площини осьового перерізу,
проведеного через цю твірну.
Н
О
r┐

25. Конус вписаний у циліндр
О1
О
1. Основа конуса збігається з нижньою
основою циліндра, вершина конуса – центр
верхньої основи циліндра.
2. Осі, висоти, радіуси циліндра і конуса збігаються.
R
Завдання:
Знайти висоту описаного навколо конуса
циліндра, якщо твірна конуса нахилена до
площини основи під кутом 30º і дорівнює 8 см.
Розв`язання:
А
30º
1. В прямокутному трикутнику ∆ АОО1: кут
О1АО дорівнює 30º, як кут між похилою та
площиною основи.
8 см
2. Катет, який лежить проти кута в 30º вдвічі
менше гіпотенузи. Тому висота циліндра
дорівнює 8:2=4(см).
Відповідь: 4 см.

26. Об’єми тіл
Для простих тіл об’єм(V) - це додатна
величина,числове значення якої має
такі властивості:
V1 V2=
1. Рівні тіла мають рівні об’єми.
V V1 V2
=
+
2. Якщо тіло розбито на
частини, які є простими
тілами,то об’єм цього тіла
дорівнює сумі об’ємів його
частин.
3. Об’єм куба,ребро якого
дорівнює одиниці довжини,
дорівнює одиниці. 1(мм,см,м..)
V=1 (мм3
,см3
,м3
..)

27. Об’єм призми
1. Об’єм будь-якої призми дорівнює
добутку площі основи та висоти.
Vпр=SоснH. Sосн
H
2. Для прямокутного паралелепіпеда
V=abc, де a, b, c- його виміри.
a
b
c
3. Для куба V=а3
, де а- довжина ребра.
a
4.Для похилої призми об’єм можна обчислити як
добуток площі перпендикулярного та довжини
бічного ребра.
V=Ql. ┐
l Q

28. Об’єм піраміди
S
Н
О
1. Об’єм будь-якої піраміди
дорівнює третині добутку площі
її основи та висоти:
V= SоснH.
3
1
2.Об’єми подібних тіл відносяться
як куби їх відповідних лінійних
розмірів.
Sосн
а1а2
V1
V2
V1:V2=(a1)3
:(a2)3

29. Об’єми круглих тіл
1.Об’єм циліндра дорівнює добутку площі його
основи та висоти.
Vц= SоснH Vц= πR2
H.
2.Об’єм конуса дорівнює одній третині добутку
площі його основи та висоти.
3
1
Vц= SоснH Vц= πR2
H.3
1
Н
Sосн
3.Об’єм кулі
Vк= πR3
.3
4
Н
R
Vкульового сегмента
=πH2
(R- )3
H
Vкульового сектора
= πR2
H3
2

30. Тестові завдання
1.Навколо кулі, радіусом 2см, описано куб. Знайти об`єм куба.
а) 8см3
б)16см3
г) 128см3
в) 64см3
2. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник зі сторонами 6см і 4см.
Більша сторона прямокутника є твірною циліндра.Знайти об`єм
циліндра.
б) 12πсм3
в) 48πсм3
г)12см3
а) 24πсм3
3. Основою прямої призми є прямокутний трикутник з катетами 5см і
8см.Знайти об`єм призми, якщо її бічне ребро дорівнює 10см.
а) 400см3
в) 130см3
г) 390см3
б) 200см3
4. Прямокутний трикутник з катетами 3см і 4см обертається навколо
більшого катета. Знайти об`єм тіла обертання.
а) 48πсм3
в) 36πсм3
г) 15πсм3
б) 12πсм3
5. Основою піраміди є ромб зі стороною 5см і висотою 4см.Знайти
об`єм піраміди, якщо її висота дорівнює 9см.
а) 90см3
б) 180см3
в) 54см3
г) 60см3

31. Тестові завдання
6. Об’єм кулі дорівнює πсм3
. Знайти її діаметр.
а) 4см б) 1см г) смв) 2см
7. Прямокутник із стороною а і діагоналлю d обертається навколо даної
сторони. Визначити об`єм тіла обертання.
б) π(d2
+a2
)a в) πa2
d г) πa2
см3
а) π(d2
-a2
)a
8. Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник зі стороною а
Визначити об`єм конуса.
а) в) г)б)
9. Сторона основи правильної трикутної призми а, а бічне ребро .
Визначити об`єм призми.
а) в) г)б)
10. Основою піраміди є ромб з діагоналями d1 і d2.Знайти об`єм
піраміди, якщо її висота дорівнює h.
а) б) в)
3
4
3
4
22
ad −
3
21 hdd
6
)(
2
2
2
1 hdd +
2
)(
2
2
2
1 hdd +
г)
3
21 hdd
48
33
aπ
24
33
aπ
3
3
aπ
16
33
a
3l
12
3 2
la
4
32
la 32
la
4
3 2
la