1. Ю.Марчук Курс лекцій з математики
ТІЛА ОБЕРТАННЯ. ОБ'ЄМИ ТІЛ ОБЕРТАННЯ ТА ПЛОЩІ ЇХ ПОВЕРХОНЬ
ТІЛА І ПОВЕРХНІ ОБЕРТАННЯ
Розглянемо плоский многокутник ABCD, який обертається навколо прямої AD.
При цьому кожна його точка, що не лежить на прямій AD, описує коло з центром на цій прямій.
Таким чином, многокутник ABCD, обертаючись навколо прямої AD, описує у просторі деяке тіло
обертання. Поверхня цього тіла називається поверхнею обертання. Пряма AD – називається віссю
обертання цього тіла.
Будь-яка площина, що проходить через вісь тіла обертання,
перетинає це тіло і утворює осьовий переріз тіла обертання.
(BCC'B' – осьовий переріз).
ЦИЛІНДРИ
Розглянемо тіло обертання – циліндр.
Прямим круговим циліндром називають тіло, утворене обертанням прямокутника навколо
його сторони.
Нехай прямокутник АВОО1 обертається навколо прямої ОО1.
ОО1 – вісь циліндра.
Точки О і О1 – центри кругів, які є основами циліндра.
ОА і О1В – радіуси основ, радіуси циліндра. (ОА=О1В)
АВ описує поверхню, яка є бічною поверхнею циліндра.
Відрізки бічної поверхні, паралельні і рівні відрізку АВ, називаються
твірними циліндра.
Висота циліндра – це відрізок, перпендикулярний до основ циліндра,
кінці якого належать основам.
Висота циліндра дорівнює твірним циліндра.
Осьовим перерізом циліндра є прямокутник із сторонами, що дорівнюють висоті
циліндра і діаметру основи циліндра.
КОНУСИ
Прямим круговим конусом називається тіло, утворене обертанням плоского прямокутного
трикутника навколо одного із його катетів.
Якщо прямокутний трикутник SOA буде обертатись
навколо катета SO, то його гіпотенуза SA буде описувати
бічну поверхню, а катет ОА – круг (основу) тіла обертання,
яке називають прямим круговим конусом.
Основні елементи конуса:
S – вершина конуса;
ОА – радіус основи конуса;
SA – твірна конуса;
SO – висота конуса.
Пряма SO називається віссю прямого кругового конуса.

2. Тема: Тіла та поверхні обертання. Об'єми тіл обертання та площі їх поверхонь
Висота конуса – це перпендикуляр, проведений з вершини конуса до площини його основи. У
прямого кругового конуса основа перпендикуляра збігається з центром основи.
Осьовий переріз конуса утворює площина, яка проходить через його вісь.
SAB і SKM – осьові перерізи прямого кругового конуса.
Трикутники SAB і SKM – рівнобедрені, тобто SA = SB = SK = SM.
Площина, яка перетинає конус паралельно його основі, ділить цей конус на дві частини. Одна
частина – це конус, подібний до даного, а друга частина дістала назву зрізаного конуса.
Основні елементи зрізаного конуса:
Основи зрізаного конуса – це круги з центрами О1 і О2 та радіусами
А1О1 і А2О2.
А1А2, В1В2 – твірні зрізаного конуса. А1А2 = В1В2
О1О2 – висота зрізаного конуса.
Пряма О1О2 – вісь зрізаного конуса.
Осьовим перерізом зрізаного конуса є рівнобічна трапеція А1А2В2В1.
Зрізаний конус є тілом обертання. Його можна утворити обертанням
прямокутної трапеції А1А2О2О1 навколо осі обертання О1О2.
КУЛЯ І СФЕРА
Куля – це тіло, утворене обертанням півкруга навколо його діаметра, як осі.
Куля – це тіло, яке складається з усіх точок простору, що знаходяться від даної точки на відстані,
не більшій за дану.
Сферою або кульовою поверхнею називається межа кулі.
Всі точки сфери є точками кульової поверхні.
Зображення кулі Зображення сфери
Точка О – центр кулі (сфери).
АО – радіус кулі (сфери). AO = OB = OC = OD = OM
Діаметр кулі – це відрізок, який сполучає дві точки кульової поверхні і проходить через центр
кулі. АВ = CD – діаметр кулі.
Точки А і В, C і D називаються діаметрально протилежними точками кулі.
Теорема.
Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра,
опущеного з центра кулі на січну площину.
АО1 – радіус перерізу кулі. АО1 ⊥ ОО1
Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною
площиною.
Переріз кулі діаметральною площиною називається великим кругом.
Переріз сфери діаметральною площиною називається великим колом.

3. Ю.Марчук Курс лекцій з математики
Теорема.
Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії. Центр кулі є її центром симетрії.
Площина, яка проходить через точку кульової поверхні перпендикулярно до радіуса кулі,
проведеного в цю точку, називається дотичною площиною.
Теорема.
Дотична площина має з кулею тільки одну спільну точку – точку дотику.
Пряма, яка належить дотичній до кулі площині і проходить через точку дотику, називається
дотичною до кулі в цій точці.
Теорема.
Лінія перетину двох сфер є коло.
Точка О – центр кола, яке є лінією перетину двох сфер.
ОМ – радіус цього кола.
Многогранник називається вписаним в кулю, якщо всі його вершини лежать на поверхні кулі.
Многогранник називається описаним навколо кулі, якщо всі його грані дотикаються до поверхні
кулі.
ОБ'ЄМ ТА ПЛОЩА ЦИЛІНДРА
Дане тіло має об'єм V, якщо існують прості тіла, які містять його, і прості тіла, які містяться в
ньому з об'ємами, що як завгодно мало відрізняються від V.
Для визначення формули об'єму циліндра, використовують прості тіла – п-кутну призму, вписану у
циліндр, та п-кутну призму, описану навколо циліндра.
Висота циліндра дорівнює висоті вписаної і описаної призм.
Площа основи циліндра Sц буде більшою за площу основи вписаної призми S1 і буде меншою за
площу основи описаної призми S2. Тобто, S1 < Sц < S2.
При п→∞, площі основ призм S1 і S2 будуть прямувати до площі основи циліндра Sц. Тоді об'єми
вписаної і описаної призм будуть прямувати до добутку S·H, де S = Sц. Врахувавши, що Sц = πR2
,
одержимо формулу для обчислення об'єму циліндра:
Vц = πR2
H
Розгортка поверхні циліндра:
Для обчислення площі поверхні циліндра використовують формули:
Sпов = Sбіч + 2·Sосн, Sосн = πR2
Sбіч = 2πRH
Sпов = 2πRH + 2·πR2
= 2πR(H + R)
ОБ'ЄМ ТА ПЛОЩА КОНУСА
Для одержання формули об'єму конуса розглянемо вписану у конус п-кутну піраміду і описану
навколо конуса п-кутну піраміду.
Висота конуса дорівнює висоті вписаної і описаної пірамід.
Площа основи конуса Sк буде більшою за площу основи вписаної піраміди S1 і буде меншою за
площу основи описаної піраміди S2. Тобто, S1 < Sк < S2.

4. Тема: Тіла та поверхні обертання. Об'єми тіл обертання та площі їх поверхонь
При п→∞, площі основ пірамід S1 і S2 будуть прямувати до площі основи конуса Sк. Тоді об'єми
вписаної і описаної пірамід будуть прямувати до добутку
3
1
·S·H, де S = Sк.
Врахувавши, що Sк = πR2
, одержимо формулу для обчислення об'єму конуса:
Vк =
3
1
πR2
H
Об'єм зрізаного конуса визначається за формулою: )(
3
1 2
221
2
1.. RRRRHV кз ++= π
R1, R2 – радіуси основ зрізаного конуса.
Розгортка поверхні конуса:
R – радіус основи конуса,
l – твірна конуса,
С – дуга, що дорівнює довжині кола основи конуса.
Площа бічної поверхні конуса:
Sбіч = π·R·l, l – довжина твірної конуса.
Площа повної поверхні конуса:
Sпов = π·R·l + π·R2
Площа бічної поверхні зрізаного конуса:
Sбіч = π·(R1 + R2)·l, l – довжина твірної зрізаного конуса.
Площа повної поверхні зрізаного конуса:
2
2
2
121 )( RRlRRSпов πππ ++⋅+=
ОБ'ЄМ ТА ПЛОЩА ПОВЕРХНІ КУЛІ
Тілом обертання називається таке тіло, яке площинами, перпендикулярними до деякої прямої (осі
обертання), перетинається по кругах з центрами на цій прямій.
Формула для визначення об'єму тіла обертання або частини тіла, що знаходиться між
паралельними площинами х = а, х = b:
∫=
b
a
dxxfV )(2
π
Формула об'єму кулі:
3
3
4
RV π=
Кульовий сегмент – це частина кулі, яку відтинає від неї січна площина.
Формула об'єму кульового сегмента:






−=
3
2 H
RHV π
R – радіус кулі, Н – висота сегмента

5. Ю.Марчук Курс лекцій з математики
Кульовий сектор – це тіло, яке складається з конуса і кульового
сегмента, що мають спільну основу.
Формула об'єму кульового сектора:
HRV 2
3
2
π=
R – радіус кулі, Н – висота кульового сегмента
Формула площі сфери (кульової поверхні): S = 4πR2