2. Перед нами старовинна книга.
На обкладинці тиснення золотом
«Рішення та постанови
Паризької Академії наук за 1775
рік».
Відкриваємо книгу і читаємо:
3. «Академія постановила: віднині і
наперед не розглядати пропонуємих
їй розв язань задач трисекції кута,
квадратури круга, подвоєння куба, а
також машин, які мають
здійснити вічний рух.»
4. Що за дивна постанова?
Навіщо знадобилася спеціальна постанова
високоавторитетного наукового закладу с
приводу задач, розв'язання яких не становить
складності для любого школяра?
Не робіть, одначе, поспішних висновків.
Паризька Академія мала на увазі
не зовсім звичайні математичні
“винаходи”.
5. Мистецтво побудови геометричних фігур за
допомогою циркуля і лінійки було дуже
розвинено у Древній Греції. Та древнім
геометрам ніяк не вдавалося виконати деякі
побудови тільки за допомогою циркуля і
лінійки, а побудови, які виконувалися за
допомогою інших інструментів, не вважалися
геометричними.
До числа таких задач відноситься і задача на
подвоєння куба.
6. Згідно з античною легендою,
одного разу на
острові Делос вибухнула
епідемія чуми.
Жителі острова звернулися
до дельфійського оракула, і той
повідомив, що необхідно подвоїти
жертовник святилища Аполона, який мав
форму куба. Жителі Делоса спорудили ще
один такий же куб і поставили його на
перший, але епідемія не припинилася.
7. Тоді жителі пішли до Платона и
спитали його, що вони зробили не
так. І Платон відповів, що Бог
хотів цією задачею пристидити
греків за зневагу до математики і
неповагу до геометрії.
8. З тих пір делійською задачею займалися кращі математики
античного світу, було запропоновано кілька рішень, проте ніхто
не зміг виконати таку побудову, використовуючи тільки циркуль
та лінійку, тому поступово склалося загальне переконання в
нерозв'язності такого завдання.
9. Розв’язування задачі представлено на малюнку (а), де з точки А
(х=2) проводимо пряму під кутом α, яку при перетині з вісями
ОХ і ОУ повертаємо на кут 90°. Після подвійного повороту ми
повинні попасти в точку D (у=1). При цій умові відрізок ОС буде
дорівнювати 2 ⅓
, а об’єм кубу з гранню, рівной відрізку ОС, буде
дорівнювати 2. Вся складність в тому, що попасти в точку D
відразу неможливо, і в цьому нерозв'язність цієї задачі.
10. Розв’язування задачі,що пропонується, зображено на малюнку
(б). Проводимо пряму з точки А під довільним кутом α1 до вісі
ОХ, на осі ОУ отримаємо точку В'. Приймемо відрізок DB‘ за
діаметр деякого кола, проводимо його (на малюнку не
показано) і при перетині кола з віссю ОХ отримаємо точку С'.
Далі, прийнявши відрізок АС' за діаметр слідуючого кола,
проводимо його і отримуємо на осі ОХ точку В''. Приймаємо
відрізок DB'' за діаметр слідуючого кола і т.д.
Рухаючись такими шагами, ми спостерігаємо, що точка С'
переміщується по осі ОХ до точки С, а точка В''
переміщується по осі ОУ до точки В.
Таким чином, задача вирішується пошагово і можна отримати
точний розв’язок, але при нескінченно великій кількості шагів.
11. Існували способи наближеного рішення цього завдання за
допомогою інших інструментів і кривих.
Так,уже в IV ст. до н. е.давньогрецькі математики вміли
знаходити корінь рівняння х3
= 2а3
як абсциссу точки перетину
двох парабол х2
= ау і у2
= 2ах
12. Гіпократ Хіоський (кінець V ст. до н. е.) показав, що задача
зводиться до знаходження «двох середніх пропорційних» х і у
для даних відрізків а і в, тобто до розв‘язування рівняння
а : х = х : у = у : в
Архіт Тарентський (початок IV ст. до н. е.) запропонував
розв'язок, заснований на перетині тора, конуса та кругового
циліндра.
13. Платон (перша половина IV ст. до н. е.) запропонував
механічний розв'язок, заснований на побудові трьох
прямокутних трикутників з потрібним співвідношенням
сторін.
Менехм (середина IV ст. до н. е.) знайшов два розв'язки цієї
задачі, засновані на використанні конічних перетинів. У
першому розв'язку відшукується точка перетину двох
парабол, а у другому - параболи та гіперболи.
14. Пьєр Лоран Ванцель ,
французький математик, у 1837
році, публікує свою саму відому
роботу з доведенням класичних
задач подвоєння куба і трисекції
кута.
І хоча подвоєння куба нерозв'язно
за допомогою циркуля і лінійки,
його можна здійснити, якщо крім
циркуля і лінійки використовувати
деякі додаткові інструменти.
Наприклад, подвоєння куба
можливо здійснити побудовою за
допомогою плоского орігамі.
15. Древні греки так і не
знайшли розв‘язання задачі, яке б
можна було виконати за допомогою
циркуля та лінійки, а також не
змогли довести нерозв‘язність цієї
задачі.
Та при спробах подвоїти куб
були придумані різноманітні методи
і зроблені вагомі математичні
відкриття.
