math calculus

1. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 68
Δ
Ο x2
x1
f(x1)
f(x2)
x
y
Μάθημα 4ον
«Μονοτονία»
Σκοπός και στόχος του μαθήματος
1. Να ξέρεις τους ορισμούς της γνήσιας αύξουσας, της γνήσιας φθίνουσας
συνάρτησης και της σταθερής σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της.
2. Να διακρίνεις από τη γραφική παράσταση τη μονοτονία.
3. Να αποδεικνύεις με σύνθεση τη μονοτονία μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα
Δ.
4. Να διακρίνεις πότε δεν μπορείς να χρησιμοποιήσεις τη τεχνική της σύνθεσης
οπότε να χρησιμοποιείς τη τεχνική της αποσύνθεσης για τη μονοτονία
5. Να ξέρεις το λόγο μεταβολής και τη τεχνική για τη μονοτονία.
6. Να ξέρεις να λύνεις εξισώσεις και ανισώσεις χρησιμοποιώντας τη μονοτονία
και να ξεχωρίζεις πότε μια εξίσωση ή ανίσωση δεν μπορεί να λυθεί με
αλγεβρικές μεθόδους οπότε να βρίσκεις τις προφανείς λύσεις της.
7. Να ξέρεις τους ορισμούς για τα ολικά ακρότατα και τις τεχνικές εύρεσής
τους.
Ας δούμε στη συνέχεια το μάθημα στην ανάπτυξή του.
Μονοτονία συνάρτησης
Μια πραγματική συνάρτηση f λέγεται:
¾ Γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού
της, όταν:
για κάθε 1 2
x ,x Δ
∈ με 1 2
x x
ισχύει 1 2
f(x ) f(x )
ή ισοδύναμα
για κάθε 1 2
x ,x Δ
∈ με 1 2
x x
ισχύει 1 2
f(x ) f(x )
.
Για να δηλώσουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα
διάστημα Δ,
γράφουμε f
∧
↑
¾ Γνησίως φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου
ορισμού της, όταν:
για κάθε 1 2
x ,x Δ
∈ με 1 2
x x
ισχύει 1 2
f(x ) f(x )
ή ισοδύναμα
για κάθε 1 2
x ,x Δ
∈ με 1 2
x x
ισχύει 1 2
f(x ) f(x )
.
Για να δηλώσουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα
διάστημα Δ, γράφουμε f
∨
↓ στο Δ.
¾ Αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ, όταν:
για κάθε 1 2
x ,x Δ
∈ με 1 2
x x
ισχύει 1 2
f(x ) f(x )
≤ ή ισοδύναμα
για κάθε 1 2
x ,x Δ
∈ 1 2
x x
ισχύει 1 2
f(x ) f(x )
≥ .
Δ
Ο x2
x1 x
y
f(x2)
f(x1)

2. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 69
Για να δηλώσουμε ότι η f είναι αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε f ↑ Δ.
¾ Φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ, όταν:
για κάθε 1 2
x ,x Δ
∈ με 1 2
x x
ισχύει 1 2
f(x ) f(x )
≥
ή ισοδύναμα
για κάθε 1 2
x ,x Δ
∈ με 1 2
x x
ισχύει 1 2
f(x ) f(x )
≤ .
Για να δηλώσουμε ότι η f είναι φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε f ↓ στο Δ.
¾ Γνησίως μονότονη σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν η f είναι γνησίως αύξουσα ή
γνησίως φθίνουσα στο Δ.
Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της f είναι ένα διάστημα Δ και η f είναι γνησίως μονότονη
σ’ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η f είναι γνησίως μονότονη.
¾ Μονότονη σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν η f είναι αύξουσα ή φθίνουσα στο Δ.
Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της f είναι ένα διάστημα Δ και η f είναι μονότονη σ’ αυτό,
τότε θα λέμε, απλώς, ότι η f είναι μονότονη.
Για παράδειγμα, η συνάρτηση 2
f(x) x
= :
• είναι γνησίως αύξουσα στο [0, )
+∞ , αφού για 1 2
0 x x
≤
έχουμε: 2 2
1 2
x x
⇔ 1 2
f(x ) f(x )
.
• είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ,0]
−∞ , αφού για 1 2
x x 0
≤
έχουμε:
2 1
0 x x
≤ − − ⇔ 2 2
2 1
0 x x
≤ ⇔ 1 2
f(x ) f(x )
.
¾ Μια πραγματική συνάρτηση f καλείται σταθερή στο πεδίο ορισμού της Α, αν για κάθε
x A
∈ ισχύει f(x) c
= , όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός.
Μέθοδοι
ª Α. «Πως μελετάμε τη μονοτονία συνάρτησης;»
Α. Για να μελετήσουμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης f αφού βρούμε το πεδίο ορισμού της Α, αν
δεν δίνεται, εργαζόμαστε ως εξής:
¾ 1ος
Τρόπος (κατασκευαστικός)
Θεωρούμε δυο τυχαία 1 2
x ,x A
∈ με 1 2
x x
και προχωρώντας κατασκευαστικά δημιουργούμε τα
1
f(x ) και 2
f(x ) καταλήγοντας σε μια ανίσωση της μορφής:
• 1 2
f(x ) f(x )
, οπότε f γνήσια αύξουσα, ή
• 1 2
f(x ) f(x )
≤ , οπότε f αύξουσα, ή
• 1 2
f(x ) f(x )
, οπότε f γνήσια φθίνουσα, ή
• 1 2
f(x ) f(x )
≥ , οπότε f φθίνουσα, ή
• 1 2
f(x ) f(x )
= , οπότε f σταθερή.
O x
y=x2
y

3. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 70
Θέμα 48ον
Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f με τύπο 3
f(x) x x 2
= + +
Λύση
Το πεδίο ορισμού της f είναι f
A = — .
Έστω 1 2 f
x ,x A
∈ = — με 1 2
x x
(1).
Από την (1) υψώνοντας στο κύβο (περιττή δύναμη) έχουμε 3 3
1 2
x x
(2).
Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε:
3 3
1 1 2 2
x x x x
+ +
3 3
1 1 2 2
x x 2 x x 2
+ + + +
1 2
f(x ) f(x )
,
Άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο f
A = — .
Θέμα 49ον
Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f με τύπο x
f(x) e−
=
Λύση
Το πεδίο ορισμού της f είναι f
A [0, + )
= ∞ .
Έστω 1 2 f
x ,x A [0, + )
∈ = ∞ με 1 2
x x
(1).
Από την (1) 1 2 1 2
x x x x
⇔ − − (2).
Επειδή η συνάρτηση x
y e
= είναι γνήσια αύξουσα από την (2) έχουμε 1 2
x x
e e
− −
⇔ 1 2
f(x ) f(x )
,
επομένως η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο f
A [0, + )
= ∞ .
Θέμα 50ον
Έστω η συνάρτηση f με τύπο x
f(x) e 2x 1
= + − .
i. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f.
ii. Να βρεθεί το f(0).
iii. Να βρεθούν εκείνα τα f
x A
∈ για τα οποία η γραφική παράσταση f
C είναι:
α. Πάνω από τον άξονα x x
′ ,
β. Κάτω από τον άξονα x x
′ .
Λύση
Το πεδίο ορισμού της f είναι f
A = — .
i. Έστω 1 2 f
x ,x A
∈ = — με 1 2
x x
(1).
Από την (1) έχουμε:
1 2
x x
e e
(2) γιατί η συνάρτηση x
y e
= είναι γνήσια αύξουσα και
1 2 1 2
2x 2x 2x 1 2x 1
⇔ − − (3).
Προσθέτοντας κατά μέλη τις (2) και (3) έχουμε:
1 2
x x
1 1
e 2x 1 e 2x 1
+ − + −
1 2
f(x ) f(x )
,
Άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο f
A = — .
ii. 0
f(0) e 2 0 1 1 1 0
= + ⋅ − = − = .
iii. Επειδή αποδείξαμε ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα και f(0) 0
= έχουμε τα ακόλουθα:
α. Αν x 0 f(x) f(0) f(x) 0
⇔ ⇔ .
β. Αν x 0 f(x) f(0) f(x) 0
⇔ ⇔ .

4. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 71
Συμπέρασμα:
¾ Για κάθε x ( , 0)
∈ −∞ η f
C είναι κάτω από τον x x
′ .
¾ Για κάθε x (0, + )
∈ ∞ η f
C είναι πάνω από τον x x
′ .
¾ 2ος
Τρόπος (αποσυνθετικός)
Θεωρούμε δυο τυχαία 1 2
x ,x A
∈ με 1 2
f(x ) f(x )
και με ισοδυναμίες αποσυνθέτουμε τον τύπο
της f οπότε καταλήγουμε σε μια ανίσωση της μορφής:
• 1 2
x x
, οπότε f γνήσια αύξουσα, ή
• 1 2
x x
, οπότε f γνήσια φθίνουσα ή
θεωρούμε δυο τυχαία 1 2
x ,x A
∈ με 1 2
f(x ) f(x )
≤ και με ισοδυναμίες αποσυνθέτουμε τον τύπο
της f οπότε καταλήγουμε σε μια ανίσωση της μορφής:
• 1 2
x x
, οπότε f αύξουσα, ή
• 1 2
x x
, οπότε f φθίνουσα.
Θέμα 51ον
Δίνεται η συνάρτησηf με f(x)=
1 x
ln
1 x
−
+
. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία.
Λύση:
Πρόσεξε ιδιαίτερα τη τεχνική της λύσης!!!
Έστω 1 2
x ,x A
∈ . Υποθέτουμε ότι 1 2
f(x ) f(x )
και θα δείξουμε με ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΕΣ ότι ή 1 2
x x
ή
1 2
x x
, οπότε λόγω των ισοδυναμιών θα εξάγουμε το κατάλληλο συμπέρασμα για τη μονοτονία.
Η f ορίζεται για τις τιμές του x για τις οποίες είναι:
1 x
0
1 x
−
+
Ù (1-x)(1+x) 0 Ù 1- x2
0 Ù x2
1 Ù 1 x 1
− . Επομένως Αf = (-1, 1).
Για κάθε x1, x2 ∈ Af έχουμε:
f(x1) f(x2) Ù 1 2
1 2
1 x 1 x
ln ln
1 x 1 x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ +
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔ (η συνάρτηση y=lnx
∧
↑ )
1 2
1 2
1 x 1 x
1 x 1 x
− −
+ +
(1). Είναι 1 + x1 0 και 1 + x2 0 οπότε κάνοντας απαλοιφή παρονομαστών στην
(1) έχουμε:
(1- x1)(1 + x2)(1-x2)(1+x1) ⇔
1 + x2- x1- x1x2 1 + x1- x2- x1x2 ⇔
2x22 x1 Ùx2 x1,
επομένως λόγω των ισοδυναμιών έχουμε αποδείξει ότι για κάθε 1 2
x ,x A
∈ με 1 2 1 2
x x f(x ) f(x )
⇔ ,
άρα η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο Αf = (-1, 1).
¾ 3ος
Τρόπος (λόγος μεταβολής)
Έστω 1 2
x ,x A
∈ με 1 2
x x
≠ . Σχηματίζουμε το λόγο (ή πηλίκο) μεταβολής της συνάρτησης
f , δηλαδή το κλάσμα: 1 2
1 2
f(x ) f(x )
x x
−
λ =
−
, 1 2
x x
≠ .
¾ Αν 0
λ η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α.
Αν 0
λ η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Α.
Αν 0
λ ≥ η f είναι αύξουσα στο Α.
Αν 0
λ ≤ η f είναι φθίνουσα στο Α.

5. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 72
Προσοχή!
¾ Αν 0
λ = τότε η f είναι σταθερή στο Α.
Δουλεύοντας με το λόγο (ή πηλίκο) μεταβολής της συνάρτησης f , δηλαδή το κλάσμα:
1 2
1 2
f(x ) f(x )
x x
−
λ =
−
όταν γίνουν οι αντικαταστάσεις, πάντα στον αριθμητή εμφανίζεται ο
παράγοντας 1 2
x x
− , ο οποίος στη συνέχεια απλοποιείται, δηλαδή
( )
1 2 1 2
1 2
1 2
x x g(x ,x )
g(x ,x )
x x
−
λ = =
−
, οπότε πλέον μελετάμε το πρόσημο του 1 2
g(x ,x )
Θέμα 52ον
Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f με τύπο f(x) x 2
= + .
Λύση
Η f ορίζεται για τις τιμές του x για τις οποίες είναι:
x 2 0 x 2
+ ≥ ⇔ ≥ − , επομένως Αf =[-2, +∞).
Έστω 1 2 f
x ,x A
∈ με 1 2
x x
≠ . Σχηματίζουμε το λόγο (ή πηλίκο) μεταβολής της συνάρτησης f ,
δηλαδή το κλάσμα:
1 2
1 2
f(x ) f(x )
x x
−
λ = =
−
1 2
1 2
x 2 x 2
x x
+ − +
= =
−
( ) ( )
( )( )
1 2 1 2
1 2 1 2
x 2 x 2 x 2 x 2
x x x 2 x 2
+ − + ⋅ + + +
=
− + + +
( ) ( )
( )( )
2 2
1 2
1 2 1 2
x 2 x 2
x x x 2 x 2
+ − +
= =
− + + +
( ) ( )
( )( )
1 2
1 2 1 2
x 2 x 2
x x x 2 x 2
+ − +
=
− + + +
( )( )
1 2
1 2 1 2
x x
x x x 2 x 2
−
= =
− + + + 1 2
1
0
x 2 x 2
+ + +
, οπότε η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο
Αf =[-2, +∞).
ª Β. «Πως λύνουμε μια ανίσωση ή μια εξίσωση με χρήση της μονοτονίας;»
¾ 1η
Περίπτωση
Για να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής f(g(x)) f(h(x))
, x∈ Δ , εργαζόμαστε ως εξής:
• Μελετάμε τη μονοτονία της συνάρτησης f για x∈ Δ .
• Αν f γνήσια αύξουσα τότε g(x) h(x)
, x∈ Δ κ.λ.π.
• Αν f γνήσια φθίνουσα τότε g(x) h(x)
, x∈ Δ κ.λ.π.
Όμοια για τις περιπτώσεις f(g(x)) f(h(x))
≤ ή f(g(x)) f(h(x))
ή f(g(x)) f(h(x))
≥ .
Θέμα 53ον
Έστω η συνάρτηση f με τύπο x
f(x) e 2x
= + . Να λυθεί η ανίσωση 2 2
f(2x 3x 3) f(x x)
− + + .

6. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 73
Λύση
Για να λύσουμε την ανίσωση θα μελετήσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης f .
Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού f
A = — .
Έστω 1 2 f
x ,x A
∈ = — με 1 2
x x
(1).
Από την (1) έχουμε: 1 2
x x
e e
(2) γιατί η συνάρτηση x
y e
= είναι γνήσια αύξουσα.
Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε:
1 2
x x
1 1
e x 1 e x
+ + ⇔ 1 2
f(x ) f(x )
,
Άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο f
A = — .
Αφού η f είναι γνήσια αύξουσα στο f
A = — , θα έχουμε
2 2 2 2
f(2x 3x 3) f(x x) 2x 3x 3 x x
− + + ⇔ − + + ⇔
2
x 4x 3 0 (x 1) (x 3) 0 1 x 3
− + ⇔ − ⋅ − ⇔ , οπότε η ανίσωση έχει λύσεις όλα τα x (1, 3)
∈ .
¾ 2η
Περίπτωση
Για να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής g(x) h(x)
= , g h
x A A
∈ ∩ , η οποία δεν μπορεί να επιλυθεί με
αλγεβρικές μεθόδους, θα εργαζόμαστε ως εξής:
i. Βρίσκουμε τις προφανείς λύσεις της εξίσωσης g(x) h(x)
= , g h
x A A
∈ ∩ .
ii. Φέρνουμε όλους τους όρους της εξίσωσης g(x) h(x)
= στο α! μέλος και σχηματίζουμε τη
συνάρτηση f(x) g(x) h(x)
= − , g h
x A A
∈ ∩ , την οποία τη μελετάμε ως προς τη μονοτονία.
iii. Τέλος δείχνουμε, χρησιμοποιώντας τα συμπεράσματα της μονοτονίας, ότι οι προφανείς λύσεις της
εξίσωσης είναι και οι μοναδικές!
Για να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής g(x) h(x)
ή g(x) h(x)
≤ ή g(x) h(x)
ή g(x) h(x)
≥ ,
g h
x A A
∈ ∩ , η οποία δεν μπορεί να επιλυθεί με αλγεβρικές μεθόδους, θα εργαζόμαστε ακριβώς όμοια.
Θέμα 54ον
Να λυθεί η εξίσωση 5 x lnx 2
− = + .
Λύση
Για να λύσουμε αυτή την εξίσωση, η οποία δεν μπορεί να επιλυθεί με αλγεβρικές μεθόδους, θα
φέρουμε όλους τους όρους στο α! μέλος και θα σχηματίσουμε μια συνάρτηση την οποία θα
μελετήσουμε ως προς τη μονοτονία. Στη συνέχεια θα βρούμε τις προφανείς λύσεις της εξίσωσης οι
οποίες θα είναι και μοναδικές!
Σχηματίζουμε τη συνάρτηση f(x) 5 x lnx 2
= − − − .
Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού f
A (0, 5]
= .
Έστω 1 2 f
x ,x A (0, 5]
∈ = με 1 2
x x
(1) 1 2
x x
⇔ − − 1 2 1 2
5 x 5 x 5 x 5 x
⇔ − − ⇔ − − .(2)
Από την (1) επειδή η συνάρτηση y lnx
= είναι γνήσια αύξουσα συνεπάγεται
1 2 1 2
lnx lnx lnx lnx
⇔ − − ⇔ 1 2
lnx 2 lnx 2
− − − − .(3)
Προσθέτοντας κατά μέλη τις (2) και (3) έχουμε:
1 1 2 2 1 2
5 x lnx 2 5 x lnx 2 f(x ) f(x )
− − − − − − ⇔ , οπότε η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα.
Παρατηρούμε ότι f(1) 5 1 ln1 2 0
= − − − = . Έχουμε:
Για x 1 f(x) f(1) f(x) 0
⇔ ⇔ .

7. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 74
Cf
f(x0)
f(x)
O
x
y
x0 x
y=−x2
+1
1
O x
y
y=|x−1|
1
O x
y
Για x 1 f(x) f(1) f(x) 0
⇔ ⇔ . Επομένως για κάθε x 1
≠ είναι f(x) 0
≠ και f(1) 0
= , άρα η
εξίσωση 5 x lnx 2
− − = έχει μοναδική λύση την x 1
= .
Ακρότατα συνάρτησης
Μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι:
• Παρουσιάζει στο 0
x A
∈ (ολικό) μέγιστο, το 0
f(x ) , όταν
0
f(x) f(x )
≤ για κάθε x A
∈ .
• Παρουσιάζει στο 0
x A
∈ (ολικό) ελάχιστο, το 0
f(x ) , όταν
0
f(x) f(x )
≥ για κάθε x A
∈ .
Παραδείγματα
¾ Η συνάρτηση 2
f(x) x 1
= − + παρουσιάζει μέγιστο στο
0
x 0
= , το f(0) 1
= , αφού f(x) f(0)
≤ για κάθε x∈ — .
¾ Η συνάρτηση f(x) | x 1|
= − παρουσιάζει ελάχιστο στο
0
x 1
= , το f(1) 0
= , αφού f(x) f(1)
≥ για κάθε x∈ — .
Cf
f(x0)
f(x)
O
x
y
x0
x

8. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 75
O
y=ημx
2π 5π/2
3π/2
−π/2
π/2 π
1
−1
y
x
O x
y
y=x3
¾ Η συνάρτηση f(x) ημx
= παρουσιάζει μέγιστο, το y 1
= , σε
καθένα από τα σημεία
π
2kπ
2
+ , k ∈ Ÿ και ελάχιστο, το
y 1
= − , σε καθένα από τα σημεία
π
2kπ
2
− , k Z
∈ , αφού
1 ημx 1
− ≤ ≤ για κάθε x R
∈ .
¾ Η συνάρτηση 3
f(x) x
= δεν παρουσιάζει ούτε μέγιστο, ούτε
ελάχιστο, αφού είναι γνησίως αύξουσα.
Όπως είδαμε στα προηγούμενα παραδείγματα, άλλες συναρτήσεις παρουσιάζουν μόνο μέγιστο,
άλλες μόνο ελάχιστο, άλλες και μέγιστο και ελάχιστο και άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.
Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται (ολικά) ακρότατα της f.
Μέθοδοι
ª «Πως μελετάμε ως προς τα ακρότατα μια συνάρτηση;»
Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα εργαζόμαστε ως εξής:
¾ 1η
Περίπτωση
Αν είναι γνωστή η γραφική παράσταση f
C της f, τότε:
• Εντοπίζουμε το κατώτερο σημείο της, αν υπάρχει, έστω το
( )
0 0
x , f(x ) , οπότε η τεταγμένη του σημείου αυτού αποτελεί
το ελάχιστο της συνάρτησης, δηλαδή min 0
y f(x )
= .
0 min
f(x ) y
= (Ελάχιστο)
• Εντοπίζουμε το ανώτερο σημείο της, αν υπάρχει, έστω το
( )
0 0
x , f(x ) , οπότε η τεταγμένη του σημείου αυτού αποτελεί
το μέγιστο της συνάρτησης, δηλαδή max 0
y f(x )
= . 0 max
f(x ) y
= (Μέγιστο)

9. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 76
Προσοχή!
Προσοχή!
Στο ακόλουθο σχήμα έχουμε:
max 1
y f(x )
= ,
min 2
y f(x )
= . 1 max
f(x ) y
=
1
x
min 2
y f(x )
=
2
x
Μέγιστο
Ελάχιστο
¾ 2η
Περίπτωση
Αν είναι γνωστός ο τύπος της συνάρτησης, τότε βρίσκουμε το σύνολο τιμών της και από τη μορφή
που έχει, βγάζουμε αντίστοιχα συμπεράσματα για τα ακρότατα.
Ενδεικτικά, αν αυτό είναι της μορφής:
• 1 2
y , y
⎡ ⎤
⎣ ⎦ τότε 1 min
y y
= και 2 max
y y
= ,
• )
1 2
y , y
⎡
⎣ ή )
1
y , +∞
⎡
⎣ τότε 1 min
y y
= ,
• ( 1 2
y , y ⎤
⎦ ή ( 2
, y
−∞ ⎤
⎦ τότε 2 max
y y
= ,
• ( )
1 2
y , y ή ( )
, +
−∞ ∞ ή ( )
1
y , +∞ ή ( )
2
, y
−∞ τότε δεν έχει ακρότατα.
Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f μπορούμε να εργασθούμε με έναν από τους
επόμενους τρόπους:
ª 1ος
τρόπος. Σύμφωνα με τη διαδικασία που περιγράψαμε στο μάθημα 1.
ª 2ος
τρόπος. Βρίσκουμε τη μονοτονία της συνάρτησης.
Ενδεικτικά έχουμε:
• Αν f είναι γνησίως αύξουσα στο [ ]
α, β , τότε min
f(α) y
= και max
f(β) y
= ,
• Αν f είναι γνησίως αύξουσα στο [ )
α, β , τότε min
f(α) y
= και δεν υπάρχει max
y ,
• Αν f είναι γνησίως αύξουσα στο ( )
α, β , ή στο ( )
, +
−∞ ∞ , ή στο ( )
α, +∞ ή στο ( )
, β
−∞ τότε
δεν υπάρχουν τα min
y και max
y ,
• Αν f είναι γνησίως αύξουσα στο ( ]
α, β , τότε δεν υπάρχει min
y και max
f(β) y
= ,
• Αν f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ ]
α, β , τότε min
f(β) y
= και max
f(α) y
= ,
• Αν f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ )
α, β , τότε δεν υπάρχει min
y και max
f(α) y
= ,
• Αν f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ]
α, β , τότε min
f(β) y
= και δεν υπάρχει max
y .
• Αν f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( )
α, β , ή στο ( )
, +
−∞ ∞ , ή στο ( )
α, +∞ ή στο ( )
, β
−∞
τότε δεν υπάρχουν τα min
y και max
y .

10. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 77
Γνωρίζουμε από προηγούμενες τάξεις ότι για τη δευτεροβάθμια πολυωνυμική συνάρτηση με τύπο
2
f(x) αx βx
= + + γ , με α 0
≠ και x∈ — , ισχύουν τα εξής:
¾ Αν α 0
, τότε:
• η συνάρτηση είναι:
ª γνήσια φθίνουσα στο
β
,
2α
⎛ ⎤
−∞ −
⎜ ⎥
⎝ ⎦
και
ª γνήσια αύξουσα στο
β
, +
2α
⎡ ⎞
− ∞⎟
⎢
⎣ ⎠
,
• έχει σύνολο τιμών το
Δ
, +
4α
⎡ ⎞
− ∞⎟
⎢
⎣ ⎠
, όπου 2
β -4αγ
Δ = ,
• για 0
β
x
2α
= − παρουσιάζει ελάχιστο το min
β
y f
2α 4α
Δ
⎛ ⎞
= − = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, όπου 2
β -4αγ
Δ = .
¾ Αν α0 , τότε:
• η συνάρτηση είναι:
ª γνήσια αύξουσα στο
β
,
2α
⎛ ⎤
−∞ −
⎜ ⎥
⎝ ⎦
και
ª γνήσια φθίνουσα στο
β
, +
2α
⎡ ⎞
− ∞⎟
⎢
⎣ ⎠
,
• έχει σύνολο τιμών το
Δ
- , -
4α
⎛ ⎤
∞
⎜ ⎥
⎝ ⎦
, όπου 2
β -4αγ
Δ = ,
• για 0
β
x
2α
= − παρουσιάζει μέγιστο το max
β
y f
2α 4α
Δ
⎛ ⎞
= − = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, όπου 2
β -4αγ
Δ = .
¾ 3η
Περίπτωση
Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα Α, έχει ελάχιστο τον αριθμό
0
y ∈— θα αποδεικνύουμε ότι:
• Για κάθε x A
∈ ισχύει η ανίσωση 0
f(x) y
≥ ,
• Υπάρχει 0
x A
∈ τέτοιο ώστε να ισχύει 0 0
f(x ) y
= .
Θέμα 55
Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f με τύπο f(x) 1 x 2
= − − .
Λύση
1. Πρέπει f(x)∈— x 2 0
⇔ − ≥ ⇔ , x 2
≥ άρα f
D [2, )
= +∞ .
2. y 1 x 2 x 2 1 y
= − − ⇔ − = − .

11. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 78
Επειδή λοιπόν x 2 0
− ≥ θα είναι και 1 y 0
− ≥ . Οπότε έχουμε 2
x 2 (1 y)
− = − με y 1
≤ ⇔
2
x 2 (1 y)
= + − με y 2
≤ .
3. f
x D x 2
∈ ⇔ ≥ ⇔ 2 2
2 (1 y) 2 (1 y) 0
+ − ≥ ⇔ − ≥ , σχέση που ισχύει για κάθε y , άρα τελικά
f
f(D ) ( , 1]
= −∞ .
4. Συμπέρασμα: Η συνάρτηση f δεν έχει ελάχιστο, ενώ έχει μέγιστο με max
y 1
= .
Θέμα 56
Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f με τύπο f(x) x 1
= − αν 4 x 3
− ≤ ≤ .
Λύση
Για κάθε 1 2
x ,x [ 4, 3]
∈ − με 1 2
x x
⇔ 1 2
x 1 x 1
− − ⇔ 1 2
f(x ) f(x )
, άρα η f είναι γνήσια αύξουσα
στο A [ 4, 3]
= − , οπότε [ ] [ ]
f(A) f( 4), f(3) 5, 2
= − = − . Άρα min
y 5
= − και max
y 2
= .
Θέμα 57
Να μελετηθεί η συνάρτηση f με 2
f(x) x 4x 3
= − + , x∈ — , ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα.
Λύση
Έχουμε: 0
2 2
α=10
β 4
x 2
2α 2 1
β 4α=( 4) 4 1 3 4
⎧
⎪ −
⎪
= − = − =
⎨
⋅
⎪
Δ = − − − ⋅ ⋅ =
⎪
⎩
, άρα:
• η συνάρτηση είναι:
γνήσια φθίνουσα στο ( ]
, 2
−∞ και γνήσια αύξουσα στο [ )
2, +∞ ,
• έχει σύνολο τιμών το [ )
1, +∞
• για 0
x 2
= έχει ελάχιστο το min
4
y 1
4 1
= − = −
⋅
.
Θέμα 58
Αν
2
x 1 10 x 0
f(x)
x 1 0 x 10
⎧ + αν − ≤ ≤
⎪
= ⎨
+ αν ≤ ≤
⎪
⎩
.
Να δείξετε ότι ο τύπος ορίζει συνάρτηση η οποία να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα.
Λύση
¾ Έστω 2
1
f (x) x 1
= + , [ ]
1
x A 10, 0
∈ = − και 2
f (x) x 1
= + , [ ]
2
x A 0, 10
∈ = .
Οι τύποι για κάθε x 0
≠ ορίζουν συνάρτηση γιατί σε κάθε x αντιστοιχίζεται ένα μοναδικό y∈— .
Θα πρέπει όμως για να ορίζεται τελικά συνάρτηση να ισχύει 1 2
f (0) f (0)
= .
Πράγματι 1
f (0) 1
= και 2
f (0) 1
= , οπότε ο τύπος
2
x 1 10 x 0
f(x)
x 1 0 x 10
⎧ + αν − ≤ ≤
⎪
= ⎨
+ αν ≤ ≤
⎪
⎩
ορίζει συνάρτηση.
¾ Η συνάρτηση 2
y x 1
= + έχει:

12. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 79
0
2
α=10
β
x 0
2α
β 4α= 4 1 1 4
⎧
⎪
⎪
= − =
⎨
⎪
Δ = − − ⋅ ⋅ = −
⎪
⎩
,
άρα είναι γνήσια φθίνουσα στο ( ]
, 0
−∞ και γνήσια αύξουσα στο [ )
0, +∞ , οπότε και ο
περιορισμός της στο [ ]
1
A 10, 0
= − είναι γνήσια φθίνουσα συνάρτηση, άρα
[ ] [ ]
1 1
f (A ) f(0), f(10) 1, 101
= = .
¾ Η συνάρτηση y x 1
= + έχει πεδίο ορισμού το [ )
1, +
− ∞ και είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση
γιατί για κάθε [ )
1 2
x ,x 1, +
∈ − ∞ με 1 2
x x
⇔
1 2
x 1 x 1
+ + ⇔
1 2
x 1 x 1
+ + ⇔
1 2
f(x ) f(x )
,
οπότε και ο περιορισμός της στο [ ]
2
A 0, 10
= είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση,
άρα [ ]
2 2
f (A ) f(0), f(10) 1, 11
⎡ ⎤
= = ⎣ ⎦ .
Συμπέρασμα:
Η συνάρτηση
2
x 1 10 x 0
f(x)
x 1 0 x 10
⎧ + αν − ≤ ≤
⎪
= ⎨
+ αν ≤ ≤
⎪
⎩
είναι:
• γνήσια φθίνουσα στο [ ]
1
A 10, 0
= − και γνήσια αύξουσα στο [ ]
2
A 0, 10
= ,
• έχει σύνολο τιμών το
[ ] [ ]
f(A) 1, 101 1, 11 1, 101
⎡ ⎤
= ∪ =
⎣ ⎦ ,
• έχει min
y 1
= και max
y 101
= .
Θέμα 59
Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f με τύπο
2 x
f(x)
2 x
+ ημ
=
− ημ
.
Λύση
Αποδείξαμε στο λυμένο Θέμα 24 στη σελίδα 22 είναι το f
1
f(D ) ,3
3
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
, οπότε έχει min
1
y
3
= και
max
y 3
= .
Θέμα 60
Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f με τύπο
2
2
x 1
f(x)
x 5x 6
+
=
− +
.
Λύση
Αποδείξαμε στο λυμένο Θέμα 23 στη σελίδα 21 είναι το f
f(D ) ( , 14 2] [ 14 2, )
= −∞ − − ∪ − + +∞ ,
οπότε δεν έχει ακρότατα.

13. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 80
y
5
2
1
-3 -2 -1 5 x
Θέμα 61
Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f με τύπο x 1
f(x) e− −
= , [ ]
x 2, 101
∈
Λύση
Το πεδίο ορισμού της f είναι [ ]
f
A 2, 101
= .
Έστω [ ]
1 2 f
x ,x A 2, 101
∈ = με 1 2
x x
(1).
Από την (1) 1 2 1 2
x 1 x x 1 x 1
− − ⇔ − − − − (2).
Επειδή η συνάρτηση x
y e
= είναι γνήσια αύξουσα από την (2) έχουμε 1 2
x 1 x 1
e e
− − − −
⇔
1 2
f(x ) f(x )
, επομένως η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο [ ]
f
A 2, 101
= , άρα έχει
2 1
min
y f(2) e e
−
= = = και 101 1 10
max
y e e
−
= = .
Προτεινόμενες Ασκήσεις
Μονοτονία συνάρτησης
Θέμα 127
Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες
γνησίως φθίνουσες
i. f(x) 1 x
= −
ii. f(x) 2ln(x 2) 1
= − −
iii. 1 x
f(x) 3e 1
−
= +
iv. 2
f(x) (x 1) 1
= − − , x 1
≤ .
Θέμα 128
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R είναι περιττή. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα
[α, β] με α, β 0, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστημα [- β, - α].
Θέμα 129
Η γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f φαίνεται στο
σχήμα. Από αυτό να βρείτε:
i. το πεδίο ορισμού της f,
ii. το σύνολο τιμών της f,
iii. το διάστημα και το είδος μονοτονίας της f,
iv. τα ακρότατα της f,
v. τον τύπο της f, αν είναι γνωστό ότι:
στο διάστημα [- 1, 0) είναι υπερβολή της μορφής
α
y
x
=
και στο διάστημα [0, 2) είναι παραβολή της μορφής y =
αx2
.
Θέμα 130
i. Για κάθε α 0, να δείξετε ότι
1
2
α
α + ≥ .
ii. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης
1
f(x) x
x
= + με x 0.

14. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 81
Θέμα 131
Έστω f, g δύο συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ, οι οποίες παίρνουν θετικές τιμές
για κάθε x∈Δ και οι οποίες είναι γνησίως αύξουσες στο Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
1 1
f g
+ είναι
γνησίως φθίνουσα στο Δ.
Θέμα 132
Δίνονται οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο R, οι οποίες είναι γνησίως μονότονες και έχουν το ίδιο
είδος μονοτονίας (είναι και οι δύο γνησίως αύξουσες ή και οι δύο γνησίως φθίνουσες).
i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα.
ii. Να εξετάσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων fof και gog.
iii. Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης ( )
f(x) ln lnx
= , x 1.
Θέμα 133
Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της συνάρτηση f με f(x) 1 x
= − ημ , x∈[0, 2π].
Θέμα 134
Έστω η συνάρτηση f(x)=x(x-2), x ∈ [0, 2].
i. Να αποδείξετε ότι f (x) ≤ 0 για κάθε x ∈ Df=[0, 2].
ii. Να αποδείξετε ότι f(x)=(x-1)2
-1 και στη συνέχεια να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της f είναι το
διάστημα [ 1,0]
− .
iii. Να κάνετε πρόχειρη γραφική παράσταση της f.
v. Να βρείτε τις τιμές του x όταν y=0 και όταν
3
y
4
= .
Θέμα 135
i. Να λυθεί η εξίσωση
e
lnx
x
= , x 0
.
ii. Να λυθεί η ανίσωση
e
ln x
x
, x 0
.
Θέμα 136
i. Να λυθεί η εξίσωση lnx 1 x
= − .
ii. Να λυθεί η ανίσωση lnx 1 x
− .
Θέμα 137
i. Να λυθεί η εξίσωση x
lnx 2e x 1 2e
+ + − = .
ii. Να λυθεί η ανίσωση x
lnx 2e x 1 2e
+ + − .
Θέμα 138
i. Να λυθεί η εξίσωση 10 x lnx 3
− − = .
ii. Να λυθεί η ανίσωση 10 x lnx 3
− − .
Θέμα 139
Να λυθούν οι εξισώσεις:
i. x lnx 1
+ = ,
ii. 3x ln x 3
+ = .

15. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 82
Θέμα 140
Να λυθούν οι εξισώσεις:
i. x
2 x 11
+ = ,
ii. x x x
6 8 10
+ = .
Θέμα 141
Αν 0 α β , να αποδειχθεί η ανισότητα: e e ln
α β β
−
α
.
Θέμα 142
Αν α β , να αποδειχθεί η ανισότητα: e e
β α
α −β − .
Θέμα 143
Αν 0 α β , να αποδειχθεί η ανισότητα: ln
α
β − α
β
.
Θέμα 144
Αν 0 α β , να αποδειχθεί η ανισότητα: eβ−α
α
β
.
Θέμα 145
Έστω η συνάρτηση f με τύπο x
f(x) e x
= + . Να λυθεί η ανίσωση 2 2
f(2x x 3) f(x 3x)
− + + .
Θέμα 146
Έστω η συνάρτηση f με τύπο f(x) 4 x lnx
= − − . Να λυθεί η ανίσωση f(3 x) f(6 2x)
− − .
Θέμα 147
Έστω η συνάρτηση f με τύπο f(x) x lnx
= + . Να λυθεί η ανίσωση 2
f(x 1) f(4x 2)
+ − .
Θέμα 148
Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο — και ισχύει f(x) 0
για κάθε x∈—, να
δειχθεί ότι η συνάρτηση με τύπο
2
f (x) 3
g(x)
3f(x)
−
= είναι γνήσια φθίνουσα στο —.
Θέμα 149
Δίνονται οι συναρτήσεις
x 5 3
f(x) e x x x 1
= + + + − και 3
g(x) 2 x x lnx
= − − − .
i. Να αποδείξετε ότι είναι γνήσια μονότονες.
ii. Να λυθούν οι ανισώσεις f(x) 0
και g(x) 0
.
Θέμα 150
Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο — και ισχύει 0 f(x) 1
για κάθε x∈—, να
δειχθεί ότι η συνάρτηση g με τύπο 2
f(x)
g(x)
1 f (x)
=
+
είναι γνήσια αύξουσα στο —.
Θέμα 151
i. Να λυθεί η ανίσωση
x x x
x x
5 3 4
x
3 4
ln e e
5
+
+
− .
ii. Να λυθεί η εξίσωση
2e
ln(x e)
x
= −

16. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 83
Θέμα 152
Η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο — και για κάθε x∈— ισχύει (f f f f f)(x) x
=
D D D D .
Να δειχθεί ότι f(x) x
= για κάθε x∈—.
Θέμα 153
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο x
f(x) e x 1
= + − .
i. Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση στο —.
ii. Δείξτε ότι f(0) 0
= .
iii. Να μελετήσετε τη θέση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f σε σχέση με τον
άξονα των τετμημένων x x
′ .
iv. Αφού πρώτα αποδείξετε ότι για κάθε x∈— ισχύει ότι 2
x 2x 1
≥ − , στη συνέχεια δείξτε ότι
2
f(x ) f(2x 1) 0
− − ≥ για κάθε x∈—.
Θέμα 154
Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο —. Αν υπάρχει πραγματικός αριθμός α
τέτοιος ώστε να ισχύει f( ) 0
α = , να δειχθεί ότι f( 3) f( 4) 0
α − ⋅ α + .
Θέμα 155
Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f,g,h που έχουν πεδίο ορισμού το —. Αν οι συναρτήσεις
f και h είναι γνήσιες αύξουσες στο — και για κάθε x∈— ισχύει f(x) g(x) h(x)
, δείξτε ότι:
(f f )(x) (g g)(x) (h h)(x)
D D D για κάθε x∈—.
Θέμα 156
Έστω η πραγματική συνάρτηση f που έχει πεδίο ορισμού το —. Αν για κάθε x∈— και για
κάθε y 0
ισχύει f(x) f(x y)
+ , δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα.
Θέμα 157
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο x
f(x) ( 1)x 2 1
= α + α − − α + με 0 1
α ≠ .
i. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.
ii. Να λυθεί η εξίσωση f(x) 0
= .
Θέμα 158
Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f,g οι οποίες έχουν πεδίο ορισμού το —. Αν η συνάρτηση
f είναι γνήσια αύξουσα στο — και ισχύει f(x) g(x)
για κάθε x∈—, να δειχθεί ότι είναι και
(f f )(x) (g g)(x)
D D για κάθε x∈—.
Θέμα 159
Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f,g οι οποίες έχουν πεδίο ορισμού το —. Αν η συνάρτηση
f είναι γνήσια φθίνουσα στο — και ισχύει f(x) g(x)
για κάθε x∈—, να δειχθεί ότι είναι και
(f g)(x) (g f)(x)
D D για κάθε x∈—.
Θέμα 160
Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει γνήσια αύξουσα συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — για την
οποία να ισχύει f (x) 2
e x x
= − για κάθε x 0
και η οποία να είναι γνήσια αύξουσα στο —.
Θέμα 161
Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει γνήσια μονότονη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — για την
οποία να ισχύει f(f(x)) x 0
+ = για κάθε x∈—.

17. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 84
Θέμα 162
Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο — και ισχύει f(x) 0
για κάθε x∈—, να δειχθεί
ότι η συνάρτηση g με τύπο
f(x)
g(x)
1 f(x)
=
+
είναι γνήσια αύξουσα στο —.
Ακρότατα συνάρτησης
Θέμα 163
Έστω οι συναρτήσεις f, g με τύπους:
i. f(x) 3x 1
= − + , x [ 2, 2]
∈ − .
ii. 2
g(x) 3x 12x 7
= − + − .
Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται
αυτά.
Θέμα 164
Έστω οι συναρτήσεις f, g με τύπους:
i. 2
f(x) x 3x 2
= − + .
ii. 2
g(x) x 4x 8
= − + .
Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται
αυτά.
Θέμα 165
Έστω οι συναρτήσεις f, g με τύπους:
i. ( )
2
f(x) ln 1 x 1
= + + .
ii.
x 4
g(x)
x 3
+
=
−
, x [ 2, 2] [4, 8]
∈ − ∪ .
Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται
αυτά.
Θέμα 166
Έστω οι συναρτήσεις f, g με τύπους:
i. 2
f(x) x 4 x 2
= συν + συν − .
ii. g(x) x 3 x 2
= ημ − συν + , x [ , 4π]
∈ −π .
Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται
αυτά.
Θέμα 167
Έστω οι συναρτήσεις f, g με τύπους:
i.
x 1 1 x 2
f(x)
2x 1 3 x 4
+ αν − ≤ ≤
⎧
= ⎨
− αν ≤ ≤
⎩
.
ii.
2
2
x 1 1 x 2
g(x)
x x 1 2 x 4
⎧ + αν − ≤ ≤
= ⎨
+ − αν ≤
⎩
.
Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται
αυτά.
Θέμα 168
Έστω οι συναρτήσεις f, g με τύπους:

18. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 85
i.
2
2
x x 1
f(x)
x x 1
− +
=
+ +
.
ii.
2
2
x 1
g(x)
x 2x 1
+
=
+ +
.
Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται
αυτά.
Θέμα 169
Έστω η συνάρτηση f με f(x) 1 x 4
= λ − + + .
Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ — αν min
y 2
= .
Θέμα 170
Έστω η συνάρτηση f με 2
f(x) x 1
= λ − + .
Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈— αν max
y 4
= .
Θέμα 171
Έστω η συνάρτηση f με
2
2
x x 1
f(x)
x x 1
+ λ +
=
+ μ +
.
Να βρεθούν οι τιμές των , μ
λ ∈ — αν min
y 2
= και max
y 2
= .
Θέμα 172
Έστω η συνάρτηση f με 2
4x
f(x)
x
+ μ
=
+ λ
, 0
λ .
Να βρεθούν οι τιμές των , μ
λ ∈ — αν min
y 1
= − και max
y 4
= .
Θέμα 173
Έστω η συνάρτηση f με
2
2
x x
f(x)
x 1
+ λ + μ
=
+
.
Να βρεθούν οι τιμές των , μ
λ ∈ — αν min max
y y 0
+ = .

19. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 86
Φύλλο εργασίας
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

20. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 87
9.