20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis

20 επαναληπτικά θέματα
για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ λυκείου
(τεύχος 8 – σχολικό έτος 2020-2021)
Γράφουν οι μαθηματικοί:
Λιτηερίνοσ Χριςτόδουλοσ
Μποφηασ Δθμιτρθσ
Πάτςθσ Ανδρζασ
Τρφφων Παφλοσ
ελεφκερθ διάκεςθ για εκπαιδευτικοφσ ςκοποφσ από:
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
Απαγορεφεται η όποιασ μορφήσ εμπορική χρήςη!
Τα πνευματικά δικαιώματα των θεμάτων
ανήκουν αποκλειςτικά ςτουσ δημιουργοφσ τουσ
ISBN: 973-613-5528-08-4
(Ν. 2121/93 και 2557/97).

20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
1
Θέμα 1ο
Έζηω ζπλερήο ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ ην  
0, , γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:
   0
f x  γηα θάζε  
0,
x 

 
 
2
4
lim 4 ln 2 1
2
x
f x
x


 
 
 

 
 H f είλαη παξαγωγίζηκε ζην δηάζηεκα  
1, κε     
ln 1
f x f x x
  
 H f είλαη παξαγωγίζηκε ζην δηάζηεκα  
0,1 κε     2
1 ln x
f x f x
x

 
   
 
Α. Να ππνινγηζηεί ην  
2
f
Β. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f
Γ. Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη:
i. αθξηβώο έλα  
0,
o
x   ώζηε   3
o
f x 
ii. ηνπιάρηζηνλ έλα
1
,
2
o
x

 
 
 
ηέηνην ώζηε    
2 2 1 11
o
x f 

 
Γ. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε    
2
2
x
g x e x x

   .
Να δείμεηε όηη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηωλ ,
f g :
i. Σην δηάζηεκα  
0,1 έρνπλ ηνπιάρηζηνλ έλα θνηλό ζεκείν.
ii. Γελ δέρνληαη θνηλή εθαπηνκέλε.

2
Θέμα 2ο
Έζηω ζπλάξηεζε f δύν θνξέο παξαγωγίζηκε θαη κε ζπλερή 2ε
παξάγωγν ζην R , γηα ηελ
νπνία ηζρύεη:
    
  2
1
x f x f x x
   γηα θάζε x R

 Ζ f
C εθάπηεηαη ηεο επζείαο  : 2 1
y x
   ζην ζεκείν  
 
1, 1
f

Α. Να δεηρζεί όηη  
1 3
f  θαη  
1 2
f  
Β. Να δεηρζεί όηη    
0 1
f f
  
Γ. Να απνδεηρζεί όηη ε f
C έρεη ηνπιάρηζηνλ έλα:
i. θνηλό ζεκείν κε ηελ επζεία (ε) ζην δηάζηεκα  
1,0
 .
ii. πηζαλό Σεκείν Κακπήο.
Γ. Να απνδείμεηε όηη, γηα θάζε    
1,0 0,
x    , ππάξρνπλ  
1 2
, 1, x
    ηέηνηα ώζηε
   
1 2 1
f f
 
 
 
Δ. Να ππνινγηζηεί ην όξην
 
   
2
2
1
8
lim
1 1
x
f x x
x x


 
 
ΣΤ. Δπηπιένλ δίλεηαη όηη:
   0
f x
  γηα θάζε 1
x 
  
2 3
f  
i. Να δεηρζεί όηη ε f
C είλαη θπξηή ζην δηάζηεκα  
1,
ii. Να ππνινγηζηεί ην  
lim
x
f x

iii. Να βξεζεί ην R
  ώζηε ην όξην
   
   
 
2
1
lim
x
f x f x
f x f x



 

λα είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο.

3
Θέμα 3ο
Έζηω ζπλάξηεζε f δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην R θαη κε ζπλερή 2ε
παξάγωγν, γηα ηελ
νπνία ηζρύνπλ:
   0
f x
  , γηα θάζε x R


 
4
1
lim
4 4
x
f x x
x


 

    
2
4 2
f x x
    , γηα θάζε x R

Α. Να δεηρζεί όηη  
4 2
f 
Β. Να απνδεηρζεί όηη ε κνλαδηθή ξίδα ηεο εμίζωζεο   0
f x
  είλαη ην 4
x 
Γ.
i. Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα  
0,4
  ηέηνην ώζηε   4
f 
 
ii. Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα  
0,4
o
x  ηέηνην ώζηε  
o o
f x x
 
iii. Να δεηρζεί όηη ε f είλαη θνίιε.
Γ. Να κειεηεζεί ε f ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα θαη λα βξεζεί ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο.
Δ. Να ιπζεί ε εμίζωζε:  
  3 0
4
f f x f x


 
 
  
 
 
 
 
ΣΤ. Να ππνινγηζηεί ην όξην
   
 
2 3
2
5 6 2021
lim
1
x
f f x x
x x
 

   
 
, γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ
R
 

4
Θέμα 4ο
Έζηω ζπλάξηεζε f , παξαγωγίζηκε ζην R, κε ηύπν:
 
 
 
2 , 0
ln , 0
x
e x x
f x
x x


 
   

 
   

, κε , , R
    θαη 0
  .
Δπηπιένλ δίλεηαη όηη ε αζύκπηωηε ηεο f
C ζην  είλαη ν άμνλαο x x
 .
Α. Να απνδείμεηε όηη 0
  .
Β. Να βξείηε ηηο παξακέηξνπο α, β.
Γ. Να δεηρζεί όηη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R.
Γ.
i. Να κειεηήζεηε ηελ f ωο πξνο ηα θνίια θαη ηα ζεκεία θακπήο.
ii. Να απνδείμεηε όηη   2
2 0
x f x x x
    γηα θάζε 0
x 
Δ. Να απνδεηρζεί όηη ε εμίζωζε
     
2
0
f x f x f x
x x


  
 

έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην
δηάζηεκα  
0, , κε 0
  .
ΣΤ. Να δεηρζεί όηη ηζρύεη:    
2 2
2 1 1
3 2 ln 2 1
x x
x e e x
 
    , γηα θάζε x R

Ε. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε    
ln ln 2
g x x x
   , κε  
0,2
x .
i. Να νξηζηεί ε ζπλάξηεζε g f
 .
ii. Να δεηρζεί όηη ε g f
C  ηέκλεη ηνλ άμνλα x x
 ζε κνλαδηθό ζεκείν.

5
Θέμα 5ο
Έζηω ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ  
0,
f
D   γηα ηελ νπνία ηζρύεη:
   0
f x  , γηα θάζε  
0,
x 
  
   
2
2 f f x x f x
 , γηα θάζε  
0,
x 
  
1 2
f 
Α. Να δείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη ζηε ζπλέρεηα:
i. λα βξείηε ην  
1
1
f 
.
ii. λα ιπζεί ε εμίζωζε
 
 
   
   
 
2
ln 1
f x f x
e f x e f x f x
   
Β. Γίλεηαη επίζεο όηη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην f
D κε ζπλερή πξώηε παξάγωγν.
i. Να δείμεηε όηη ε f δελ έρεη αθξόηαηα
ii. Να δείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα
iii. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ κία εθαπηνκέλε ηεο f
C πνπ λα δηέξρεηαη από ην
ζεκείν  
3,0

iv. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη αθξηβώο έλα  
1,2
o
x  ώζηε ην όξην
 
 
lim
o
x x
f x
f x x

 
 
 

 
λα κελ
ππάξρεη θαη ζηε ζπλέρεηα λα δείμεηε όηη 2
o
x 
v. Να απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ  
1 2
, 1,2
x x  ώζηε    
1 2 1
f x f x
 
 
vi. Να δείμεηε όηη ε εμίζωζε   1
f x x x x
 
    , ζην δηάζηεκα ,
2


 
 
 
, έρεη κνλαδηθή
ξίδα.

6
Θέμα 6ο
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε  
4
ln 2
4
x
f x x x x
   , κε πεδίν νξηζκνύ ην  
0,
Α. Να δεηρζεί όηη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε ηέκλεη ηνλ άμνλα x x
 ζε κνλαδηθό ζεκείν κε
ηεηκεκέλε 2
o
x  .
Β. Γίλεηαη όηη  
   
2 2
ln 2
4


     

 

  
 
  
 
 
, κε 0  
 
i. Να απνδεηρζεί όηη 1
 
  .
ii. Να απνδεηρζεί όηη     
3
4 4 1 ln 1 7
f    
    
Γ. Σην δηάζηεκα  
1, o
x λα δεηρζεί όηη:
i. Υπάξρεη κνλαδηθή εθαπηνκέλε (ε) ηεο f
C πνπ λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν  
2,0

ii. Ζ (ε) δελ έρεη άιια θνηλά ζεκεία κε ηε f
C .
iii. Ζ εμίζωζε
   
1
0
1
o
f x f x
x x x

 
 
έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα.
Γ. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε g , νξηζκέλε ζην δηάζηεκα  
0, , κε ηύπν    
2
f x
g x e
 .
i. Να κειεηεζεί ε g ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα.
ii. Να δείμεηε όηη ε εμίζωζε    
g x f e

 έρεη αθξηβώο ηξεηο ιύζεηο.
iii. Να δείμεηε όηη ε g
C έρεη ηνπιάρηζηνλ έλα πηζαλό Σεκείν Κακπήο.

7
Θέμα 7ο
Έζηω ζπλάξηεζε   2 1
ln 2
2
f x x x
   , κε πεδίν νξηζκνύ ην  
0, .
Α. Από όιεο ηηο εθαπηόκελεο ηεο f
C λα βξεζεί ε  

 πνπ έρεη ην κηθξόηεξν ζπληειεζηή
δηεύζπλζεο.
Β. Να δεηρζεί όηη ε εμίζωζε   0
f x  έρεη κνλαδηθή ξίδα o
x , κε 1
o
x  .
Γ.
i. Να απνδεηρζεί όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη λα βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο 1
f 
.
ii. Να ιπζεί ε αλίζωζε 1 2 3
ln 2 2 4
2
o
f x x x x
  
   
 
 
Γ. Θεωξώληαο όηη ε 1
f 
είλαη ζπλερήο ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο, λα δεηρζεί όηη ε εμίζωζε
   
1
1 1
x f x

  έρεη ηνπιάρηζηνλ κία ξίδα ζην δηάζηεκα
3
0,
2
 
 
 
Δ. Έζηω ε ζπλάξηεζε g κε ηύπν ε  
2
1
4
g x f x
x
 
 
 
 
 
 
 
.
i. Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο.
ii. Να κειεηεζεί ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ην είδνο ηωλ αθξνηάηωλ.
ΣΤ. Έζηω κεηαβιεηό ζεκείν Μ ηεο f
C πνπ ε ηεηκεκέλε ηνπ κεηαβάιιεηαη, ωο πξνο ην ρξόλν,
κε ξπζκό   0
x t
  . Να βξεζνύλ ηα ζεκεία Μ γηα ηα νπνία ηζρύεη όηη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο
ηεηαγκέλεο είλαη πεληαπιάζηνο από απηόλ ηεο ηεηκεκέλεο.

8
Θέμα 8ο
Έζηω ζπλάξηεζε f δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο  
0,
f
D   γηα ηελ
νπνία ηζρύεη:      
2
1 2 0
g x f x f x
   , γηα θάζε  
0,
x 
Έζηω, επίζεο, ζπλάξηεζε g κε πεδίν νξηζκνύ g
D R
 γηα ηελ νπνία ηζρύεη:
          
1 1
g y x y g x g y x y
 
        , γηα θάζε ,
x y R

  
1821 ln 1
g x x
   , γηα θάζε  
0,
x 
Α. Να απνδείμεηε όηη ε g είλαη ζηαζεξή ζην R.
Β. Να δείμεηε όηη  
1 1
g 
Γ. Γίλεηαη επηπιένλ όηη  
1 5
f  θαη
1
3
2
f
 

 
 
i. Να δείμεηε όηη   2 1
4
f x x
x
  , γηα θάζε  
0,
x 
ii. Να βξείηε ην Σύλνιν Τηκώλ ηεο f
Γ. Έζηω ηεηξάγωλν ΑΒΓΓ πιεπξάο 2 κε 0
  . Σην κέζν Δ ηεο ΒΓ θαηαζθεπάδνπκε
νξζνγώλην ηξίγωλν ΔΓΕ ώζηε
3
2
2 2



  .
Τα ζεκεία Γ, Γ, Ε είλαη ζπλεπζεηαθά.
i. Να βξείηε ηε ηηκή ηνπ 
ώζηε ην Δκβαδόλ ηεο επηθάλεηαο
 
 λα γίλεη ειάρηζην.
ii. Ζ κεηαβιεηή 
κεηαβάιιεηαη κε ξπζκό 2cm/sec.
Γ
Α Β
Δ
Γ
Ε

9
Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 1 2
,
K K νξηζκέλεο ζην  
0, κε ηύπν   3
1
4
ln 2
3
K    
   θαη
 
 
2
K
 


  αληίζηνηρα.
Έζηω ζεκεία  
 
1
, K
 
 θαη  
 
2
,K
 
 θηλνύκελα ζηηο 1
K
C θαη 2
K
C αληίζηνηρα.
Να δείμεηε όηη ηε ρξνληθή ζηηγκή o
t , πνπ ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ηεηαγκέλεο ηνπ Μ είλαη ίζνο κε
απηόλ ηεο ηεηαγκέλεο ηνπ Ν, ην εκβαδόλ  
 είλαη ίζν κε 3 η. κνλάδεο.

10
Θέμα 9ο
Έζηω νη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο ,
f g , κε πεδίν νξηζκνύ ην R , γηα ηηο νπνίεο ηζρύνπλ:
  
f x x
 , γηα θάζε x R


 
 
1
0
1
x
f x x
e x f x

 
 
  
 
 
, 0
2 ln 1 , 0
f x x
g x
x x x
 

 

  

Α. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f
Β. Να δείμεηε όηη:
i. Ζ εμίζωζε   0
g x  έρεη αθξηβώο δύν ιύζεηο 1 2
,
  , κε 1 2
0
 
 
ii. Γελ ηζρύνπλ γηα ηελ g νη πξνϋπνζέζεηο ηνπ ζεωξήκαηνο Rolle ζην δηάζηεκα  
1 2
,
 
iii. Ζ εμίζωζε
 
  
1 2 2
2 1 2021
g
x x x x

  

 
  
έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ζεηηθή ιύζε γηα θάζε
R
 
Γ. Να δείμεηε όηη δελ ππάξρνπλ ζεκεία ηεο g
C πνπ λα δέρνληαη παξάιιειεο εθαπηόκελεο.
Γ. Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο:
i.
2
2 2
x x x
e e
 

ii.   
2 2
2 2 2 2 2
3 2 1 1
x x x x x x
x x e e e e
   
      
Δ. Έζηω F ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζην R , κε    
F x f x
  γηα θάζε x R
 . Να απνδείμεηε όηη
ε εμίζωζε   2
2 1821
F x x
  έρεη ην πνιύ κία ξίδα.

11
Θέμα 10ο
Έζηω ζπλερήο ζπλάξηεζε f , κε πεδίν νξηζκνύ ην  
0, , γηα ηελ νπνία ηζρύεη:
 
2
3
2
2 ln
3
x
f x x x x
 
  
   
 
 
γηα θάζε 0
x 
Καη επηπιένλ όηη
    3
2
3
lim
1
x
f f x x
x
 

 
  
 
   
 

 
 
, κε 0  
 
Α. Να δεηρζεί όηη    
f f
 

Γ. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα  
1,2
  ηέηνην ώζηε:
   
2 2 2
2 1 2ln 1
f x f x  
      , γηα θάζε x R
 .
Γ.
i. Να δεηρζεί όηη ε f αληηζηξέθεηαη. Σηε ζπλέρεηα, εάλ γλωξίδνπκε όηη 1
f 
ζπλερήο ζην
1
f
D  , λα βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο 1
f
D  , ην είδνο ηεο κνλνηνλίαο ηεο θαη ην ζύλνιν
ηηκώλ ηεο.
ii. Να ππνινγηζηνύλ ηα όξηα: α)
 
0
lim
x
f x
x


β)  
1
0
lim
x
f x



γ)
 
 
1
0
lim
x
f x x
f x
 


iii. Να δεηρζεί όηη ε f
C ηέκλεη ηελ επζεία y x
 ζε αθξηβώο δύν ζεκεία
iv. Υπνζέηνληαο όηη ε 1
f 
είλαη παξαγωγίζηκε, λα δεηρζεί όηη ππάξρεη εθαπηνκέλε ηεο 1
f
C 
πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ y x

Δ. Έζηω  
, y
x
 κεηαβιεηό ζεκείν ηεο f
C . Ζ ηεηκεκέλε ηνπ Μ απμάλεηαη θαηά 3 / sec
cm . Αλ
ηα ζεκεία Ν, Ξ είλαη νη πξνβνιέο ηνπ Μ ζηνπο άμνλεο x x
 θαη y y
 αληίζηνηρα θαη Ο ε αξρή ηωλ
αμόλωλ, λα βξεζεί ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ Δκβαδνύ ΟΝΜΞ ηε ρξνληθή ζηηγκή θαηά ηελ νπνία
ην Μ δηέξρεηαη από ην
4
1,
3
 
 
 
.

12
Θέμα 11ο
Σην παξαθάηω ζρήκα δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο
  3
f x αx βx 1, x R
     
α,β R
 θαζώο θαη ε εθαπηνκέλε ηεο ζην ζεκείν
2 3 2 3
A ,f .
3 3
 
 
 
 
 
 
 
 
Α. Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ B
Β. Να απνδείμεηε όηη α 1
 θαη β 3
 
Γ. Να βξείηε ηα ζεκεία θακπήο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο f
Γ. Δίλαη ζωζηόο ν ηζρπξηζκόο:
«ε επζεία y 3x 1
   δηαπεξλά ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f » ;

13
Θέμα 12ο
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε  
2
x x π π
f x ευx e 2x, x , .
2 2 2
 
     
 
 
Α. Να απνδείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη.
Β. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο 1
f .

Γ. Να ππνινγίζεηε ηα όξηα:
i.  
 
x 0
2 1
x f x .
lim



ii.
 
 
x 0 2
ημx
.
x f x 1
lim
  
Γ. Να ιύζεηε ηελ εμίζωζε:
x 2 π π
2 ημx 2 συνx e x συνx 4 x συνx 2 συνx, x , .
2 2
 
            
 
 
Δ. Έζηω
π π
α, β ,
2 2
 
 
 
 
ηέηνηα ώζηε ευα ευβ 0.
 
Να βξείηε ην πιήζνο ηωλ ξηδώλ ηεο εμίζωζεο:
 
   
 
4 2
x x f α 1 f β 1 0.
    

14
Θέμα 13ο
Θεωξνύκε πνιπωλπκηθή ζπλάξηεζε f ν οστού
 βαζκνύ  
ν 2
 γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:
  
f 0 0


 
f 0
x
e ex
 γηα θάζε x 0

  
6 ημ ν 2 3ν
  
Α. Να απνδείμεηε όηη  
f 0 1

Β. Να απνδείμεηε όηη ν 2

Γ. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε   1
g x x x
   , κε 1
x  .
Δπηπιένλ γλωξίδνπκε όηη:
 ε f είλαη άξηηα

 
 
x
f 1 2
2 1
x ημ e
f x 1
lim


 
 

 
 
 
 

 
 
i. Να απνδείμεηε όηη   2
1
f x x
  , γηα θάζε x R
 .
ii. Να νξίζεηε ηε g f

iii. Να κειεηήζεηε ηε g f
 ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα.
iv. Να βξείηε ηελ θακππιόηεηα θαη ηηο αζύκπηωηεο ηεο g f

v. Με ηα ζηνηρεία πνπ βξήθαηε λα θάλεηε πξόρεηξε ράξαμε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο
g f


15
Θέμα 14ο
Έζηω ζπλάξηεζε  
: 0,
f R
  , κε ηύπν  
ln x
f x x
x

 
   , κε , , R
   .
Οη αζύκπηωηεο ηεο f
C είλαη ε επζεία 2 3
y x
  θαη ν άμνλαο y y
 .
Α.
i. Να απνδεηρζεί όηη 0
 
ii. Να ππνινγηζηνύλ ηα ,
 
Β. Αλ ε f έρεη αθξόηαην ζην 1
o
x  , λα βξεζεί ν ηύπνο ηεο
Γ. Να ιπζεί ε εμίζωζε:   2
2
x
f x



 
 
 
 
ζην  
0,
Γ. Γηα 1
x  , λα ιπζεί ε αλίζωζε 2
2
4ln ln 2
2 4
x x
x x
x x
  
Δ. Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα
1
,1
2
o
x
 
 
 
όπνπ ε εθαπηνκέλε ηεο f
C , ζην
 
 
,
o o
x f x
 , λα δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ  
0,0
 .
ΣΤ. Έζηω ζπλάξηεζε g κε ηύπν    
2
g x f x
  
  , κε  
0,
x  .
i. Να δεηρζεί όηη έρεη ηξία αθξόηαηα, δύν ΤΔ θαη έλα ΤΜ.
ii. Να ππνινγηζηεί ην όξην
   
lim
2
x
x
g x g x
 

16
Θέμα 15ο
Έζηω ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ ην  
0, , δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην  
0, , γηα
ηελ νπνία ηζρύεη    
2
2 4 3
f x f x x x
    γηα θάζε 0
x  .
Α. Να δεηρζεί όηη ε f
C δελ έρεη ζεκεία θακπήο.
Β. Να δεηρζεί όηη ε f είλαη «1-1».
Γ. Δπηπιένλ δίλεηαη όηη
 
2
6
lim
2 5 4
x
f x
x x
  

 
 
 
 
  
θαη
   
 
0
lim
0 3
x
x
f f x


 

Να δείμεηε όηη:
i.   0
f x  , γηα θάζε 0
x 
ii. 0
6
f

 

 
 
iii. ν ηύπνο ηεο f είλαη  
 
3 , 0
0 , 0
x x
f x
f x
  

 
 

iv. ε f είλαη ζπλερήο ζην 0
o
x 
Γ. Έζηω ζεκείν  
0,6
 ηνπ άμνλα y y
 .
i. Να βξεζεί ην ζεκείν ηεο f
C πνπ έρεη ηε κηθξόηεξε απόζηαζε από ην Α.
ii. Έζηω Β ην ζεκείν ηνπ παξαπάλω εξωηήκαηνο. Να δεηρζεί όηη ε εθαπηνκέλε ζην Α είλαη
θάζεηε ζηελ ΑΒ.
iii. Έζηω κεηαβιεηό ζεκείν Μ ηεο f
C ηνπ νπνίνπ ε ηεηκεκέλε κεηαβάιιεηαη κε ζηαζεξό
ξπζκό  
x t
 . Να δεηρζεί όηη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ Δκβαδνύ ηνπ ηξηγώλνπ ΟΑΜ είλαη
ζηαζεξόο.

17
Δ. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε   6 9
g x x x
   , κε πεδίν νξηζκνύ ην
3
,
2
 


 
.
i. Να βξεζεί ε ζπλάξηεζε 1
f 
αληίζηξνθε ηεο f
ii. Να νξηζηεί ε ζπλάξηεζε  
 
1
6 9
f x
k x
x x


 
iii. Να εμεηαζηεί αλ g k
 . Σηελ πεξίπηωζε πνπ g k
 , λα πξνζδηνξηζηεί ην κεγαιύηεξν
ππνζύλνιν ηνπ R ώζηε g k


18
Θέμα 16ο
Έζηω ζπλάξηεζε f , δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην R, γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

  2
2
2
lim 1
4
x
f x x
x

 


 

 
    
0 4 2 2
f f 
 
θαη ε ζπλάξηεζε  
  4
, 2
2
8 , 2
f x
x
x
g x
x







 
 



Α. Να δεηρζεί όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη ζπλερήο ζην δηάζηεκα  
0,2 .
Β. Να δεηρζεί όηη ε g είλαη παξαγωγίζηκε ζην δηάζηεκα  
0,2 κε
 
    
 
2
2 4
2
f x x f x
g x
x
   
 

Γ. Να δεηρζεί όηη ππάξρεη  
0,2
  ηέηνην ώζηε  
  4
2
f
f




 

Γ. Να δεηρζεί όηη ε f  δελ είλαη «1-1»
Δ. Δπηπιένλ δίλεηαη όηη ε f  είλαη θπξηή.
i. Να δεηρζεί όηη ε f
C έρεη αθξηβώο έλα ζεκείν θακπήο ζην δηάζηεκα  
0,2 .
ii. Να κειεηεζεί ε g ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ζην δηάζηεκα  
0,2 .
iii. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε  
8
h x
x

 , κε *
x R
 θαη  ηνπ εξωηήκαηνο Γ. Να δεηρζεί όηη ε
εμίζωζε    
f x h x
  έρεη αθξηβώο κία ιύζε ζην δηάζηεκα  
0,2 .

19
Θέμα 17ο
Έζηω ζπλάξηεζε    
g : 0, 0,
   γηα ηελ νπνία ηζρύεη
      
ln 1 1
x
g g x g x e x
    
 , γηα θάζε 0
x  .
Α. Να δείμεηε όηη ε g αληηζηξέθεηαη.
Β. Γίλεηαη, επίζεο, όηη ε g είλαη παξαγωγίζηκε ζην  
0, κε  
0 0
g 
i. Να δείμεηε όηη ε g δελ έρεη αθξόηαηα ζην δηάζηεκα  
0,
ii. Να βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηεο g
C ζην 0
o
x 
iii. Να ππνινγίζεηε ην όξην:  
 
lim
x
g g x

iv. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε  
  1821
g g x  έρεη ηνπιάρηζηνλ κία ιύζε o
x , κε
 
0,
o
x  
v. Να δείμεηε όηη ππάξρεη  
0, o
x
  ώζηε:  
1
1821
1
o
x g e


 
   
 

 
Γ. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε ηύπν   3 2
2 3
f x x x
  ζην R .
i. Να κειεηήζεηε ηελ f ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα.
ii. Να ιπζεί ε αλίζωζε:
 
   
   
   
 
2 3
3 2
2 2
2 1 3 ln3 3 1 2 ln3
g x e g g x g x e g g x
   
        
   
iii. Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ R
  ώζηε ε εμίζωζε  
   
g g x f 
 λα είλαη αδύλαηε.

20
Θέμα 18ο
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε   3
1
x
g x e x
   , κε πεδίν νξηζκνύ όιν ην R .
Έζηω επίζεο ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζην  
0, .
Ηζρύεη όηη     
3 3
2 3
ln 2 1
x x
g f x x e x x x
 
      
 , γηα θάζε  
0,
x 
Α. Να κειεηεζεί ε g ωο πξνο ηε κνλνηνλία.
Γ. Αλ ηζρύεη όηη    
f f
 
 , κε 0  
  , λα απνδεηρζεί όηη 1
 
 
Γ. Να βξεζεί ην πιήζνο ηωλ ξηδώλ ηεο εμίζωζεο     1
f x g 
  γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ
R
 
Δ.
i. Να απνδεηρζεί όηη    
f x g x
 γηα θάζε  
0,
x 
ii. Να δεηρζεί όηη γηα θάζε 1
x  ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα  
1, x
  ηέηνην ώζηε
       
   
  
2
1
2 1
e g
f g f g
e x

   
  
 
 
 
 
ΣΤ. Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη κνλαδηθό  
0,
o
x   όπνπ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηωλ
ζπλαξηήζεωλ ,
f g έρνπλ παξάιιειεο εθαπηόκελεο.

21
Θέμα 19ο
Έζηω ζπλάξηεζε f δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο πνπ είλαη ην R .
Α. Να δείμεηε όηη  
   
0
lim
h
f x f x h
f x
h

 
 
 
   
 
, γηα θάζε x R

Β. Δπηπιένλ, γηα θάζε x R
 , ηζρύεη όηη
     
2
0
2
lim 2
6
h
f x h f x f x h
x
h

   
 
 
 

 
Γίλεηαη επίζεο όηη ε επζεία  : 4
y
  εθάπηεηαη ηεο f
C ζην ζεκείν  
 
1, 1
f
 .
Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .
Γ. Αλ ν ηύπνο ηεο f είλαη:   3 2
6 9
f x x x x
  
i. Να δείμεηε όηη ε f έρεη αθξηβώο έλα ηνπηθό κέγηζην, έλα ηνπηθό ειάρηζην θαη έλα ζεκείν
θακπήο.
ii. Να δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α (ηνπηθό κέγηζην), Β (ηνπηθό ειάρηζην) θαη Σ (ζεκείν θακπήο)
είλαη ζπλεπζεηαθά θαη επηπιένλ όηη ην Σ είλαη ην κέζνλ ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΑΒ.
iii. Να βξείηε από κία θαηάιιειε ηηκή γηα ηηο παξακέηξνπο , R
   ώζηε λα ηζρύεη όηη
      0
f x f x x
 
   
 
  γηα θάζε 2
x 
Γ. Έζηω ζπλάξηεζε g , κε ηύπν  
 
1
g x
f x
 , γηα θάζε  
0,3
R  .
i. Να βξείηε ηηο αζύκπηωηεο ηεο g
C
ii. Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο g
iii. Να κειεηήζεηε ηε g ωο πξνο ηα θνίια
iv. Να ζρεδηάζεηε πξόρεηξε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο g

22
Θέμα 20ο
Έζηω ε ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην  
0,
f
D   θαη κε ηύπν
 
 
   
, 0,9 9,
3
, 9
g x
x
x
f x
x


 




 
 




θαη ε ζπλάξηεζε g δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην R κε  
9 1
g  θαη  
9 0
g  .
Α. Να δείμεηε όηη  
9 0
g  θαη 6
 
Β. Να εμεηάζεηε αλ ην  
 
9, 9
f
 είλαη θξίζηκν ζεκείν ηεο f
Γ. Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο   3
w x x
  θαη  
  6
g w x x
  , κε 0
x  .
i. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο g
ii. Να εμεηάζεηε αλ f w

Γ. Γίλεηαη ζεκείν  
0,21
 ηνπ άμνλα y y
 . Έζηω επίζεο ζεκείν  
 
,
x f x
 πνπ θηλείηαη
πάλω ζηε f
C , μεθηλώληαο από ηε ζέζε  
1,4 , κε ξπζκό κεηαβνιήο ηεηκεκέλεο
  1 / sec
x t cm
  .
i. Να βξείηε ην ζεκείν Μ ηεο f
C πνπ έρεη ηελ ειάρηζηε απόζηαζε από ην Α.
ii. Να βξείηε ηε ρξνληθή ζηηγκή o
t πνπ ην Μ απέρεη ηελ ειάρηζηε απόζηαζε από ην Α.
iii. 
 ε πξνβνιή ηνπ  πάλω ζηνλ άμνλα x x
 θαη  
0,0
 ε αξρή ηωλ αμόλωλ. Να βξείηε
ην ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ Δκβαδνύ ηνπ ηξαπεδίνπ  

  ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ε
εθαπηνκέλε ηεο f
C ζην Μ είλαη θάζεηε ζηελ ΑΜ.

«Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 0
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq
ςwωψerβνtyuσiopasdρfghjklzxcvbn
mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι
qπσπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghσj
klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz
xcvbnmςγqwφertyuioςδφpγρaηsόρ
ωυdfghjργklαzxcvbnβφδγωmζqwert
λκοθξyuiύαςφdfghjklzxcvbnmqwerty
uiopaβsdfghjklzxcεrυtγyεuνiιoαpasdf
ghjklzxcηvbnαςφδmqwertαςδyuiopa
sdfαςδφγθμκxcvυξςφbnmςφγqwθeξ
τςδφrtyuφγσοιopaαςδφsdfghjklzxcv
αςδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgαςργκο
ϊτbnmqwertyςδφγuiopasςδφγdfghjk
lzxςδδγςφγcvbnmqwertyuioβκςλπp
asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdγαε
ορlzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ
Πρόχειρεσ - Ενδεικτικέσ Λύςεισ
(θέματα 1-10)
20 Επαναληπτικά Θέματα (2020–2021)
Τεύχος 8

Θέμα 1ο

Θέμα 2ο

Θέμα 3ο

Θέμα 4ο

Θέμα 5ο

Θέμα 6ο

Θέμα 7ο

Θέμα 8ο

Θέμα 9ο

Θέμα 10ο

Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq
ςwωψerβνtyuσiopasdρfghjklzxcvbn
mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι
qπσπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghσj
klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz
xcvbnmςγqwφertyuioςδφpγρaηsόρ
ωυdfghjργklαzxcvbnβφδγωmζqwert
λκοθξyuiύαςφdfghjklzxcvbnmqwerty
uiopaβsdfghjklzxcεrυtγyεuνiιoαpasdf
ghjklzxcηvbnαςφδmqwertαςδyuiopa
sdfαςδφγθμκxcvυξςφbnmςφγqwθeξ
τςδφrtyuφγσοιopaαςδφsdfghjklzxcv
αςδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgαςργκο
ϊτbnmqwertyςδφγuiopasςδφγdfghjk
lzxςδδγςφγcvbnmqwertyuioβκςλπp
asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdγαε
ορlzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ
Πρόχειρεσ - Ενδεικτικέσ Λύςεισ
(θέματα 11-20)
20 Επαναληπτικά Θέματα (2020–2021)
Τεύχος 8

Θέμα 11ο
α) Επεηδή   3
f 0 α 0 β 0 1 1,
      ζπκπεξαίλνπκε όηη ην ζεκείν B έρεη ζπληεηαγκέλεο  
B 0,1 .
β) Από ην ζρήκα βιέπνπκε όηη ε f παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην (κέγηζην) ζην 1.
 Επηπιένλ ην 1

είλαη εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο f,πνπ είλαη ην ' θαη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην 1.

Άξα από ην ζεώξεκα Fermat πξνθύπηεη όηη  
f 1 0.
  
Όκωο    
3 2
f x αx βx 1 3αx β,

      άξα    
2
f 1 3α 1 β 3α β.
      
Από ηα παξαπάλω πξνθύπηεη όηη  
3α β 0 1
 
Επίζεο από ηελ εθαπηνκέλε ηνπ ζρήκαηνο ζπκπεξαίλνπκε όηη
 
2
0
2 3 2 3 2 3
f εθ45 1 f 1 3α β 1 4α β 1 2
3 3 3
     
 
         
     
     
     
Από ηηο ζρέζεηο    
1 , 2 πξνθύπηεη ην ζύζηεκα
3α β 0
,
4α β 1
  

  
από ην νπνίν βξίζθνπκε α 1
 θαη
β 3.
 
γ) Γηα α 1
 θαη β 3
  έρνπκε   3
f x x 3x 1, x
   ' .
Η f είλαη δύν θνξέο παξαγωγίζηκε, κε  
f x 6x.
 
Γηα θάζε x ' έρνπκε
  
f x 0 6x 0 x 0,
     
  
f x 0 6x 0 x 0,
     
  
f x 0 6x 0 x 0.
     
Άξα ε ζπλάξηεζε f  αιιάδεη πξόζεκν εθαηέξωζελ ηνπ 0 θαη νξίδεηαη εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο
παξάζηαζεο ηεο f ζην ζεκείν  
 
0,f 0 (δηόηη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0 ). Άξα ε f παξνπζηάδεη
θακπή ζην 0.
Επεηδή γηα θάζε x 0
 ηζρύεη  
f x 0,
  ην παξαπάλω ζεκείν θακπήο είλαη κνλαδηθό.

δ) Η εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην ζεκείν  
B 0,1 είλαη ε:
  
y 1 f 0 x 0 y 3x 1.

      
Ο ηζρπξηζκόο είλαη ζωζηόο, δηόηη όπωο είδακε ε f παξνπζηάδεη θακπή ζην 0.

Θέμα 12ο
α. H f είλαη παξαγωγίζηκε ζην
π π
,
2 2
 

 
 
κε:
  2 x 2 x
f x 1 εθ x e x 2 εθ x e x 1 0
           γηα θάζε
π π
x ,0 0,
2 2
   
  
   
   
δηόηη x
e x 1
  γηα θάζε
π π
x ,0 0,
2 2
   
  
   
   
θαη 2
εθ x 0
 γηα θάζε
π π
x ,0 0, .
2 2
   
  
   
   
Επεηδή ε f είλαη ζπλερήο ζην 0 είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην
π π
,
2 2
 

 
 
άξα 1 1
 , άξα αληηζηξέθεηαη.
β. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο 1
f 
είλαη ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f.
Επεηδή ε f είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην
π π
,
2 2
 

 
 
έρνπκε:
 
π π
f , , R
2 2
 
 
    
 
 
 
 
δηόηη

x
π
2
ζπλx 0
lim

 θαη ζπλx 0
 γηα θάζε
π π
x ,
2 2
 
 
 
 
ζπλεπώο
x
π
2
1
ζπλx
lim

  επνκέλωο
x x
π π
2 2
1
εθx εκx
ζπλx
lim lim
 
 
 
   
 
 
άξα  
x
π
2
f x .
lim

 

x
π
2
ζπλx 0
lim


 θαη ζπλx 0
 γηα θάζε
π π
x ,
2 2
 
 
 
 
ζπλεπώο
x
π
2
1
.
ζπλx
lim


  επνκέλωο
x x
π π
2 2
1
εθx εκx
ζπλx
lim lim
 
 
 
   
 
 
άξα  
x
π
2
f x .
lim

 
Σπλεπώο 1
f
D R
  .
γ.
i. Toπεδίν νξηζκνύ ηεο 1
f 
είλαη ην R θαη ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο είλαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f δειαδή
ην
π π
, .
2 2
 

 
 
Σπλεπώο γηα θάζε x R
 ηζρύεη:

   
2
x 0
1 2 2 1 2
π π π π
f x x x f x x
2 2 2 2

 
     
= >
Επεηδή
x 0 x 0
2 2
π π
x x 0
2 2
lim lim
 
   
  
   
   
από ην θξηηήξην παξεκβνιήο πξνθύπηεη:
 
 
x 0
2 1
x f x 0.
lim



ii. Γηα θάζε
π
x 0,
2
 
 
 
έρνπκε:
     
π π
f ,
2 2
x 0 f x f 0 f x 1 0
 

 
 
    
=>
1
Άξα  
 
x f x 1 0
  γηα θάζε
π
x 0, .
2
 
 
 
Γηα θάζε
π
x ,0
2
 
 
 
 
έρνπκε:
     
π π
f ,
2 2
x 0 f x f 0 f x 1 0
 

 
 
    
=>
1
Άξα  
 
x f x 1 0
  γηα θάζε
π
x ,0 .
2
 
 
 
 
Σπλεπώο γηα θάζε
π π
x ,0 0,
2 2
   
  
   
   
έρνπκε  
 
x f x 1 0
  θαη επεηδή  
 
x 0
x f x 1 0
lim

 
 
  ηειηθά
 
 
x 0
1
.
x f x 1
lim

 

Επνκέλωο ην δεηνύκελν όξην γίλεηαη:
 
   
 
x 0 x 0
2
εκx εκx 1
.
x
x f x 1 x f x 1
lim lim
 
 
   
 
  
 
 
δ. Γηα θάζε
π π
x ,
2 2
 
 
 
 
έρνπκε:
   
ζπλx 0
x 2 x 2
π π
f:1 1 ,
2 2 2
x
π π
x,0 ,
2 2
2 εκx 2 ζπλx e x ζπλx 4 x ζπλx 2 ζπλx 2 εθx 2 e x 4 x 2
x
εθx e 2 x 1 f x f 0 x 0.
2

 
 
 
 
 
 
 
 
                   
        

ε. Γλωξίδνπκε όηη εθx 0
 γηα θάζε
π
x 0,
2
 
 
 
,εθx 0
 γηα θάζε
π
x ,0
2
 
 
 
 
θαη εθ0 0.

Επεηδή εθα εθβ 0
  έρνπκε
π π π π
α 0 β ή β 0 α .
2 2 2 2
         
Έζηω
π π
α 0 β .
2 2
    
Τόηε έρνπκε:
         
π π
f ,
2 2
π π
α 0 β f α f 0 f β f α 1 f β .
2 2
 

 
 
         
=>
1
Δειαδή  
   
 
f α 1 f β 1 0.
  
Η εμίζωζε  
   
 
4 2
x x f α 1 f β 1 0
      
1 αλ ζέζνπκε 2
x y
 γίλεηαη
 
   
 
2
y y f α 1 f β 1 0
      
2 ε νπνία έρεη ζεηηθή δηαθξίλνπζα δηόηη:
 
   
 
Δ 1 4 1 f α 1 f β 1 0.
 
     
 
Άξα έρεη δύν ξίδεο άληζεο.
Αλ 1 2
y ,y είλαη νη ξίδεο ηεο  
2 από ηνπο ηύπνπο ηνπ vietta έρνπκε όηη  
   
 
1 2
y y f α 1 f β 1 0.
   
Επνκέλωο ε  
2 έρεη κία ξίδα αξλεηηθή θαη κηα ζεηηθή. Έζηω 1
y 0
 θαη 2
y 0

Τόηε ε  
1 γίλεηαη 2 2
1 2 1 1
x y ή x y x y ή x y
      δηόηη ε 2
2
x y
 είλαη αδύλαηε.
Άξα ε εμίζωζε  
   
 
4 2
x x f α 1 f β 1 0.
     έρεη δύν αθξηβώο ξίδεο.
Αλάινγα εξγαδόκαζηε αλ
π π
β 0 α .
2 2
    

Θέμα 13ο
Α) Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε  
ζ : 0, R
  κε ηύπν  
 
f 0
x
ζ x e ex
 
Η ζ είλαη παξαγωγίζηκε ζην  
0, κε παξάγωγν
 
 
     
 
 
     
f 0 f 0 f 0
f 0 0
f 0 f 0 1
x x x
ζ x e ex e x e f 0 x e e


 
       
=
Δίλεηαη όκωο όηη  
 
   
ζ 1 0
ζ x 0 ζ x ζ 1

 
> γηα θάζε x 0

Άξα:
 ε ζ παξνπζηάδεη αθξόηαην ζην 1
 ην 1 είλαη εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ δηαζηήκαηνο  
0, θαη
 ε ζ είλαη παξαγωγίζηκε ζην 1
νπόηε από ην ζεώξεκα Fermat ζα έρνπκε:
     
ζ 1 0 f 0 e e 0 f 0 1
      
Β) Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε w: R R
 κε ηύπν
   
w x 6 εκ x 2 3x
   
Η w είλαη παξαγωγίζηκε ζην R κε παξάγωγν
   
w x ζπλ x 2 3 0
     γηα θάζε x R

Άξα ε w είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην R
Αλ ήηαλ λ 2
 ηόηε
       
w λ w 2 0 6 εκ λ 2 3λ 0 6 εκ λ 2 3λ,
          
ην νπνίν είλαη άηνπν από ππόζεζε.
Άξα πξάγκαηη λ 2.

Γ)

i. Επεηδή εf είλαη πνιπώλπκν νπ
2 βαζκνύ κε  
f 0 1
 , ζα ηζρύεη όηη:
  2
f x αx βx 1
   , γηα θάπνηα α,β' κε α 0

Η f όκωο είλαη άξηηα, άξα
   
f 1 f 1 α β 1 α β 1 β 0.
         
Οπόηε   2
f x αx 1
  γηα θάπνην α 0.

Επηπιένλ έρνπκε:
 
 
x x x
2
f 1 2 2 2
2
2
1
εκ
1 1 1 αx
e x εκ x εκ .
1
f x 1 αx α
αx
lim lim lim
  

 
 
 
 
 
   
   
 
   
 
   
 
 
 
  
 
 
 
   
 
Θέηνληαο 2
1
u
αx
 είλαη
x
0
u 0 u
lim

  , άξα
0
x u u
2
2
1
εκ
εκu
αx
1
1 u
αx
lim lim
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
νπόηε:
   
 
u 0
f 1 2 f 1 2 α 1
1 εκu 1 1 1 1
e 1 e e 1
α u α α α α
lim

  
        
Η εμίζωζε x 1 1
e
x

 αλ έρεη ξίδα, ηόηε ζα είλαη ζεηηθή αθνύ x 1
e 0


Γηα ηε ζπλάξηεζε  
k : 0, R
  κε ηύπν   x 1 1
k x e
x

 
έρνπκε όηη:
 είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην  
0, αθνύ   x 1
2
1
k x e 0
x

   
  
k 1 0.

Άξα ε εμίζωζε  
k x 0
 έρεη κνλαδηθή ζεηηθή ξίδα ην 1.

Έηζη από ηε ζρέζε  
1 πξνθύπηεη όηη α 1
 θαη άξα   2
f x x 1, x R
   .
ii.  
1,
g
D   άρα  
   
2
/ / 1 1
g f f g
D x D f x D x R x R
       

με τφπο:    2 2 2
1 1 1 1
g f x x x x x
       

Άρα   
2
2
1 , 0
1 , 0
x x x
g f x
x x x
   


 

  



iii. Η g f
 είναι ςυνεχήσ ςτο R ωσ ςφνθεςη ςυνεχών.
Η g f
 είλαη παξαγωγίζηκε ζην *
R κε ηύπν
       
2
2 2
2
2
2
1
1 , 0 , 0
1 1
1
1 , 0 , 0
1 1
x x x
x x
x x
g f x g f x
x x x
x x
x x
  

  


 


 
 
  
 
 
 
 
  
 

 

 
Είλαη πξνθαλέο όηη 2
1 0
x  
Έηζη έρνπκε: 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
x x x x x x x x x
             
Άρα
2
1 0
x x
   ςυνεπώσ     0
g f x
 
 ςτο  
,0

άρα g f
 γνηςίωσ αφξουςα ςτο διάςτημα  
,0

και επιπλζον
2
1 0
x x
   ςυνεπώσ     0
g f x
 
 ςτο  
0,
άρα g f
 γνηςίωσ φθίνουςα ςτο διάςτημα  
0,
Σπλεπώο εκθαλίδεη νιηθό κέγηζην ζην 0
x  ην   
0 1
g f 

iv. Αζύμπηωηες:
Αζύκπηωηε ζην  . Θα εμεηάζνπκε αλ έρεη νξηδόληηα.
 
  
2 2
2
2 2
2
1 1 1 1
lim 1 lim lim lim
1
1 1 1
x x x x
x x x x
x x
x x x x x x
x
   
   
     
     

1
2
1
lim 0
1
1 1
x x
x
x
x
 

 
 
  
 
 
Άξα ε επζεία 0
y  νξηδόληηα αζύκπηωηε ηεο g f
C  ζην 
Αζύκπηωηε ζην . Θα εμεηάζνπκε αλ έρεη νξηδόληηα.
 
  
2 2
2
2 2
2
1 1 1 1
lim 1 lim lim lim
1
1 1 1
x x x x
x x x x
x x
x x x x x x
x
   
   
     
     
1
2
1
lim 0
1
1 1
x x
x
x
x
 

 
 
 
 
 
Άξα ε επζεία 0
y  νξηδόληηα αζύκπηωηε ηεο g f
C  ζην 
Καμπυλόηηηα:
   
 
 
   
 
 
2
2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2
1
1 1
, 0 , 0
1 1 1
1
1 , 0
1 1 1
, 0
1
x
x x
x x x
x x x
g f x g f x
x
x x x
x x x
x
x

 


 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
 
  
 
  
 




 
Άξα επεηδή     0
g f x
 
 γηα θάζε  
,0
x  θαη g f
 ζπλερήο ζην  
,0
 πξνθύπηεη όηη g f

θπξηή ζην  
,0

Επηπιένλ επεηδή     0
g f x
 
 γηα θάζε  
0,
x  θαη g f
 ζπλερήο ζην  
0, πξνθύπηεη όηη
g f
 θπξηή ζην  
0,
v. Με ηα παξαπάλω ζηνηρεία ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο g f
 ζα είλαη

Θέμα 14ο

Θέμα 15ο

Θέμα 16ο

Θέμα 17ο

Θέμα 18ο

Θέμα 19ο

Θέμα 20ο

20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis

More Related Content

What's hot

Similar to 20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis

More from Christos Loizos

Recently uploaded

20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis