Συλλογή Ασκήσεων Άλγεβρας Β' Λυκείου

1. ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μια Συλλογή Ασκήσεων
Συστήματα Συναρτήσεις
Τριγωνομετρία Πολυώνυμα
Εκθ - Λογαρ Επανάληψη
Αρχή
Επιμέλεια : Καλαθάκης Γ.
Προτάθηκαν και λύθηκαν από μέλη του Mathematica.gr

2. http://www.mathematica.gr/ - Ιστότοπος Μαθηματικών 2
1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Γραμμικά συστήματα
1. Δίνεται το σύστημα : 2
(k 1)x my 2012
, k,m,x,y R
k x (k m)y 2013
  

  
Να βρείτε τις τιμές του m R , ώστε για κάθε k R , το σύστημα να έχει μοναδική λύση ως
προς x,y
2. Δίνεται γραμμικό σύστημα 2x2 με αγνώστους x,y και ορίζουσες x yD,D ,D με D Z για τις οποίες
ισχύουν οι σχέσεις:
 3D 1 (5 3D) 0   και 2 2
x x y yD 8D D 4D 19D 1 0      .
α. Να διερευνηθεί το σύστημα.
β. Αν το σύστημα
   
2
λx 5y 4μ 6κ
λ 2 x λ 1 y 3μ 2κ
   

    
έχει μοναδική λύση και πληροί τις παραπάνω
σχέσεις, να υπολογιστούν οι ακέραιοι κ,λ,μ .
3. Δίνεται το σύστημα :
   
 
λ 5 x λ 2 y 2λ α
λ 7 x 2y λ β
    

   
με αγνώστους x,y R .
Να βρεθούν οι πραγματικοί α,β ώστε το σύστημα να έχει λύση για κάθε λ R .
4. Να λύσετε το γραμμικό σύστημα 2x2 με αγνώστους x , y και ορίζουσες x yD,D ,D με D Z .
για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις   4 3D 3D 7 0   και 2 2
x x y yD 8D 4D D 5D 30 0      .
5. Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων λ,μ ώστε το επόμενο σύστημα να είναι αόριστο:
(1 λ)x (μ 1)y 5
(3λ 1)x 3μy 10
   
  



6. Αν a,β , να λύσετε το σύστημα:
2x βy a 1
βx 8y a 1
  

  
7. Δίνεται το σύστημα
2
(λ 1) x (3 2λ)y μ 3
(1 λ)x (3 λ)y 1 μ
     

    
Για ποια τιμή των λ,μ το σύστημα έχει μοναδική λύση (x,y) (1,1) ;
8. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το ομογενές σύστημα:
(λ 2)x (λ 7)y 0
λx (λ 1)y 0
   

  
έχει και μη μηδενικές λύσεις.

3. http://www.mathematica.gr/ - Ιστότοπος Μαθηματικών 3
Μη Γραμμικά συστήματα
1. Να λυθεί το σύστημα : 2 2 2
3 3 3
x y z 2
x y z 4
x y z 5
   
 
   
    
2. Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα:
2 2
2
x xy y 21
y 2xy 15
   

  
3. Να λυθεί το σύστημα:
2 2
2
2 2
2
2 2
2
1
x 2 (y z)
y
1
y 2 (z x)
z
1
z 2 (x y)
x

   


   


   

4.. Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα
x y x y 72
x y x y 30
    

   
5. Να λυθεί στο R το σύστημα
x y x 1
y x y 1
   

   
6. Να λυθεί στο το σύστημα
2 2
3 2
2x 5xy 5y x 10y 35 0
x 5xy 42 0
      

  
7. Να λυθεί στους πραγματικούς το :
2 2
2 2
4x x y y 3
x xy y 3
   
  



8. Να λυθεί στους πραγματικούς το :
2 2
2 2
x y 4x 2y 15 0
3x 7xy 9x 2y 2y 12
    
    



9. Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα
x y 3 2
y y x 10 1
   

    
10. Να λυθεί το σύστημα :
x(x y) 9
y(x y) 16
 

 
11. Να λυθεί το σύστημα
2
2
4 2
2x xy 1
9x 3xy
1
2(1 x) 2(1 x)
  


   

4. http://www.mathematica.gr/ - Ιστότοπος Μαθηματικών 4
2. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
1. Έστω f: με f(x) 0,1 x   και ισχύει ότι
1
f(x 1) x
1 f(x)
  

. Δείξτε ότι η f είναι
περιοδική με περίοδο T 3 .
2. Να βρεθούν, αν υπάρχουν, τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων:
3 2
f(x) x 4x 4x, x    και *9
g(x) , x
x
  .
3. Να εξεταστεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση : 5
f(x) 2x 4  .
Αν ρ 5  τότε να αποδειχθεί ότι : 2 3 4
625 125ρ 25ρ 5ρ ρ 0.    
3. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
Τριγωνομετρικές ταυτότητες
1. Αν 90 x 180 
  και
2
sinx cosx
3
  , να υπολογιστεί η διαφορά sinx cosx .
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
1. Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f :  με τύπο f(x) ημx συνx  ,
όπου x [0,2π] .
2. Να διατάξετε από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς
π 1 π 3π 7π
ημ , ,ημ ,ημπ,ημ ,ημ
7 2 2 2 8
3. Να εξεταστεί αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι περιοδικές.
i)
2x
f(x) cos
3
 
  
 
ii)
3x
f(x) tan
π
 
  
 
iii)f(x) sin x iv)
3x
f(x) sin 5
4
 
  
 
Τριγωνομετρικές εξισώσεις
1. Να βρεθούν οι *
x,y R , για τους οποίους ισχύει : 2
x 2xsin(xy) 1 0  
2. Να λυθεί η εξίσωση : sin(πcos2x) 1
3. Να λυθεί η εξίσωση  
π π
συν x ημ x 0,x 0,π
4 4
   
        
   
4. Για ποιες τιμές του ω η εξίσωση    4 3 2
x cosω sinω x cos 2ω x sinω x 2 0      έχει ρίζα
τον αριθμό x 1 
5. Να λυθεί η εξίσωση :
π π
cos cosx sin sinx
2 2
   
   
   
6. Να λυθεί η εξίσωση : 2 2 2
cos (πx)+x 2x 16 4 sin (πx)   
7. Να λυθεί η εξίσωση :
5x
cos4x sin 2 ,x R
3
  

5. http://www.mathematica.gr/ - Ιστότοπος Μαθηματικών 5
8. Να λυθεί η εξίσωση 2 21
cos x sinx tan x 2
1 sinx
   

.
9. Να επιλυθεί η εξίσωση :  sin2x· sinx cosx 2 
10. Να λυθεί η τριγωνομετρική εξίσωση: 2013 2014
cos x sin x 1 
11. Να βρεθούν οι *
x,y R , για τους οποίους ισχύει 2
x 2xsin(xy) 1 0  
12. Να λυθεί η εξίσωση : sin(πcos2x) 1
13. Να λυθεί η εξίσωση:
π 11π
συν x συν x
6 6
   
     
   
4. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
Θεωρητικές στα πολυώνυμα
1. Να βρεθούν τα πολυώνυμα P για τα οποία ισχύει P(P(x))=9x+8, για κάθε x .
2. Δίνονται πολυώνυμα P(x) ,Q(x) με ακέραιους συντελεστές για τα οποία ισχύει P(a) a P( a)    ,
P(0) 0 και  Q(x) P P(x) P(x)  , για κάθε πραγματικό αριθμό x . Να δείξετε ότι  βαθμ Q(x) 1 .
3. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2
P(x) αx βx γx δ    . Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί
α,β,γ,δ αν για κάθε ν θετικό ακέραιο ισχύει η σχέση : 4
P(1) P(2) P(3) ... P(ν) ν     .
4. Να βρεθεί το πολυώνυμο P βαθμού 3 με P(0) 0 το οποίο ικανοποιεί τη σχέση :
2
P(x 1) P(x) x   .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το άθροισμα : 2 2
S 1 2 ... n    , όπου n θετικός φυσικός.
5. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα p(x) τρίτου βαθμού για τα οποία ισχύει :
2
p(x) p(1 x) 3x 3x 1,     για κάθε x .
6. Να βρεθούν τα πολυώνυμα P για τα οποία ισχύει : P(P(x))=9x+8, για κάθε x .
7. Αν για τα πολυώνυμα f,g ισχύει f(x)+g(x)=f(x)g(x), για κάθε x , να αποδείξετε ότι είναι
σταθερά.

6. http://www.mathematica.gr/ - Ιστότοπος Μαθηματικών 6
Ρίζες και αριθμητική τιμή πολυωνύμων
1. Να αποδείξετε ότι αν το πολυώνυμο 3 2 2
P(x) x a x a b   ,όπου a,b πραγματικοί αριθμοί με b<0 ,
έχει 3 πραγματικές και διακεκριμένες ρίζες , τότε θα ισχύει:
3 3
|a| b 0
2
 
2. Δίνεται το πολυώνυμο 5 4 3 2 2013
P(x) (8x 4x 10x 17x 13x 3) .     
Να υπολογίσετε το
3
2 1
P .
2
 
  
 
3. Να δείξετε ότι τα πολυώνυμα : 2n 2n 1 2n 2 2n 3 2
nP (x) x 2x 3x 4 ... (2n 1)x 2nx (2n 1)  
         
όπου n θετικός ακέραιος , δεν έχουν πραγματικές ρίζες.
4. Αν τα ακέραια πολυώνυμα 3
P(x) x ax b   και 3 2 2 3 2
Q(x) bx 2a x 5abx 2a b     , με a,b 0
έχουν κοινή ρίζα τότε, να δείξετε ότι το Q(x) έχει διπλή ρίζα .
5. Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού a για τις οποίες η εξίσωση 3 2
x 3x 34x a 0   
έχει δύο ρίζες που διαφέρουν κατά 1 .
6. Δίνονται τα πολυώνυμα 5
P(x) x 55x 21   και 2
Q(x) x λx 1   με λ R
Α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε το Q(x) να είναι διαιρέτης του P(x) και να γράψετε
το πηλίκο της διαίρεσης .
Β) Να βρείτε δυο αντίστροφες ρίζες του P(x).
7. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) με ακέραιους συντελεστές για το οποίο ισχύει :
P(1) 5 ,P( 1) 11 ,P(0) 8    . Να αποδείξετε ότι δεν έχει ακέραιες ρίζες .
8. Η εξίσωση 3 2 *
ax βx γx δ 0, a ,β,γ,δ      έχει ρίζα τον ακέραιο ρ για τον οποίο ισχύει :
2
aρ γ 0  . Να βρεθούν οι άλλες ρίζες της.
9. Δίνεται πολυώνυμο P(x) με ακέραιους συντελεστές. Αν οι τιμές P(0) ,P(1) είναι περιττοί αριθμοί
τότε , να δείξετε ότι το P(x) δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα.
10. Να δειχθεί ότι η εξίσωση ν 1 ν *
νx (ν 1)x 1 0, ν
     με ν 2 έχει διπλή ρίζα τον αριθμό
ρ 1 .
11. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο P(x) με ακέραιους συντελεστές τέτοιο ώστε
P(7) 5, P(15) 9  .

7. http://www.mathematica.gr/ - Ιστότοπος Μαθηματικών 7
12. Να βρεθούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί a ώστε το πολυώνυμο
4 3 2 2
P(x) x 2ax 2a x 2ax 1     , να έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα.
13. Δίνεται το πολυώνυμο 5 4 3 2 2013
P(x) (8x 4x 10x 17x 13x 3) .     
Να υπολογίσετε το
3
2 1
P .
2
 
  
 
Διαιρετότητα πολυωνύμων
1. Δίνεται πολυώνυμο P(x) τέτοιο ώστε
1
P(2) P( )
2
 .
Αν 1Q (x)και 2Q (x) είναι τα πηλίκα των διαιρέσεων του πολυωνύμου P(x) με τα x 2 και 2x 1
αντίστοιχα, να δείξετε ότι:
α) Το x 2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου 2Q (x)
β) Το x 1 είναι παράγοντας του πολυωνύμου 1 2Q (x) Q (x)
2. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης    81 49 25 9 3
x x x x x : x x    
3. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2
P(x) x ax bx c    με τους a,b,c ακεραίους.
Αν το 2
Q(x) x 2x 1   διαιρεί το P(x) να δείξετε ότι: |a| |b| |c| 3  
4. Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 2
P(x) x (k m)x 2kx 5x 4 , x ,k ,m R       .
Να βρείτε τους k,m , ώστε το πολυώνυμο να διαιρείται με τη μέγιστη δυνατή δύναμη του
διωνύμου x 1 .
5. Δίνεται το 2 2010 2 2011
P(x) (x 4x 4) (x 5x 5)      .
i) Να βρεθεί το άθροισμα των συντελεστών του.
ii) Να δειχθεί ότι έχει παράγοντα το διώνυμο x 3 .
iii) Να δειχθεί ότι ο αριθμός 2010 2011
9 11 είναι πολλαπλάσιο του 4.
6. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2
P(x) ax bx x 2    . Να βρείτε τους a,b R , ώστε το P(x) :
α) Να διαιρείται με x 1 και με x 2 β) Να διαιρείται με 2
x 3x 2 
γ) Να διαιρείται με 2
(x 1) δ) Να διαιρείται με 2
x x 1 

8. http://www.mathematica.gr/ - Ιστότοπος Μαθηματικών 8
Πολυωνυμικές εξισώσεις
1. Να επιλυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: 4 3 2
(a 1)x 3ax x 3ax (a 1) 0      
2. Να λυθεί η εξίσωση:
3
2 3 2a 3
a x x , a
9
   .
3. Να λυθεί ως προς x η εξίσωση 3 2 2
6x (4a 3)x 4ax 4a 0     , x R , για κάθε τιμή του
a R .
4. Να επιλυθεί η εξίσωση 3 2
(1 x)(x 1) x  
5. Ας λυθεί η εξίσωση: (x 2)(x 4)(x 3)(x 5) 360    
6. Να λυθεί στο R η εξίσωση : 10 8 6 4 2
x x 8x 24x 32x 48 0     
7. Να επιλυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: 4 3 2
(a 1)x 3ax x 3ax (a 1) 0      
Ρητές εξισώσεις
1. Να λυθεί στο R η εξίσωση:
3 2 3 2
3 2 3 2
3x 2x x 1 3x 2x 5x 13
3x 2x x 1 3x 2x 5x 13
     

     
2. Μια απαιτητική εξίσωση: 2 3 5 17 19
x -11x-4 = + + + .
x-3 x-5 x-17 x-19
3. Να επιλυθεί η εξίσωση
2
2
x 25 100 2x 3 x 6
2x 20x 50 x 5 2x 10
   
 
   
, αφού πρώτα βρεθεί το πεδίο ορισμού.
4. Να λυθεί στο R η εξίσωση:
3 2 3 2
3 2 3 2
3x 2x x 1 3x 2x 5x 13
3x 2x x 1 3x 2x 5x 13
     

     
Άρρητες εξισώσεις
1. Να λυθεί στο R η εξίσωση: 3 3 3
2 x 1 2 x 1 7     
2. Λύστε την εξίσωση : 3 3
3x 1 3x 6 3   
3. Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση : 33
2 2x 1 x 1  
4. Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση : 6
8x 3x x 1 0  
5. Να λύσετε την εξίσωση 3
2x 1 5 x 2    .
6. Να λυθεί η εξίσωση 2 2
(x 2) x x 1 (x 1) x 3x 3 3        .
7. Να λυθεί η εξίσωση
2
3x 3 x 1
4
x x x 1
 
 
 
.

9. http://www.mathematica.gr/ - Ιστότοπος Μαθηματικών 9
8. Ποιον τρόπο επίλυσης της εξίσωσης : 2
x 4x 1 x 1     , προτιμάτε ?
9. Να λυθεί η εξίσωση : x 2x 1 x 2x 1 10     
10. Να λυθεί η εξίσωση :
y 1x 1
1
x y

 
11. Λύστε την εξίσωση : 2 2 2
x 2x 15 2x 4x 7 3x 6x 10         
12. Να λυθεί η εξίσωση 2
x 2x 3 2 x x 1    
Πολυωνυμικές ανισώσεις
1. Να βρείτε για ποιές τιμές του λ η λύση της ανίσωσης:
4 3
x λx λx 1 0    είναι το διάστημα [ 1,1].
2. Έστω το πολυώνυμο 4 3 2
P(x) x kx mx nx 2,k,m,n Z     
Να προσδιορίσετε τις τιμές των ακεραίων k, n, m ώστε να ισχύει η ισοδυναμία:
P(x) 0 x 1    ή x>2.
Ρητές ανισώσεις
1. Να λυθεί η ανίσωση
3 3
2
x 1 2
3 0.
x 2

 
Άρρητες ανισώσεις
1. Να λυθεί η ανίσωση : x 2 x 1 x x 2 x 1 2 ,x R      
Προβλήματα
1. Ένα ελικόπτερο, τη χρονική στιγμή t 0 βρίσκεται σε ύψος 8km από το έδαφος (που το
θεωρούμε επίπεδο) και για κάθε χρονική στιγμή, η απόσταση του από το έδαφος δίνεται από τη
ισότητα y t t t3 2
4 9 6 8     , όπου το t είναι σε λεπτά (min) και το y σε χιλιόμετρα (km).
α. Να βρεθεί ο συνολικός χρόνος πτήσης του ελικοπτέρου, από τη στιγμή που άρχισε η
παρατήρησή του. (t=0)
β. Να δείξετε ότι σε όλη τη διάρκεια της πτήσης, το ελικόπτερο δεν ανέβηκε σε μεγαλύτερο
ύψος από τα 8km.
γ. Ποιες χρονικές στιγμές το ελικόπτερο απέχει από το έδαφος 7km ;

10. http://www.mathematica.gr/ - Ιστότοπος Μαθηματικών 10
5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ - ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Εκθετικές εξισώσεις
1. Να λυθεί η εξίσωση:
x x
x x
8 27 7
12 18 6



2. Να λυθεί στο R η εξίσωση 2x x 1 2x
15·3 34·15 5 0
  
3. Να λυθεί η εξίσωση x x x x
3·4 2·5 4·3 5·2  
4. Βρείτε τις τιμές του k R , ώστε η εξίσωση x x
4 k·2 k 3 0    , να έχει μοναδική λύση ως
προς x R .
5. Να λυθεί η εξίσωση : x x 2014 2014 2014 x
(2 3 ) (2 3 )  
6. Να λυθούν οι εξισώσεις :
2014
1
2014 x x x x
a) x x , x R b) 2014 2014 4028 , x R    
7. Να λυθεί η εξίσωση :  
x 1
3x 4
4x
3 4 1
· · 3
4 3 2

 
 
 
8. Να λυθούν οι εξισώσεις α) x
2 6x 40 0   b) x
7(11 6 2) 3 2  
9. Αν a 0 , a 1, x R ,   να λύσετε την :
2
(x 1)(x 2) (x 1)(x 3) (x 2)(x 3)
1 1 2a
a a a     
 
10. Να λυθεί η εξίσωση:    
x x
5 5
7 4 3 7 4 3 194   
11. Να λυθεί η εξίσωση :    
x x
7 48 7 48 14    , x R
12. Να λυθεί η εξίσωση:
x
2 x
2 2 6  .
13. Να λυθεί η εξίσωση:
x
2 x 3x 103
3 4 2
8

   .
2. Εκθετικές ανισώσεις και ανισότητες
1. Έστω a,b,c πραγματικοί αριθμοί με 1<a<b<c.
Να αποδειχθεί ότι :    
x xx x 2 x
a b a c ab c    για κάθε x .
3. Εκθετικά συστήματα
1. Να λυθεί το σύστημα :
x y 12
x y 3
x y
y x


 


2. Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα :
x y
2 2
x e y e
x xy y 12
   

  

11. http://www.mathematica.gr/ - Ιστότοπος Μαθηματικών 11
3. Να λύσετε το σύστημα :
x y
11
yx
4 ·25 100
2 ·5 10
 


 
4. Να επιλυθούν τα παρακάτω συστήματα: 1)
x y
x y
2 3 7
4 9 25
  

 
2)
x y
x y
x y 12
x y
3
2


  

 


5. Να λυθεί το σύστημα:
y 5
y 2
x 3
9 10 4x
 


4. Λογαριθμικές εξισώσεις
1. Να προσδιορίσετε όλες τις τιμές της πραγματικής παραμέτρου k , ώστε η εξίσωση
2ln(x 3) ln(kx)  να έχει μοναδική λύση .
2. Δείξετε ότι όλες οι ρίζες της εξίσωσης :    
2X x x
2 3 logx 2 3 logx 3    είναι μικρότερες του
10 .
3. Να λυθεί η εξίσωση  4 22 2
log 2log x·log x log x 6 
4. Να λυθεί στο R η εξίσωση:      
3 3 33 2
logx 1 logx 1 logx 2    
5. Να λυθεί η εξίσωση  x 2 2x 1 x 1
e ·ln x 2x 2 e 2e e 
     στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
5. Λογαριθμικές ανισώσεις και ανισότητες
1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης
3 25
log loglog
5 32
A 2 ·3 ·5
Για την τιμή της παράστασης A που βρήκατε να λυθεί η ανίσωση x x
3log (16 2·12 ) 2x A  
2. Δείξτε ότι για τους θετικούς a,b , με a<b , ισχύει :
a
b
a n(1 e )
b n(1 e )



.
3. Αν x 0 και *
m,n με m n , να δείξετε ότι : m n1 1
log(1 x ) log(1 x )
m n
   .
4. Να μελετήσετε τη συνάρτηση
x
ln(1 e )
f(x)
x

 ως προς τη μονοτονία .
6. Λογαριθμικά συστήματα
1 . Ας είναι a,b,c 1 πραγματικοί αριθμοί και ισχύουν : loga logb logc
abc 100
a b c 10000



Να υπολογιστεί η τιμή των a,b,c

12. http://www.mathematica.gr/ - Ιστότοπος Μαθηματικών 12
6. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
1. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x) ln(x a)  για την οποία ισχύει η σχέση
5π π
f( ) f( ) ln2
6 3
 
1) Nα βρείτε την τιμή του a
2) To πεδίο ορισμού της συνάρτησης
3) Την γωνία [0,2π] για την οποία ισχύει η σχέση
π π
ln(cos ) f( ) f( )
12 24
  
4) Nα λυθεί η εξίσωση
π π
f(x ) f(x )
6 6
1
sin(e )cos(e )
2
 

2. Δίνεται η συνάρτηση
tanx cotx
f(x) 1
tanx cotx

 

.
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f .
β. Να λυθούν οι εξισώσεις :
i. f(x) tanx . ii.
π
f(x) f x
2
 
  
 
. iii. f(x) f( x)  .
γ. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή .
δ. Να δείξετε ότι
π
f(x)·tan x 1
2
 
  
 
, για κάθε fx D .
3. Να λυθεί η εξίσωση : x x
9 1 2·3 cosx 
4. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 2
P(x) x x x 2a a 1     
1) Nα αποδείξετε ότι η διαίρεση με το x 1 δεν είναι τέλεια
2) Αν υ(a) το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής , να βρεθεί το a ώστε το υ(a) να γίνεται ελάχιστο
και η ελάχιστη τιμή του υ(a)
3) Για την τιμή του a που βρέθηκε να λυθούν οι εξισώσεις:
i) x 2a x 2a 8ax
4·25 16 4 
  ii)
1
ln
2lnx 2a
1
( ) 4 5·x
2a
  
4) Nα λυθεί η ανίσωση 8ax 4ax 4ax 1 4ax 1
3 9 11·4 4 
  
5. Δίδεται η συνάρτηση
sinx
x 0
f(x) x
1 x 0


 
 
.
α. Να δείξετε ότι η f είναι άρτια.
β. Να δείξετε ότι η f έχει μέγιστη τιμή το 1 .
γ. Να βρείτε τα κοινά σημεία της fC με τις υπερβολές
1 1
y , y
x x
  
δ. Να δείξετε ότι
1 1
f(x) , x 0
x x
    

13. http://www.mathematica.gr/ - Ιστότοπος Μαθηματικών 13
6. 1) Να βρεθεί η τιμή του a αν η fC διέρχεται από το σημείο 431π
((tan ) , ln2)
6

2) Για a 1 :
i) να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
ii) να δείξετε οτι f(x) ln(x 1 2 x) ln(1 x)    
iii) να λυθεί η εξίσωση
1
f( )
4
3 1 sinx 1 π
( ) ( ) x (0, )
2 tanx 1 cosx e 2
  

iv) να λυθεί η ανίσωση 2
f(x ) 0,5
7. Δίνεται συνάρτηση f με  
x k
x k
e
f x ,k R
e 1


 

,x R , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται
από το σημείο
e
A 1,
e 1
 
 
 
Δείξτε ότι : A.k 0 . B. f γνησίως αύξουσα στο R
Γ.    f x f x 1   ,για κάθε x R και να λυθεί η εξίσωση : 2 π 4π
2συν α συνα f συν f συν
5 5
   
     
   
8. Θεωρούμε το πολυώνυμο   3 2
P x x 2x 5x 2β 4     και τη συνάρτηση    x x
f x ln e e β
  
όπου β θετικός ακέραιος και πεδίο ορισμού της f το R .
A. Να βρεθεί ο θετικός ακέραιος β και να λυθεί η ανίσωση  P x 0 .
B. Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει στο 0x 0 ελάχιστο το οποίο και να βρείτε .
Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g με πεδίο ορισμού της g το R , για την οποία ισχύει :
    x
ln g x 2e 1 f x
   για κάθε x R .
Δείξτε ότι x x
g(x) e e
  , για κάθε x R και ότι g γνησίως αύξουσα στοR .
Δ. Να λυθεί η εξίσωση : 6 4 2
ε θ 2ε θ 5ε θ 6 0     
Ε. Να λυθεί η ανίσωση :
  1 2
lnx 1
0.
x ρ x ρ


 
όπου 1 2ρ ,ρ οι θετικές ρίζες του πολυωνύμου  P x .
9. Δίνεται η συνάρτηση : x
x
f(x)
ln(e 1)


α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
β) Λύστε την εξίσωση : f(x) 2
γ) Λύστε την ανίσωση : f(x) x
10. Δίνεται το πολυώνυμο      2 3 2 2 2πθ
P x α 3α 4β x ημ 2 x a α β 2 x 1
2
 
          
 
με ακέραιους συντελεστές και  θ 0,2 . Αν το  P x έχει παράγοντα το x 1 , τότε:
α. Να βρεθούν οι α,β,θ R
β. Για τις τιμές των α,β,θ του α. ερωτήματος:
i. Να λυθεί η εξίσωση P(x) 0
ii. Να βρεθεί η γωνία ω με  ω 0,π , ώστε να ισχύει:  P ημω 0

14. http://www.mathematica.gr/ - Ιστότοπος Μαθηματικών 14
11. Δίνεται η συνάρτηση 2 3
f(x) 3sin a·x cosa·x 5    , με
π
a π
2
  .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Να λύσετε την ανίσωση 2
f(x 2x 3) 5  
γ) Αν
8
f(1)
3
 , τότε να υπολογίσετε:
i) το cosa ii) Την τιμή της παράστασης :
cos a sin a
A
tan a cot a2 2
37π
3 (49π ) 9 ( )
2
4 (51π ) 5 (2π )
  

  
11. 1) Να λυθεί στο το σύστημα: 4 4
x y 4
x y 82
 

 
2) Να λυθεί στο η εξίσωση: 4 4
41 x 41 x 4   
12. Να λυθούν τα συστήματα:
1)
y x x
e
y
log x y log x y
2 2
2
2
3 2
1
1
3 ( 2 6) 2 ( 2) 1
 


      
2)
2 3
2 3
log 1 sinx log (3cosy)
log 1 3cosy log (3sinx)
  



 
3)
2012
2012
3 3 3
x 2
log (x 1) log (x 1) log 4
(2012 1)(x 3x 2) 0
    


    

4)
2 2
2 2
2 2
x xy y
log (x y ) 1 log xy
3 81 
   




5)
2012 8
3 9
3 2
1 1
log x log y 0
2012 4
|x| y 2y 0

 


   


13. Δίνεται η συνάρτηση f ,γνησίως φθίνουσα στο , για την οποία ισχύει
2 2
f (0) f (7) 10f(0) 6f(7) 34     και η συνάρτηση g με 3
g(x) ax bx  όπου a,b για την
οποία ισχύουν
3 24
1
g(1) g(2)
   και
3g(2) 4g(1) 4
g(1)g(2) 3

 .
α) Να υπολογίσετε τις τιμές f(0),f(7),g(1) και g(2)
β) Να δείξετε ότι a 1 και b 2
γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι περιττή
δ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία
ε) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g f είναι γνησίως αύξουσα
στ) Να λύσετε την ανίσωση 2
f(f(x 6x) 3) 5  
14. Δίνεται το σύστημα (Σ1)
mx ψ 1
x (2m 1)ψ m
 

  
με ορίζουσες xD,D και ψD .

15. http://www.mathematica.gr/ - Ιστότοπος Μαθηματικών 15
α) Να λύσετε το σύστημα (Σ1)
β) Αν 0 0(x ,ψ ) η μοναδική λύση του συστήματος (Σ1), να βρείτε την τιμή της παράστασης
0 0A 2ψ x 
γ) Έστω, επιπλέον, το γραμμικό σύστημα (Σ2) με δύο αγνώστους x,ψ και ορίζουσες x ψD ,D ,D 
για τις οποίες ισχύουν:
x
ψ
D D
0
D D





και
x
ψ
D A
2D
D A



 , όπου A η τιμή της παράστασης του ερωτήματος (β).
Αν το σύστημα (Σ2) έχει μοναδική λύση, να βρείτε τη λύση αυτή.
δ) Για m 1
i) Να βρείτε τις λύσεις (x,ψ) του συστήματος (Σ1) για τις οποίες ισχύει 2 2
x 2ψ 1 
ii) Να λύσετε το σύστημα
mx 2ψ 3z 1
2x mψ 4z 2
3x 4ψ (m 4)z 15
   

   
    
15. Αν
π
x (0, )
2
 να λύσετε την εξίσωση cotx tanx
sinx cosx 2 2   .
16. Να λυθεί η εξίσωση x 1 x
2 4 x 1
   .
17. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:  που ορίζονται από τους τύπους
x x
f(x) 2·5 2·5 1 και g(x) 2 3συνx
    
α) Να μελετηθούν ως προς τα ακρότατα β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) g(x)
18. Δίνονται τα πολυώνυμα 3 2
P(x) x (3 logκ)x (5 logλ)x log4      και
3 2 6 2 2
6
λ
Q(x) x (log κ logκ 3)x ( log λ log )x log4
10
        , με κ,λ 0 .
α) Αν τα πολυώνυμα P(x) και Q(x) είναι ίσα μεταξύ τους, να υπολογίσετε τους αριθμούς κ,λ
β) Αν το πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το (x 1)(x 2) 
i) Nα δείξετε ότι κ 2,λ 125 
ii) Να λύσετε την εξίσωση P(x) 0
iii) Aν α η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης P(x) 0 , να λύσετε την ανίσωση x 1 x 2α
3 3 10
 
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2 Q(0)
sin x 10
δ) Να λύσετε το σύστημα
P(1)χ ψ 0
P(2)χ 2ψ 0
 

 
, για τις διάφορες τιμές των κ,λ 0 .
19. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με
1 x
f(x) ln , g(x) f(ημx)
1 x

 

.
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f, g
β) Να λύσετε την εξίσωση g(x) ln3 .
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) ln7 .
δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)
2
x 1
e
2(x 1) x 1
 
 

16. http://www.mathematica.gr/ - Ιστότοπος Μαθηματικών 16
20. Δίνεται η συνάρτηση  
x
3 α
f x
1 α
 
  
 
.
α. Να βρεθούν οι τιμές του α R ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται για κάθε x R .
β. Να βρεθούν οι ακέραιες τιμές του α R ώστε η συνάρτηση f να είναι εκθετική συνάρτηση.
γ. Αν α 0 , να λυθούν οι εξισώσεις:
i.      
3 2
2 f x 5 f x 6f x 9 0          ii.  
3
f συνx
3

21. Να λύσετε την εξίσωση :   2
log x 80 x x 2x 80 x x 21      
22. Δίνεται η συνάρτηση
ln(3x 11)
f(x)
ln(x 5)



α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) 2
γ) Αν x>6 να λυθεί η ανίσωση f(x) 1
23. Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 2
P(x) 16x 32x ax bx c     με a,b,c , το οποίο είναι ίσο με το
τετράγωνο του 2
4x dx 3  .
1) Να βρεθούν τα a,b,c,d
2) Να λύσετε την ανίσωση P x( ) 0
3) Να λύσετε την εξίσωση : 4 3 2 1
32cos x 4cos x sin x 3cosx
8
    
24. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x) ln(x a)  για την οποία ισχύει η σχέση
5π π
f( ) f( ) ln2
6 3
 
1) Nα βρείτε την τιμή του a
2) To πεδίο ορισμού της συνάρτησης
3) Την γωνία [0,2π] για την οποία ισχύει η σχέση
π π
ln(cos ) f( ) f( )
12 24
  
4) Nα λυθεί η εξίσωση
π π
f(x ) f(x )
6 6
1
sin(e )cos(e )
2
 

25. Να λυθεί η εξίσωση x 2λ
x
1
e lne
e
  , λ R .
26. 1) Να λυθεί στο το σύστημα: 4 4
x y 4
x y 82
 

 
2) Να λυθεί στο η εξίσωση: 4 4
41 x 41 x 4   