1. Limit fungsi merupakan bagian penting dari kalkulus yang menjelaskan nilai suatu fungsi ketika variabelnya mendekati nilai tertentu.
2. Terdapat beberapa cara untuk menentukan limit fungsi, yaitu dengan menggunakan metode penghitungan pasangan nilai, grafik, atau definisi limit secara formal.
3. Limit fungsi aljabar dapat dihitung dengan substitusi langsung atau faktorisasi bila terjadi bentuk tak tentu, sed
Skenario pembelajaran limit fungsi membahas pengertian dan konsep limit fungsi, termasuk definisi limit secara intuitif dan formal, teorema-teorema dasar limit fungsi, serta contoh penyelesaian limit fungsi aljabar dan trigonometri dengan variabel yang mendekati nilai tertentu atau tak hingga.
1. Limit fungsi merupakan bagian penting dari kalkulus yang menjelaskan nilai suatu fungsi ketika variabelnya mendekati nilai tertentu.
2. Terdapat beberapa cara untuk menentukan limit fungsi, yaitu dengan menggunakan metode penghitungan pasangan nilai, grafik, atau definisi limit secara formal.
3. Limit fungsi aljabar dapat ditentukan dengan substitusi langsung atau faktorisasi bila terjadi bentuk tak tentu,
Limit fungsi memberikan pengertian tentang nilai fungsi ketika variabel mendekati nilai tertentu atau tak berhingga. Ada beberapa cara menyelesaikan perhitungan limit fungsi aljabar yaitu dengan substitusi langsung, faktorisasi, dan mengalikan dengan bilangan sekawan. Jika variabel menuju tak berhingga, limit diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyabut dengan pangkat tertinggi variabel.
Dokumen tersebut memberikan ringkasan tentang konsep limit fungsi aljabar. Ia menjelaskan definisi limit fungsi, metode-metode penyelesaian limit, dan beberapa teorema yang terkait dengan sifat-sifat limit fungsi.
Skenario pembelajaran limit fungsi membahas pengertian dan konsep limit fungsi, termasuk definisi limit secara intuitif dan formal, teorema-teorema dasar limit fungsi, serta contoh penyelesaian limit fungsi aljabar dan trigonometri dengan variabel yang mendekati nilai tertentu atau tak hingga.
1. Limit fungsi merupakan bagian penting dari kalkulus yang menjelaskan nilai suatu fungsi ketika variabelnya mendekati nilai tertentu.
2. Terdapat beberapa cara untuk menentukan limit fungsi, yaitu dengan menggunakan metode penghitungan pasangan nilai, grafik, atau definisi limit secara formal.
3. Limit fungsi aljabar dapat ditentukan dengan substitusi langsung atau faktorisasi bila terjadi bentuk tak tentu,
Limit fungsi memberikan pengertian tentang nilai fungsi ketika variabel mendekati nilai tertentu atau tak berhingga. Ada beberapa cara menyelesaikan perhitungan limit fungsi aljabar yaitu dengan substitusi langsung, faktorisasi, dan mengalikan dengan bilangan sekawan. Jika variabel menuju tak berhingga, limit diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyabut dengan pangkat tertinggi variabel.
Dokumen tersebut memberikan ringkasan tentang konsep limit fungsi aljabar. Ia menjelaskan definisi limit fungsi, metode-metode penyelesaian limit, dan beberapa teorema yang terkait dengan sifat-sifat limit fungsi.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai soal-soal Ujian Akhir Nasional (UAN) mata pelajaran Matematika. Terdapat 28 soal latihan UAN Matematika beserta pembahasan dan kunci jawaban.
Soal tugas libur semester ganjil tahun 2012-2013 mata pelajaran matematika kelas 8 berisi 30 soal pilihan ganda yang mencakup materi-materi seperti operasi aljabar, bentuk sederhana ekspresi aljabar, segitiga, lingkaran, dan jam. Soal-soal tersebut bertujuan untuk menguji pemahaman siswa terhadap konsep-konsep dasar matematika.
Limit merupakan pendekatan nilai fungsi ketika variabel mendekati suatu nilai tertentu. Terdapat tiga bentuk hasil limit yaitu bentuk tentu, tak tentu, dan tidak terdefinisi. Beberapa teorema limit dapat digunakan untuk menyelesaikan soal-soal limit, seperti penggunaan subtitusi langsung, pemfaktoran, dan membagi dengan variabel pangkat tertinggi ketika variabel mendekati tak hingga.
Sillabus mata kuliah ini membahas berbagai metode numerik untuk menyelesaikan masalah-masalah matematika seperti persamaan non-linear, sistem persamaan linear, interpolasi, turunan numerik, integrasi numerik, dan persamaan diferensial biasa dengan menggunakan pendekatan numerik. Metode-metode yang dibahas antara lain metode eliminasi Gauss, interpolasi polinom, metode Runge Kutta, dan metode integral.
Dokumen tersebut membahas tentang metode-metode penyelesaian sistem persamaan linier, meliputi metode grafik, determinan dan aturan Cramer, eliminasi bilangan anu, serta eliminasi Gauss Naif. Metode-metode tersebut diterangkan beserta contoh penerapannya untuk sistem persamaan linier berukuran kecil maupun besar.
Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar ekonomi mikro seperti diferensial fungsi majemuk, optimalisasi, permintaan marjinal, dan elastisitas permintaan. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan cara menghitung turunan parsial dan derivatif dari suatu fungsi, metode optimalisasi bersyarat melalui substitusi dan Lagrange, serta konsep permintaan marjinal dan elastisitas permintaan untuk menganalisis hubungan antar variabel.
Fungsi kuadrat adalah pemetaan bilangan nyata ke dirinya sendiri dengan bentuk umum y = ax^2 + bx + c dimana a ≠ 0. Grafiknya berbentuk parabola dengan titik potong sumbu x dan y, sumbu simetri, serta titik puncak yang dapat dihitung berdasarkan persamaannya.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep-konsep dasar statistika yang terkait dengan pemodelan dan simulasi, meliputi probabilitas, fungsi distribusi, ekspektasi matematika, probabilitas bersyarat, kovarians dan korelasi.
Rangkuman materi mata pelajaran IPA kelas XI semester genap mencakup materi suku banyak, fungsi komposisi dan invers, limit fungsi, serta turunan fungsi dan aplikasinya.
Dokumen tersebut berisi soalan-soalan matematika untuk ujian Sijil Pelajaran Malaysia (SPM). Terdapat lima bagian yang mencakup materi Aljabar, Kalkulus, Geometri, Statistik dan Trigonometri. Soalan-soalan tersebut meliputi penyelesaian persamaan, pembentukan fungsi kuadratik, bukti rumus trigonometri, pembentukan vektor, dan penyelesaian masalah geometri.
Dokumen tersebut membahas tentang bilangan kompleks, yaitu bilangan yang berbentuk a + bi dimana a dan b adalah bilangan real dan i^2 = -1. Bilangan kompleks dapat dioperasikan dengan penjumlahan dan perkalian. Bilangan kompleks dapat juga direpresentasikan dalam bentuk kutub (polar) yaitu (r, theta).
Format penyajian butir soal ujian sekolah untuk satu mata pelajaran dan program tertentu menampilkan kompetensi yang diujikan, materi pelajaran, bahan kelas, jumlah butir soal untuk ujian tulis pilihan ganda dan uraian serta nomor butir soal, serta jumlah dan nomor butir soal untuk ujian praktik.
Dokumen tersebut membahas tentang operator dan ekspresi dalam PHP. Terdapat beberapa jenis operator seperti operator aritmatika, increment/decrement, logical, string, serta bentuk dan fungsi string. Dokumen juga membahas operator bitwise, penugasan dan string yang tidak disebutkan dalam sumber yang dirujuk.
Dokumen tersebut membandingkan instrumen akreditasi dengan profil SKM/SSN terkait standar isi kurikulum. Beberapa poin perbandingan meliputi penyusunan KTSP yang melibatkan berbagai pihak, komponen-komponen KTSP, pengembangan kurikulum melalui mekanisme penyusunan KTSP, penerapan prinsip-prinsip tertentu dalam kurikulum, penyusunan silabus, kurikulum muatan lokal, program pengembangan
Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai soal-soal Ujian Akhir Nasional (UAN) mata pelajaran Matematika. Terdapat 28 soal latihan UAN Matematika beserta pembahasan dan kunci jawaban.
Soal tugas libur semester ganjil tahun 2012-2013 mata pelajaran matematika kelas 8 berisi 30 soal pilihan ganda yang mencakup materi-materi seperti operasi aljabar, bentuk sederhana ekspresi aljabar, segitiga, lingkaran, dan jam. Soal-soal tersebut bertujuan untuk menguji pemahaman siswa terhadap konsep-konsep dasar matematika.
Limit merupakan pendekatan nilai fungsi ketika variabel mendekati suatu nilai tertentu. Terdapat tiga bentuk hasil limit yaitu bentuk tentu, tak tentu, dan tidak terdefinisi. Beberapa teorema limit dapat digunakan untuk menyelesaikan soal-soal limit, seperti penggunaan subtitusi langsung, pemfaktoran, dan membagi dengan variabel pangkat tertinggi ketika variabel mendekati tak hingga.
Sillabus mata kuliah ini membahas berbagai metode numerik untuk menyelesaikan masalah-masalah matematika seperti persamaan non-linear, sistem persamaan linear, interpolasi, turunan numerik, integrasi numerik, dan persamaan diferensial biasa dengan menggunakan pendekatan numerik. Metode-metode yang dibahas antara lain metode eliminasi Gauss, interpolasi polinom, metode Runge Kutta, dan metode integral.
Dokumen tersebut membahas tentang metode-metode penyelesaian sistem persamaan linier, meliputi metode grafik, determinan dan aturan Cramer, eliminasi bilangan anu, serta eliminasi Gauss Naif. Metode-metode tersebut diterangkan beserta contoh penerapannya untuk sistem persamaan linier berukuran kecil maupun besar.
Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar ekonomi mikro seperti diferensial fungsi majemuk, optimalisasi, permintaan marjinal, dan elastisitas permintaan. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan cara menghitung turunan parsial dan derivatif dari suatu fungsi, metode optimalisasi bersyarat melalui substitusi dan Lagrange, serta konsep permintaan marjinal dan elastisitas permintaan untuk menganalisis hubungan antar variabel.
Fungsi kuadrat adalah pemetaan bilangan nyata ke dirinya sendiri dengan bentuk umum y = ax^2 + bx + c dimana a ≠ 0. Grafiknya berbentuk parabola dengan titik potong sumbu x dan y, sumbu simetri, serta titik puncak yang dapat dihitung berdasarkan persamaannya.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep-konsep dasar statistika yang terkait dengan pemodelan dan simulasi, meliputi probabilitas, fungsi distribusi, ekspektasi matematika, probabilitas bersyarat, kovarians dan korelasi.
Rangkuman materi mata pelajaran IPA kelas XI semester genap mencakup materi suku banyak, fungsi komposisi dan invers, limit fungsi, serta turunan fungsi dan aplikasinya.
Dokumen tersebut berisi soalan-soalan matematika untuk ujian Sijil Pelajaran Malaysia (SPM). Terdapat lima bagian yang mencakup materi Aljabar, Kalkulus, Geometri, Statistik dan Trigonometri. Soalan-soalan tersebut meliputi penyelesaian persamaan, pembentukan fungsi kuadratik, bukti rumus trigonometri, pembentukan vektor, dan penyelesaian masalah geometri.
Dokumen tersebut membahas tentang bilangan kompleks, yaitu bilangan yang berbentuk a + bi dimana a dan b adalah bilangan real dan i^2 = -1. Bilangan kompleks dapat dioperasikan dengan penjumlahan dan perkalian. Bilangan kompleks dapat juga direpresentasikan dalam bentuk kutub (polar) yaitu (r, theta).
Format penyajian butir soal ujian sekolah untuk satu mata pelajaran dan program tertentu menampilkan kompetensi yang diujikan, materi pelajaran, bahan kelas, jumlah butir soal untuk ujian tulis pilihan ganda dan uraian serta nomor butir soal, serta jumlah dan nomor butir soal untuk ujian praktik.
Dokumen tersebut membahas tentang operator dan ekspresi dalam PHP. Terdapat beberapa jenis operator seperti operator aritmatika, increment/decrement, logical, string, serta bentuk dan fungsi string. Dokumen juga membahas operator bitwise, penugasan dan string yang tidak disebutkan dalam sumber yang dirujuk.
Dokumen tersebut membandingkan instrumen akreditasi dengan profil SKM/SSN terkait standar isi kurikulum. Beberapa poin perbandingan meliputi penyusunan KTSP yang melibatkan berbagai pihak, komponen-komponen KTSP, pengembangan kurikulum melalui mekanisme penyusunan KTSP, penerapan prinsip-prinsip tertentu dalam kurikulum, penyusunan silabus, kurikulum muatan lokal, program pengembangan
RPP ini membahas tentang menghitung luas permukaan dan volume bangun ruang. Materi pelajaran meliputi rumus-rumus untuk menghitung luas permukaan kubus, balok, prisma, tabung, kerucut, limas, dan bola serta volume bangun ruang tersebut. Metode pembelajaran yang digunakan antara lain tanya jawab, diskusi kelompok, dan penugasan soal. Penilaian hasil belajar dilakukan dengan soal essay berstruktur.
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas pembelajaran materi fungsi linier dan grafiknya untuk siswa kelas XI semester 1 di SMK N 2 Doloksanggul. RPP ini menjelaskan standar kompetensi, indikator, tujuan pembelajaran, materi, metode, dan langkah-langkah kegiatan pembelajaran yang mencakup kegiatan awal, inti, dan penutup. Evaluasi dilakukan dengan soal essay dan kunci jawaban.
1. Limit fungsi merupakan bagian penting dari kalkulus yang digunakan untuk menentukan nilai fungsi ketika variabel mendekati nilai tertentu.
2. Terdapat dua definisi limit fungsi, yaitu secara intuitif dan secara formal. Definisi formal menyatakan bahwa limit suatu fungsi sama dengan L jika untuk setiap nilai epsilon lebih besar dari nol, terdapat delta sehingga fungsi berada di dalam rentang L plus minus epsilon.
3. Metode pen
This document provides a template for mapping curriculum standards which includes columns for the subject, class/semester, competencies, indicators, core materials, scope of each material, and allocation of time. The template is used to outline the key elements that will be covered for a particular subject at a given grade level including the objectives, topics, and timeframe.
1. Dokumen menjelaskan definisi perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, termasuk nama sisi depan, sisi samping, dan sisi miring bergantung pada sudut acuan.
2. Juga dibahas enam perbandingan trigonometri standar beserta kebalikannya.
3. Diberikan dua contoh soal untuk menghitung perbandingan trigonometri berdasarkan informasi yang diberikan.
Dokumen tersebut membahas tentang kisi-kisi UKA bidang studi geomatika yang mencakup 10 kompetensi utama yang terdiri dari berbagai indikator esensial dan kompetensi dasar untuk menunjang penyelenggaraan kegiatan pengembangan yang mendidik di SMK bidang geomatika.
Dokumen tersebut berisi tentang penghitungan kriteria ketuntasan minimal (KKM) untuk mata pelajaran PPKn, Bahasa Indonesia, dan Matematika di kelas 1 semester 1 dan 2. Dokumen ini menjelaskan kompetensi dasar, indikator pencapaian kompetensi, dan hasil perhitungan KKM untuk masing-masing mata pelajaran.
1. RPP ini membahas tentang menentukan hubungan antara unsur-unsur dalam bangun ruang dimensi tiga seperti jarak dan sudut antara titik, garis, dan bidang. Pelajaran akan disampaikan secara bertahap melalui diskusi kelompok dan pemecahan masalah.
Skenario pembelajaran ini membahas tentang limit fungsi, meliputi pengertian limit fungsi, contoh perhitungan limit fungsi aljabar dan trigonometri, serta teorema-teorema terkait limit fungsi. Materi ini merupakan bagian penting dalam pengantar kalkulus.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep limit fungsi dalam kalkulus. Secara singkat, limit fungsi menjelaskan perilaku fungsi ketika nilai variabelnya mendekati suatu nilai tertentu tanpa harus sama dengan nilai tersebut. Dokumen ini juga menjelaskan beberapa teorema dan contoh perhitungan limit fungsi sederhana beserta penjelasan metode penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas tentang kontinuitas fungsi, termasuk definisi kontinuitas fungsi, syarat-syarat agar suatu fungsi kontinu pada suatu titik, dan contoh-contoh soal untuk menguji kontinuitas fungsi. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan bahwa suatu fungsi dikatakan kontinu pada suatu titik jika memenuhi tiga syarat yaitu nilai fungsi di titik tersebut terdefinisi, limit fungsi saat mendekati titik
Dokumen tersebut membahas tentang integral tak wajar dan integral wajar. Integral tak wajar adalah integral dari fungsi yang tidak terdefinisi pada seluruh domain integrasi, sedangkan integral wajar adalah integral dari fungsi yang terdefinisi pada seluruh domain integrasi.
Modul ini menjelaskan aturan L'Hopital untuk menghitung limit fungsi yang memiliki bentuk tak tentu seperti 0/0, ∞/∞, 0×∞, ∞ - ∞, dan 0°, ∞°, 1∞. Aturan ini mengubah limit fungsi asli menjadi limit turunan fungsinya."
Pertemuan 3 teknik integrasi (substitusi, substitusi bentuk radikal ke bent...Dearest Rome
Dokumen tersebut membahas metode substitusi untuk menyelesaikan integral, yaitu substitusi trigonometri, bentuk akar, dan bentuk kuadrat. Metode substitusi digunakan untuk mengubah bentuk integral agar dapat diselesaikan. Contoh soal dan penjelasan singkat tentang cara menerapkan setiap metode substitusi diberikan.
Vektor random adalah perluasan dari variabel random dimana bila satu variabel terukur menghasilkan satu variabel random, namun bila menghasilkan beberapa variabel terukur maka hasilnya adalah vektor random. Statistik matematika yang dibahas meliputi distribusi, ekspektasi, variansi, kovariansi, dan korelasi untuk vektor random.
Dokumen tersebut membahas metode penyelesaian persamaan diferensial homogen dengan menggunakan subtitusi y = vx, di mana v adalah fungsi dari x. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang tidak dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel atau faktorisasi. Beberapa contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan untuk memperjelas penjelasan metode subtitusi tersebut.
1. Dokumen membahas penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva dan volume benda putar
2. Ada beberapa metode untuk menghitung volume benda putar yaitu metode cakram, cincin, dan kulit tabung
3. Beberapa contoh soal diberikan beserta penyelesaiannya untuk mengilustrasikan konsep-konsep tersebut
Dokumen tersebut membahas materi integral pada kelas XII IPA, yang mencakup pengertian integral tak tentu dan tertentu, integral fungsi aljabar dan trigonometri, integral substitusi, integral parsial, serta penggunaan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar."
1. Dokumen tersebut membahas tentang definisi dan konsep limit fungsi, termasuk limit fungsi aljabar dengan variabel x mendekati nilai konstan dan tak hingga, serta limit fungsi trigonometri.
Dokumen tersebut membahas materi integral pada kelas XII IPA, meliputi pengertian integral tak tentu dan tertentu, cara menghitung integral berbagai fungsi, integral substitusi, integral parsial, serta penerapan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar."
RPP ini membahas pelajaran vektor pada kelas XI semester 2. Materi pelajaran meliputi konsep vektor dan operasi-operasi dasar seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan skalar. Guru akan mengajarkan materi ini dengan metode diskusi kelompok dan ekspositori serta memberikan soal latihan untuk mengevaluasi pemahaman siswa.
RPP ini membahas pembelajaran materi identitas dan persamaan trigonometri untuk siswa kelas XI SMK Negeri 2 Doloksanggul. Materi pelajaran mencakup penjelasan identitas trigonometri, penyelesaian persamaan trigonometri berbentuk sin x = a, cos x = b, dan tan x = c, serta penyelesaian persamaan trigonometri lainnya seperti bentuk kuadrat dan a cos x + b sin x = c. Metode pembelajaran yang digunakan ant
Rencana pelaksanaan pembelajaran mata pelajaran matematika kelas XI semester ganjil SMK Negeri 2 Doloksanggul tahun pelajaran 2012-2013 membahas tentang perbandingan trigonometri, meliputi pengertian, rumus, dan penerapannya dalam menentukan unsur-unsur segitiga siku-siku dan masalah-masalah terkait lainnya. Materi akan disampaikan menggunakan metode ceramah, diskusi, penugasan, dan penemuan, di
1. Rencana pelaksanaan pembelajaran (RPP) ini membahas materi fungsi kuadrat kelas XI semester 1 SMK N 2 Doloksanggul. Materi ini diajarkan dalam 9 pertemuan dengan indikator menggambar dan menentukan grafik, persamaan, dan nilai ekstrim fungsi kuadrat.
2. Pembelajaran dilakukan secara diskusi kelompok dan penugasan, dengan tujuan siswa dapat menggambar grafik dan menentukan persamaan fungsi
Dokumen tersebut merupakan jadwal pelajaran mata pelajaran Matematika untuk kelas XI di SMK Negeri 2 Doloksanggul yang mencakup jadwal mengajar tiap hari dan kelas yang diampu. Jadwal tersebut meliputi 24 jam pelajaran yang diselenggarakan 5 hari dalam seminggu untuk mata pelajaran dan guru Matematika bernama Drs. Manaek Lumban Gaol.
1. RPP ini membahas tentang unsur-unsur dan jaring-jaring bangun ruang dimensi tiga serta menentukan luas bidang dan bangun ruang.
2. Materi pelajaran meliputi bangun ruang dan unsur-unsurnya, jaring-jaring bangun ruang. Metode pembelajaran menggunakan tanya jawab, diskusi kelompok, ekspositori dan penugasan.
3. Kegiatan pembelajaran terdiri atas kegiatan awal, inti yang meliputi identifikasi bang
RPP ini membahas tentang transformasi bangun datar melalui beberapa metode seperti translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Guru akan menjelaskan jenis-jenis transformasi, memberikan contoh soal, dan mengajak siswa mengerjakan soal secara individu dan kelompok. Penilaian dilakukan dengan soal essay struktur meliputi contoh-contoh perhitungan transformasi bangun datar.
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas tentang mengkonversi satuan sudut antara derajat, radian, menit, dan detik. Materi pelajaran meliputi macam-macam satuan sudut dan konversi satuan sudut. Metode pembelajaran yang digunakan adalah tanya jawab, diskusi kelompok, ekspositori, penugasan, dan penemuan terbimbing. Penilaian hasil belajar berupa soal essay berstruktur mengenai konversi satuan sudut
RPP ini membahas pembelajaran tentang pola bilangan, barisan, dan deret. Materi yang diajarkan meliputi pengertian pola bilangan, barisan, dan deret serta notasi sigma untuk menyederhanakan penjumlahan deret. Siswa diajak menganalisis pola bilangan untuk menentukan suku berikutnya dan menuliskan deret menggunakan notasi sigma. Metode pembelajaran meliputi tanya jawab, diskusi kelompok, penugasan, dan penemuan.
Fungsi, Persamaan Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
Dokumen ini membahas tentang relasi dan fungsi, fungsi linear, dan fungsi kuadrat. Fungsi dijelaskan sebagai hubungan satu lawan satu antara unsur-unsur dari dua himpunan. Jenis-jenis fungsi meliputi fungsi konstan, identitas, linear, dan kuadrat. Fungsi linear memiliki grafik garis lurus, sedangkan fungsi kuadrat memiliki grafik parabola. [/ringk
Dokumen tersebut membahas tentang trigonometri dan rumus-rumusnya seperti sinus, kosinus, tangen, luas segitiga, jari-jari lingkaran dalam segitiga, dan beberapa contoh soal."
1. Skenario Pembelajaran Limit Fungsi
13.1. Limit Fungsi
N Bidang kegiatan Uraian Materi
o
1 Menjelaskan Limit Fungsi merupakan bagian dari pengantar kalkulus (Hitung
pengertian limit Difrensial dan Hitung Integral) Limit Fungsi hanyalah merupakan
fungsi pelengkap dari dasar – dasar kalkulus tetapi bukan kalkulus
Contoh 1.
Diketahui fungsi y f x x 1 .Fungsi ini terdefenisi untuksemua x .
2
x x 2
Tetapi bagaimana dengan f x
x 2
x bilangan riel. Berpakah nilai f x untuk x mendekati 2 ?
Untuk menjawabnya perhatikan tabel nilai-nilai f x berikutini
. . . .2. . .
x 1,8 1,9 1,999 2,001 2,01 2,1 2,2
.
Y=x+1 2,800 2,900 2,999 . 3,001 3,010 3,100 3,20
2
x x 2
f x
x 2
2,800 2,900 2,999 . 3,001 3,010 3,100 3,20
Kemudian kalau kita tampilkan dalam bentuk grafi fungsi
y
Y = f(x) = x + 1
3 2
x x 2
f x
x 2
2
1
x
- 0 1 2 3
1 cara ini yakni metode penghitungan pasangan nilai-nilai
Dari kedua
(x, y) yang disusun dalam tabel di atas dan dengan metode grafik
tampak bahwa fungsi y f x untuk x mendekati 2 baik pendekatan
dari kiri maupun pendekata dari kanan nilainya mendekati 3 yang
dalam lambang matematika dituliska sebagai berikut
1. Untuk fungsi y f x x 1 jika x mendekati 2 dituliskan
lim f x lim x 1 2 1 3
x 2 x 2
2
x x 2
2. Untuk fungsi f x jika x mendekati 2 dituliskan
x 2
2
x x 2
lim f x lim , selanjutnya jika kita lakukan
x 2 x 2 x 2
substitusi langsung :
2 2
x x 2 2 2 2 0
lim f x lim ini adalah bentuk
x 2 x 2 x 2 2 2 0
tak tentu. Untuk menghindari kondisi seperti ini kita lakukan cara
faktorisasi.
2. Skenario Pembelajaran Limit Fungsi
2
x x 2
lim f x lim
x 2 x 2 x 2
x 2 x 1
lim
x 2 x 2
lim x 1 2 1 3
x 2
Defenisi 1
Defenisi secara intuitif, bawa lim f x L , artinya bahwa
x a
bilangan x mendekati tetapi berlaina dengan a maka f x dekat ke
L
Defenisi 2
Secara formal
Dikatakan lim f x L ,adalah bahwa untuk setiap 0 yang
x a
diberikan berapapun kecilnya terdapat 0 yang berpadanan
sedemikian sehingga f x L untuk setiap 0 x c
Denganmenggunakan defenisi limit di atas dapat dibuktikan teorema –
teorema pokok tentang limit suatu fungsi berikut ini.
1. Lim k k , jika k suatu konstanta.
x c
2. Lim ax b ac b
x c
3. Lim k f x k Lim f x
x c x c
4. Lim f x g x Lim f x Lim g x
x c x c x c
5. Lim f x g x Lim f x Lim g x
x c x c x c
6. Hukum substitusi :
Jika Lim g x L dan Jika Lim f x f L , maka
x c x c
Lim f g x f L
x c
1 1
7. Lim Jika Lim g x L dan L 0
x c g x L x c
f x Lim f x
x c
8. Lim jika Lim g x 0
x c g x Lim g x x c
x c
9. Teorema Apit :
Misalkan f x g x h x pada interval yang memuat c dan
dipenuhi
Lim f x Lim h x maka Lim g x L
x c x c x c
Pembuktian ada pada Modul matematika (Kalkulus 1)
2 Membahas Limit Contoh :
fungsi aljabar
1. Lim 3 x 1 3 2 1 5
yangVariabelnya x 2
mendekati nilai 2. Lim 2 x
2
4 21
2
4 6
tertentu x 1
Tentukan nilai masing-masing limit fungsi di bawah ini
3. Skenario Pembelajaran Limit Fungsi
2
1. Lim x x 4
x 2
2. Lim 10 x
x 1
x 1
3. Lim
x 2 x 1
2
x 1
4. Lim 2
x 2 x 1
Penyelesaian nomor 1
2
Lim x x 4
x 2
2
2 2 4
10
3 Membahas soal – f x Lim f x
x c
soal limit fungsi Jika dengan substitusi langsung Lim diperoleh
x c g x Lim g x
yang diselesaikan x c
dengan cara f x 0
faktorisasi (bentuk taktentu) maka pengerjaan limit fungsi dilakukan
g x 0
dengancara faktorisasi.
Contoh:
2
x 4 x 2 x 2
1. Lim Lim Lim x 2 2 2 4
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Soal nomor 2 sampai dengan nomor 8 diberikan sebagai latihan
mandiri atau diskusi
2
x x 6
2. Lim
x 3 x 3
x 1
3. Lim
x 1 x 3
x
4. Lim 2
x 0 x x
3
x 2x
5. Lim 2
x 0 x x
4 3 2
x x 4x x
6. Lim 3 2
x 0 x 2x 8x
2
x 9
7. Lim
x 3 2
x 7 4
4 x 4 x
8. Lim
x 0 x
4 Membahas Limit
fungsi Aljabar yang
variabelnya
mendekati Contoh:
takberhingga 4x 1
1. Lim
x 8x 3
2
2x x 1
2. Lim 2
x x 4x 8
2
2x 1
3. Lim 3
x x 4
4. Skenario Pembelajaran Limit Fungsi
2
4x 1
4. Lim
x x 2
3 2
4x 3x 10 x 2
5. Lim 3 2
x 2x 5x 3x 1
4 3 2
5x 4x x 5 x7
6. Lim 3 2
x 2x 10 x x 3
3 2
2x 4x x 5
7. Lim 5 4 3 2
x x 3x 4x 6x 10 x 3
5 Membahas Limit
fungsi Aljabar yang Contoh:
variabelnya
mendekati 1. Hitung limit fungsi yang berikut ini
takberhingga,denga a. Lim x 2 x 1`
x
n caramengalikan
2 2
dengan faktor b. Lim x 3x 4 x x 2`
x
kawan
2 2
c. Lim 2x x 1 x 3x 1`
x
6 Membahas limit Contoh:
fungsi trigonometri 1. Hitung nilai limit fungsi trigonometri di bawah ini
a. Lim Sinx Sin 1
x 2
2
7 4 x 4 x 4 x 4 x
Lim
x 0 x 4 x 4 x
4 x 4 x
Lim
x 0
x 4 x 4 x
4 x 4 x
Lim
x 0
x 4 x 4 x
2x
Lim
x 0
x 4 x 4 x
2
Lim
x 0
4 x 4 x
2 2 1
4 0 4 0 2 2 2
8 dst .........