1. Dokumen membahas penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva dan volume benda putar 2. Ada beberapa metode untuk menghitung volume benda putar yaitu metode cakram, cincin, dan kulit tabung 3. Beberapa contoh soal diberikan beserta penyelesaiannya untuk mengilustrasikan konsep-konsep tersebut

1. KALKULUS 1
KELOMPOK 3
120401108 JAMES SINAMBELA
120401111 ZYKRIE YUDHI
120401109 ISRA HUTAHURUK
120401110 IMMANUEL
SIMANULLANG
120401112 JULHARI RITONGA

2. PENGGUNAAN INTEGRAL
TENTU
 Luas Daerah Yang Dibatasi Sebuah Kurva
Misalkan y = f(x) sebuah persamaan kurva
yang membatasi daerah pada bidang rata xy
dan kontiinu serta f(x) x [a, b]. Luas daerah
yang dibatasi kurva y = f(x), x = a, x = b dan
garis y = 0, dapat ditentukandengan integral
tentu yaitu

4. Contoh :
Tentukan luas daerah R yang dibatasi kurva y =
2x2 – 8, garis x = -1, x = 2, x = 3 dan sumbu-x.
Seperti pada gambar berikut :

5. Penyelesaian :

6. Catatan :
Jika y = f(x) kontinu dan negatif pada
[a,b], maka luas daerah yang dibatasi
kurva y = f (x) adalah . Seperti padaa
contoh diatas y = f(x) = 2x2 – 8, garis x
= -1, dan x = 2, fungsi f berarti bernilai
negatif.

7. Defenisi
Misalkan fungsi f kontinu pada [a,b]. Luas yang
dibatasi oleh kurva y = f(x) dan sumbu-x, garis
x = a, dan garis x = b adalah :

8. Contoh :
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva ,
sumbu x, garis x = 0, dan garis x = 4.
Penyelesaian :

9. Contoh :
Carilah luas daerah yang dibatasi oleh f(x) = x3 –
4x2 – x + 3, sumbu x, garis x = -1dan x = 3.
Penyelesaian :

10. Kurva f(x) = x3 – 4x2 – x + 3 memotong sumbu x
di x= -1, x = 1 dan x =3.
f(x) ≥ 0 pada [-1,1] dan f(x) ≤ 0 pada [1,3].
Karena kita dapat membagi daerah yang dicari
atas dua bagian, misalkan L-1 merupakan luas
daerah pada interval [-1,1] dan L2 merupakan
luas daerah pada interval [1,3]. Maka kita peroleh,
DAN

11. Jadi, L = L1 + L2 maka,

12.  Luas Daerah Antara Dua Kurva
Jika f dan g dua fungsi yang kontinu dan jika
f(x) ≥ g(x),∀x ∈ [a,b], maka luas daerah
yang terbatas diatas oleh y = f(x), dan
terbatas dibawah y = g(x) serta dibatasi
kiri oleh garis x = a dan dibatasi kanan
geris x = b ditentukan dengan

13. CATATAN !
Perlu untuk diperhatikan bahwa rumus
hanya tergantung pdaa kekontinuan f
dan g, serta asumsi bahwa g(x) ≤ f(x),
∀x ∈ [a,b].
Grafik f dan g dapat ditempatkan
sebarang dengan berpatokan pada
sumbu x.

14. Contoh :
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = , y
= -x + 6 dan garis y = 1 dan sketsa grafiknya.
Penyelesaian :
Titik perpotongan antara kurva y = dengan garis y = -x + 6 adalah
dititik (4,2). Perpotongan kurva = , dan y = -x + 6 dengan garis y = 1
adalah titik (1,1) dan titik (5,1). Batas atas daerah yang dimaksud dua
bagian yaitu y = bila saat 1≤x≤4 dan y = -x +6 dan bila saat 4≤x≤5.
Sehingga daerah perlu dibagi menjadi dua bagian R1 dan R2.

16. Dengan demikian luas daerah yang
dimaksud adalah,

17. Contoh :
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh
kurva-kurva y = x2 dan y = 4x – x2.
Penyelesaian :
jadi titikpotong kedua
kuva adalah (0,0) dan
y1 = y2
(2,4). Berikutnya
2x2 – 4x = 0 perhatikan bahwa
2x ( x – 2 ) = 0 (4x – x2) ≥ x2 , ∀x ∈
x = 0 dan x = 2 [0,2], naka kita peroleh,

19. Volume benda putar
Ada 3 metode menghitung volume benda putar dengan
menggunakan integral, yaitu:
1. Metode cakram
berdasarkan rumus Volume = Luas Alas × tinggi
Luas Alas selalu berupa lingkaran sehingga Luas
Alas = πr2 (r adalah jari-jari putaran)
digunakan jika batang potongan yang dipilih
tegak lurus dengan sumbu putar

20. Volume benda putar

21. Contoh. 1
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1,
sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Jawab
y
y
y x2 1
Langkah penyelesaian:
x h= x
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi 1 x2 1 r x2 1
3. Tentukan ukuran dan x x
x 2
bentuk partisi
x

22. 2
V r 2 dx
0
2
V (x 2 1 2 dx
) y
0
2
V (x 4 2x 2 1 dx
) h= x
0
r x2 1
1 x5 2 x3 2
V x x
5 3 0
V ( 32 16 2 0) 1311 x
5 3 15

23. Contoh. 2
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2,
sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Jawab y
y x2
Langkah penyelesaian: 2
y
1. Gambarlah daerahnya y
y
2. Buatlah sebuah partisi
x
3. Tentukan ukuran dan bentuk y
partisi
r y
h= y
y
x

24. 2
V r 2 dx
0
2
V ydy
0 y
2
V ydy
0
2 2 2
V 1
2 y 0 r y
h= y
V ( 2 4 0)
1
y
V 2 x

25. 2. Metode cincin
Menghitung volume benda putar
dengan menggunakan metode
cincin dilakukan dengan
memanfaatkan rumus volume
cincin seperti gambar di samping,
yaitu V= (R2 – r2)h
Gb. 5
R
r
h

26. Contoh . 3
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Jawab
y
y
Langkah penyelesaian: y x2
1. Gambarlah daerahnya y = 2x
4
2. Buat sebuah partisi x
3. Tentukan ukuran dan
x
bentuk partisi 2x
x2
x
2
x

27. V = (R2 – r2) h y y x2
y = 2x
4
x
2
V (4 x 2 x 4 ) dx
R=2x
0
r=x2
V 4 x3 1 x5 2 2
x
3 5 0 x
V ( 32 32 ) y
3 5
V (160 96 )
15
V 64
15
x

28. 3. Metode Kulit Tabung

29. r
r
h
h
V = 2 rhΔr
2 r
Δr

30. Contoh. 4
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Jawab
y
Langkah penyelesaian: y x2
1. Gambarlah daerahnya 4
2. Buatlah sebuah partisi 3 x
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi. 2
. 1 x2
x
0 1 2
x

31. y y
2
y x
4 4
3 x 3 x
r=x
2 2
1 x2 1 h = x2
x x
0 1 2 1 2 0 1 2
x
2
V 2 rh x V 2 x 3 dx
0
V 2 (x)(x2) x 2
1 4
V 2 4
x
0
V 8

32. Jika daerah pada contoh ke-4 tersebut dipartisi secara horisontal dan
sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut
membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode
cincin adalah sebagai berikut.
4
y y V 4 y dx
2
y x 0
4
4 1 2
4 V 4y 2
y
0
3 3
R=2
V (16 8)
2 2
r=x V 8
y
1 1
x x
0 1 2 -2 -1 0 1 2
x