Skenario pembelajaran limit fungsi membahas pengertian dan konsep limit fungsi, termasuk definisi limit secara intuitif dan formal, teorema-teorema dasar limit fungsi, serta contoh penyelesaian limit fungsi aljabar dan trigonometri dengan variabel yang mendekati nilai tertentu atau tak hingga.

1. Skenario Pembelajaran Limit Fungsi
13.1. Limit Fungsi
N Bidang kegiatan Uraian Materi
o
1 Menjelaskan Limit Fungsi merupakan bagian dari pengantar kalkulus (Hitung
pengertian limit Difrensial dan Hitung Integral) Limit Fungsi hanyalah merupakan
fungsi pelengkap dari dasar – dasar kalkulus tetapi bukan kalkulus
Contoh 1.
Diketahui fungsi y  f x   x  1 .Fungsi ini terdefenisi untuksemua x .
x2  x  2
Tetapi bagaimana dengan f  x  
x2
xbilangan riel. Berpakah nilai f  x  untuk x mendekati 2 ?
Untuk menjawabnya perhatikan tabel nilai-nilai f  x  berikutini
. . . .2. . .
x 1,8 1,9 1,999 2,001 2,01 2,1 2,2
.
Y=x+1 2,800 2,900 2,999  .  3,001 3,010 3,100 3,20
x2  x  2
f x  
x2
2,800 2,900 2,999  .  3,001 3,010 3,100 3,20
Kemudian kalau kita tampilkan dalam bentuk grafi fungsi
y
Y = f(x) = x + 1
3
x2  x  2
f x  
x2
2
1
x
- 0 1 2 3
Dari kedua cara ini yakni metode penghitungan pasangan nilai-nilai
(x, y) yang disusun dalam tabel di atas dan dengan metode grafik
tampak bahwa fungsi y  f  x  untuk x mendekati 2 baik pendekatan
dari kiri maupun pendekata dari kanan nilainya mendekati 3 yang
dalam lambang matematika dituliska sebagai berikut
1. Untuk fungsi y  f x   x  1 jika x mendekati 2 dituliskan
lim f  x   lim  x  1  2  1  3
x2 x 2
x2  x  2
2. Untuk fungsi f x   jika x mendekati 2 dituliskan
x2
 x2  x  2 
lim f  x   lim   , selanjutnya jika kita lakukan
x2  
x2
 x2 
substitusi langsung :
 x 2  x  2  22  2  2 0
lim f  x   lim    ini adalah bentuk
x 2  
x 2
 x2  22 0
tak tentu. Untuk menghindari kondisi seperti ini kita lakukan cara
faktorisasi.

2. Skenario Pembelajaran Limit Fungsi
 x2  x  2 
lim f  x   lim 
x 2 x 2  x2 
 
 lim
x  2 x  1
x 2 x2
 lim  x  1  2  1  3
x2
Defenisi 1
Defenisi secara intuitif, bawa lim f  x   L , artinya bahwa
x a
bilangan x mendekati tetapi berlaina dengan a maka f  x  dekat ke
Defenisi 2
Secara formal
Dikatakan lim f  x   L ,adalah bahwa untuk setiap   0 yang
x a
diberikan berapapun kecilnya terdapat   0 yang berpadanan
sedemikian sehingga f  x   L   untuk setiap 0  x  c  
Denganmenggunakan defenisi limit di atas dapat dibuktikan teorema –
teorema pokok tentang limit suatu fungsi berikut ini.
1. Lim k  k , jika k suatu konstanta.
x c
2. Limax  b   ac  b
x c
3. Lim k  f  x   k  Lim f  x 
x c x c
4. Lim f  x   g  x   Lim f  x   Lim g  x 
x c x c xc
5. Lim f  x   g  x   Lim f  x   Lim g  x 
x c xc x c
6. Hukum substitusi :
Jika Lim g  x   L dan Jika Lim f  x   f L  , maka
x c x c
Lim f  g  x   f L 
x c
1 1
7. Lim  Jika Lim g  x   L dan L  0
xc g  x  L xc
f  x  Lim f  x 
8. Lim  xc jika Lim g  x   0
x c g  x  Lim g  x  x c
xc
9. Teorema Apit :
Misalkan f  x   g  x   h x  pada interval yang memuat c dan
dipenuhi
Lim f  x   Lim h x  maka Lim g  x   L
x c x c xc
Pembuktian ada pada Modul matematika (Kalkulus 1)
2 Membahas Limit Contoh :
fungsi aljabar
1. Lim 3x  1  32 1  5
yangVariabelnya x 2
mendekati nilai 2.  
Lim 2 x 2  4  21  4  6
2
tertentu x 1
Tentukan nilai masing-masing limit fungsi di bawah ini

3. Skenario Pembelajaran Limit Fungsi
1. 
Lim x 2  x  4
x  2

2. Lim 10  x
x 1
x 1
3. Lim
x 2 x  1
x2 1
4. Lim 2
x2 x  1
Penyelesaian nomor 1

Lim x 2  x  4
x  2

2
  2    2  4
 10
3 Membahas soal – f  x  Lim f  x 
soal limit fungsi Jika dengan substitusi langsung Lim  xc diperoleh
yang diselesaikan
x c g x  Lim g  x 
xc
dengan cara f x  0
faktorisasi  (bentuk taktentu) maka pengerjaan limit fungsi dilakukan
g x  0
dengancara faktorisasi.
Contoh:
x2  4  x  2 x  2
1. Lim  Lim  Lim x  2   2  2  4
x2 x2 x2 x2 x2
Soal nomor 2 sampai dengan nomor 8 diberikan sebagai latihan
mandiri atau diskusi
x2  x  6
2. Lim
x 3 x 3
x 1
3. Lim
x 1 x  3
x
4. Lim 2
x 0 x  x
x3  2 x
5. Lim 2
x 0 x  x
x 4  x3  4 x 2  x
6. Lim 3
x0 x  2x 2  8x
x2  9
7. Lim
x 3
x2  7  4
4 x  4 x
8. Lim
x 0 x
4 Membahas Limit
fungsi Aljabar yang
variabelnya
mendekati Contoh:
takberhingga 4x 1
1. Lim
x  8 x  3
2x 2  x  1
2. Lim 2
x  x  4 x  8
2x2 1
3. Lim 3
x x  4

4. Skenario Pembelajaran Limit Fungsi
4x2 1
4. Lim
x x  2
4 x 3  3 x 2  10 x  2
5. Lim
x  2 x 3  5 x 2  3x  1
5 x 4  4 x 3  x 2  5 x7
6. Lim
x 2 x 3  10 x 2  x  3
2x3  4x 2  x  5
7. Lim 5
x   x  3 x 4  4 x 3  6 x 2  10 x  3
5 Membahas Limit
fungsi Aljabar yang Contoh:
variabelnya
mendekati 1. Hitung limit fungsi yang berikut ini
takberhingga,denga 
a. Lim x  2  x  1`
x 

n caramengalikan
dengan faktor b.
x

Lim x 2  3 x  4  x 2  x  2` 
kawan
c. Lim 2 x  x  1 
2
x  3 x  1`
2
x
6 Membahas limit Contoh:
fungsi trigonometri 1. Hitung nilai limit fungsi trigonometri di bawah ini

a. Lim Sinx  Sin  1
x
 2
2
7 4 x  4 x 4 x  4 x
Lim 
x0 x 4 x  4 x
 Lim
4  x   4  x 
x0 x 
4 x  4 x 
4 x4 x
 Lim
x0 x 
4 x  4 x 
2x
 Lim
x0 x 
4 x  4 x 
2
 Lim
x0 
4 x  4 x 
2 2 1
  

40  40 22 2 
8 dst .........