Dokumen ini menjelaskan metode penghitungan nilai ekstrim fungsi dengan menggunakan fungsi Lagrange, mengoptimalkan fungsi z = 2x + 2y dengan syarat x^2 + y^2 = 8. Terdapat dua titik ekstrim: maksimum dengan nilai 8 dan minimum dengan nilai -8, yang ditentukan melalui analisis derivatif-parsial. Proses ini mencakup penentuan syarat dan analisis terhadap hasil derivatif untuk mendefinisikan jenis nilai ekstrim.

1. Nama Kelompok:
*Aditya Ardano
*Ari Wibowo
*Gresstian
*Kenny Fachrian
*Laura Anesia Silaban

2. Penghitungan nilai ekstrim
sebuah fungsi yang menghadapi
kendala berupa sebuah fungsi
lain.
Membentuk sebuah fungsi
baru, yaitu fungsi Lagrange.

3. Misalkan hendak dioptimumkan:
z=f(x,y)
Dengan syarat harus terpenuhi:
u=g(x,y)
Maka fungsi Lagrangenya:
F(x,y,λ)=f(x,y)+ λg(x,y)

4. Nilai ekstrim dapat dicari dengan
memformulasikan derivatif-parsial
pertamanya sama dengan 0:
Fx(x,y,λ)=fx+λgx=0
Fy(x,y,λ)=fy+λgy=0
Nilai ekstrim tersebut:
Maksimum bila Fxx<0 dan Fyy<0.
Minimum bila Fxx>0 dan Fyy>0.

5. Tentukan nilai ekstrim z dari
fungsi z = 2x + 2y dengan syarat
x2 + y2 = 8. Jelaskan jenis nilai
ekstrimnya.

6. z = 2x + 2y
Syarat: x2 + y2 = 8
U=g(x,y)= x2 + y2 = 8
Fungsi Lagrange: 2x+2y+λ(x2+y2-8)
: 2x+2y+λx2+ λy2-8λ

7. Titik ekstrim:
Fx ( x, y ) 2 2 x 0 2 x 2
2 1
2x x
Fy ( x, y) 2 2 y 0 2 y 2
2 1
2y y
1 1
y x y x
x y

8. Masukkan nilai x ke U (syarat):
2 2 2
U g ( x, y ) x x 8 2x 8
2 8
x 4 x 4
2
x 2 x y 2
Z 2x 2 y 8
2( 2) 2( 2) 8

9. Penyelidikan nilai ekstrimnya:
Untuk nilai x & y = 2
1
2
1
F xx x (2) 1 0
2
1
Fyy y (2) 1 0
2
karenanilai Fxx dan Fyy 0, nilaiekstrim nya
adalahnilai m aksdenganZ m aks 8.

10. Untuk nilai x & y = -2
1
2
1
Fxx x ( 2) 1 0
2
1
Fyy y ( 2) 1 0
2
karena nilai Fxx dan Fyy 1 0, nilaiekstrim nya
adalah nilai min dengan Z min 8.

11. Terima Kasih