1. Pertemuan 12
VEKTOR DALAM DAN SERTA
ARTI GEOMETRINYA
Pada bagian ini akan dibahas tentang vektor dan aplikasinya dalam dan .
Sedangkan bagian selanjutnya akan dibahas vektor secara umum. Saat ini, kita hanya
memfokuskan pada dan , sebab dalam ruang ini kita akan mudah membayangkan
secara geometri.
Vektor-vektor dapat dinyatakan sebagai segmen garis berarah atau panah dalam dan
.
Ekor panah dinamakan titik permulaan (titik awal, titik initial) sedangkan ujung panah
sering disebut titik akhir (titik terminal) vektor.
Gambar 1 Gambar berbagai vektor
Sering dituliskan
Definisi 1:
Dua vektor dan dikatakan sama (ekuivalen) jika kedua vektor tersebut sama
panjang dan arahnya dan dapan dituliskan .
Definisi 2:
Jika dan adalah dua vektor sembarang, maka adalah vektor yang titik
permulaannya berimpit dengan titik awal dan titik akhirnya berimpit dengan titik akhir
vektor .

2. Gambar 2 Gambar penjumlahan dua buah vektor
Dari gambar di atas penjumlahan dua vektor dapat dilihat sebagai diagonal
paralelogram.
1. Arti Geometri Vektor
Dalam sistem koordinat kartesius, dua vektor dapat mempunyai titik awal yang berbeda.
Gambar 3 Gambar vektor pada bidang koordinat
Terlihat pada gambar di atas bahwa vektor mempunyai titik awal di titik (0, 0),
sedangkan berawal di titik (6, 0).Vektor berawal juga di (0, 0) dan berawal di (5,
Jelas bahwa .
Gambar 4 Penjumlahan vektor dan vektor berlawanan arah
Definisi 3:
Vektor nol adalah vektor yang panjangnya nol dan disimbolkan dengan .

3. Juga terlihat bahwa: .
Definisi 4:
Apabila sebuah vektor, maka adalah vektor yang arahnya berlawanan dengan
vektor .
Definisi 5:
Jika dan adalah dua vektor sembarang, pengurangan vektor didefinisikan sebagai:
Gambar 5 Pengurangan dua buah vektor
Definisi 6:
Jika adalah sebuah vektor dan adalah sebuah bilangan real (skalar), maka hasil
perkalian didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya kali panjang dan
arahnya sama dengan untuk . Jika , hasil perkalian tersebut memberikan
arah yang berlawanan dengan . Jika atau , maka
Apabila adalah sebuah vektor dalam bidang dan titik awalnya diletakkan di titik (0, 0),
maka koordinat dari disebut komponen dari dan dituliskan sebagai
. Vektor yang titik awalnya di titik pusat koordinat sering disebut vektor
posisi.

4. Gambar 6 Vektor pada bidang
Jadi, dua buah vektor dan adalah sama (ekuivalen) jika
dan . Juga terlihat jelas bahwa:


 dengan k suatu skalar
sementara itu, dalam ruang , vektor dapat dinyatakan sebagai: .
Gambar 7 Vektor pada ruang
Dalam ruang dimensi tiga dengan serta dapat
dihasilkan:


 dengan suatu scalar
kadang-kadang vektor tidak mempunyai titik awal di titik asal sehingga:
 untuk bidang , bila suatu vektor mempunyai titik awal di dan titik
akhir di maka
 untuk bidang , bila suatu vektor mempunyai titik awal di dan titik
akhir di maka
contoh 1:

5. tentukan komponen vektor yang mempunyai titik awal di dan mempunyai
titik akhir di
Jawab:
Vektor dapat juga digunakan untuk menyatakan proses translasi (pergeseran).
Pada sistem koordinat yang digeser dengan vektor maka sumbu
koordinat yang baru akan berbentuk dengan persamaan translasinya.
dan
Sedangkan untuk ruang dimensi tiga, akan mempunyai persamaan translasi:
dan
Bila digeser dengan vektor yang mempunyai komponen
Contoh 2:
Misalkan titik asal yang baru dari sistem koordinat adalah dan titik
mempunyai koordinat maka koordinat dari titik adalah .
Gambarnya adalah sebagai berikut.
Vektor
yang menggeser
menjadi

6. Gambar 8 Pergeseran sistem Koordinat
2. Norm dan Jarak
Sekarang kita akan melihat sifat-sifat vektor dalam ruang atau ruang .
Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut.
1.
2.
3.
4.
5. untuk suatu skalar k dan 1
6. untuk skalar t
7. untuk suatu skalar dan
8.
Definisi 7:
Panjang sebuah vektor sering disebut norm dan disimbolkan dengan
Dari teorema Phythagoras terlihat bahwa sebuah vektor akan mempunyai
panjang:
Sedangkan apabila berada di dan , maka:
Sementara itu, apabila vektor mempunyai titik awal di dan mempunyai
titik akhir di titik maka dan

7. Bila di dan titik awalnya dan titik akhirnya maka norm
(panjang) vektor adalah:
Contoh 3:
Jika vektor mempunyai titik awal di dan titik akhir maka:
dan
Panjang (norm) adalah:
Beberapa teorema yang penting:
1. Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz
2. Pertidaksamaan segitiga
3. Persamaan Lagrange
3. Perkalian Titik dan Proyeksi dalam Vektor
Definisi 8:
Yang diartikan dengan sudut antara vektor dan adalah sudut yang dihasilkan oleh
dan setelah titik awal vektor dan titik awal vektor diimpitkan dengan yang
memenuhi
Gambar 9 Sudut Lancip, tumpul, dan siku-siku
Definisi 9:
Jika dan adalah 2 vektor dalam atau dan adalah sudut antara dan , maka
perkalian titik atau perkalian dalam Euclid adalah diberikan dengan:

8. jika dan
Jika dan
Aturan Cosinus:
Gambar 10 Segitiga dan panjang sisi-sisinya
Apabila ABC adalah sebuah segitiga dan adalah sudut yang diapit oleh garis a dan
garis b, maka:
Rumus di atas dapat pula dinyatakan sebagai berikut,
Jika adalah titik dengan dan maka sudut antara dan
memenuhi persamaan:
Definisi 10:
 Misalkan dan dengan dan maka:
 Misalkan dan dengan dan maka:
+
+
+
+
+

9. Gambar Vektor
Contoh 4:
Jika diketahui dan , maka
Jadi, dan sudut antara dan dapat dicari dengan:
Sehingga
Berikut adalah hasil perkalian titik (perkalian dalam Euclid).
1. dan
2. Jika dan dan adalah sudut antara vektor dan , maka:
adalah sudut lancip jika dan hanya jika
adalah sudut tumpul jika dan hanya jika
jika dan hanya jika
3.
4.
5. untuk suatu skalar k
6. jika
7. jika
Definisi 11:
Dua buah vektor dan disebut vektor-vektor yang ortogonal jika

10. Dalam arti geometri, ortogonal diartikan sebagai saling tegak lurus.
Perkalian titik ini mempunyai kegunaan untuk menguraikan sebuah vektor ke dalam
jumlahan dua vektor yang saling tegak lurus.
Jika dan adalah vektor dalam atau , maka kita menuliskan sebagai:
Dengan:
adalah vektor yang sejajar (kelipatan) dari dan
adalah vektor yang ortogonal (tegak lurus) pada .
Sebagai ilustrasi, perhatikan gambar berikut.
Gambar 12 Dekomposisi vektor
Vektor dan dapat disebut vektor yang merupakan komponen-komponen dari
vektor .
Contoh 5:
Jika diketahui vektor dan , tentukan komponen vektor
yang sejajar dengan dan tentukan komponen vektor yang tegak lurus pada .
Jawab:
Katakanlah maka

11. 4. Perkalian Silang
Perkalian silang dua buah vektor memegang arti penting dalam geometri, ilmu fisika,
dan ilmu-ilmu teknik.
Definisi 12:
Perkalian silang dua buah vektor dan dalam ruang ,
disimbolkan dengan dan didefinisikan sebagai:
Atau bila dituliskan dalam bentuk determinan adalah:
Contoh 6:
Bila dan
Tentukan dan
Jawab:

12. Jadi, terlihat bahwa adalah suatu skalar, sedangkan adalah suatu vektor.
Beberapa sifat penting dari perkalian silang dua buah vektor ( dan di dalam )
adalah sebagai berikut.
1. (yaitu tegak lurus dengan )
2. (yaitu tegak lurus dengan )
3.
4. )
5.
6.
7.
8.
9.
Catatan:
Untuk ruang ada 3 vektor khusus yang sering disebut vektor satuan standar, yaitu:
dan
Apabila digambarkan dalam koordinat adalah sebagai berikut.
Dari definisi perkalian silang dua buah vektor, maka diperoleh:
Dengan cara yang sama akan diperoleh:

13. Contoh 7:
Suatu vektor dapat dinyatakan dalam bentuk vektor dan
Perhitungan perkalian silang dua vektor menggunakan “aturan tangan kanan”, yaitu:
Gambar 13 Perkalian silang dua vektor
Hasil yang menarik adalah norm dari perkalian silang dua vektor dan .
Dari persamaan Lagrange dipunyai:
Sedangkan sehingga

14. Jadi
Intepretasi geometri dari merupakan luas paralelogram yang dibatasi vektor .
Gambar 14 Interpretasi norm pada perkalian silang dua vektor
Untuk menghitung luas segitiga ABC adalah dengan mengalikan luas paralelogram
dengan setengah.
Contoh 8:
Dengan menggunakan pengertian di atas, hitunglah luas segitiga yang mempunyai titik
sudut di titik dan
5. Aplikasi Vektor pada Bidang dan Garis
Pada bagian ini terutama akan dibahas tentang persamaan garis dan persamaan
bidang pada ruang .
Definisi 13 (Persamaan Bidang Bentuk Vektor):
Sebuah bidang adalah himpunan titik-titik P yang memenuhi persamaan:
dengan dan adalah suatu skalar serta dan adalah dua buah
vektor yang tidak paralel.
Teorema 1:

15. Tiga buah titik yang tidak segaris dan dapat
memiliki satu bidang yang melalui ketiga titik tersebut apabila mempunyai persamaan:
atau
Persamaan bidang dalam Teorema 1 dapat pula dituliskan dalam bentuk parametric,
yaitu:
atau
Teorema 2:
Jika dan adalah tiga buah titik yang tidak segaris,
maka bidang yang melalui titik tersebut diberikan sebagai:
atau dapat ditulis dalam bentuk
di mana adalah sembarang titik.
Teorema 3 (Persamaan Bidang Bentuk Umum):
Persamaan bidang yang melalui tiga titik A, B, C seperti di atas dapat pula dituliskan
dalam bentuk: dengan
, dan
Teorema 4:
Andaikan bidang dan memiliki normal yang
tidak paralel, maka perpotongan kedua bidang tersebut membentuk garis L. selain itu,

16. persamaan dengan dan yang
keduanya tak sama dengan nol akan memberikan bentuk persamaan semua bidang
yang melalui garis L.
Dengan kata lain, apabila ada sebuah titik dan sebuah vektor
yang tidak sama dengan nol, maka persamaan bidang yang ortogonal (tegak lurus)
dengan vektor akan berbentuk:
Dalam hal ini adalah sembarang titik yang terletak pada bidang tersebut.
Gambar 15 Sebuah bidang pada ruang dengan normal
Bentuk persamaan bidang yang mempunyai normal dan melalui titik
adalah:
Dengan kata lain:
Merupakan sebuah persamaan garis yang mempunyai sebagai vektor
normalnya.
Teorema 5 (Jarak dari 1 titik ke bidang):
Jika dan bidang dengan persamaan
ax+by+cz=d, maka ada titik tunggal pada bidang tersebut sehingga adalah arah
normal bidang S dan

17. Contoh 9:
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik dan tegak lurus pada vektor
Jawab:
Persamaan bidang tersebut adalah:
Contoh 10:
Carilah persamaan bidang yang melalui titik dan
Jawab:
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, persamaan bidang itu dimisalkan
mempunyai persamaan:
Titik ada pada bidang tersebut, sehingga :
Titik ada pada bidang tersebut, sehingga:
Titik terletak pada bidang tersebut, sehingga:
Selesaikan ketiga persamaan di atas, maka kita akan mendapatkan persamaan bidang
tersebut.
Definisi 14:
Persamaan garis L pada ruang yang melalui titik dan sejajar dengan
vektor yang tidak sama dengan nol akan mempunyai bentuk:

18. Dengan adalah titik sembarang yang terletak pada garis tersebut.
Gambar 16 Sebuah garis pada ruang
apabila dijabarkan akan berbentuk:
Persamaan garis yang melalui titik dan sejajar dengan vektor
akan berbentuk:
Dengan
Persamaan di atas tersebut persamaan parametrikuntuk garis.
Selain itu, persamaan garis yang melalui titik dan sejajar dengan vektor
akan berbentuk:
Persamaan ini disebut persamaan simetrik untuk garis.
Teorema 6:

19. Jika dan adalah dua titik yang berbeda, maka hanya ada satu garis yang memuat A
dan B dan garis tersebut mempunyai persamaan:
atau
atau
dengan t adalah sembarang skalar.
Teorema 7 (Rasio Joachimsthal):
Jika t adalah parameter pada Teorema 6 di atas, maka:
a.
b. jika tidak sama dengan
c. terletak antara dan jika
d. B terletak antara A dan P jika
e. A terletak antara P dan B jika
Teorema 8 (Jarak 1 titik ke garis):
Jika C adalah sebuah titik L adalah garis yang melalui A dan B, maka ada tepat satu
titik P pada L sehingga tegak lurus , yaitu:
gambar 17 Jarak titik C terhadap garis AB

20. teorema 9 (Proyeksi Segmen Garis pada Garis):
apabila dua titik dan memiliki proyeksi berupa 2 titik pada garis AB, yaitu dan
sehingga dan tegak lurus garis AB, maka:
Gambar 18 Proyeksi pada garis AB
Contoh 11:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik dan sejajar vektor
Jawab:
Dalam hal ini dan dengan bentuk persamaan parametrik adalah:
dengan
Dalam bentuk persamaan simetrik, persamaannya adalah:
Contoh 12:
Jika dan , tentukan titik P pada garis Ab yang memenuhi

21. Jawab:
Sehingga t = ¾ atau t = 3/2. Oleh karena itu, titik P yang dimaksud adalah
atau
Contoh 13:
L adalah garis yang melalui dan sedangkan N adalah garis yang
melalui dan . Buktikan bahwa sepasang garis tersebut
berpotongan dan tentukan titik potongnya.
Jawab:
Garis L mempunyai persamaan atau
Sementara itu, garis N mempunyai persamaan atau
Samakan persamaan kedua garis tersebut dan setelah disederhanakan maka diperoleh
SPL:
Didapat t = 2/3 dan s = 1/3. Jadi, titik potong garis L dan garis N di titik - , ,
Contoh 14:
Tunjukkan bahwa bidang dan bidang berpotongan
membentuk garis dan tentukan persamaan garis tersebut !
Jawab:
Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Yordan, SPL:

22. Diselesaikan dan menghasilkan penyelesaian:
Dapat pula ditulis sebagai berikut:
Persamaan garis tersebut melalui titik A(-1/2, 3/2, 0) dan mempunyai vektor arah
Ulangan Bab 4
Kerjakan soal-soal berikut dengan benar.
1. Tentukan vektor dan gambarkan dalam sumbu koordinat jika A(1, - dan
B(4, 2).
2. Gambarkan dalam sumbu koordinat , vektor bila dan
3. Untuk menghitung luas segitiga dalam dapat digunakan dua rumus, yaitu:
a. Luas segitiga

23. b. Luas segitiga dengan
Dengan menggunakan kedua cara di atas, hitunglah luas segitiga yang
mempunyai titik sudut dan
4. Tentukan titik di mana garis yang melalui dan memotong
bidang xz.
5. Misalkan A, B, dan C adalah tiga buah titik yang non-collinear (tidak segaris). E
adalah titik tengah BC dan F adalah titik pada segmen EA yang memenuhi .
Buktikan bahwa
Titik F sering disebut sebagai titik pusat (centroid) segitiga ABC.
1. Buktikan bahwa titik dan adalah collinear (terletak
dalam satu garis).
2. Jika A(2, 3, -1) dan B(3, 7, 4), tentukan titik pada garis AB yang memenuhi
3. M adalah garis yang melalui A(1, 2, 3) yang sejajar dengan garis yang
menghubungkan B(-2, 2, 0) dan C(4, -1, 7). Sementara itu, N adalah garis yang
menghubungkan E(1, -1, 8) dan F(10, -1, 11). Buktikan bahwa dan
berpotongan dan tentukan titik potongnya.
4. Buktikan bahwa sudut-sudut yang dibentuk titik A(-3, 5, 6), B(-2, 7, 9), dan C(2, 1,
7) adalah dan
5. Tentukan titik pada garis AB yang terdekat dengan titik pusat (0, 0, 0) di mana
dan
6. Garis N ditentukan oleh dua bidang:
dan
.
7. Tentukan titik P dan N yang terdekat dengan titik C(1, 0, 1) dan tentukan jarak PC.

24. 8. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (6, 0, 2) dan tegak lurus dengan
garis yang merupakan perpotongan dua bidang:
dan
9. Tentukan panjang proyeksi segmen garis AB pada garis L, di mana A(1, 2, 3) dan
B(5, -2, 6) serta garis L adalah garis yang melalui titik C dan D di mana C(7, 1, 9)
dan D(- , ,
10. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(3, -1, 2) dan yang tegak lurus pada
garis L yang menghubungkan B(2, 1, 4) dan C(-3, -1, 7). Tentukan pula titik potong
garis L dan bidang tersebut serta tentukan jarak dari A ke L.
11. B adalah titik yang terletak pada bidang . Sementara itu, titik A(6,
- , 1) dan BA membentuk garis yang tegak lurus pada bidang tersebut. Tentukan
B dan panjang jarak AB.
12. Tunjukkan bahwa segitiga dengan titik sudut A(-3, 0, 2), B(6, 1, 4), dan C(-5, 1, 0)
mempunyai luas sebesar
13. Tentukan persamaan bidang melalui titik A(2, 1, 4), B(1, -1, 2), dan C(4, - , .