Just a presentation for our lecturer

1. Vektor dalam
Ruang Dimensi-3

2. Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah
Vektor biasanya direpresentasikan dengan anak
panah atau ruas garis berarah.
Panjang anak panah menunjukkan besar vektor dan
arah anak panah menunjukkan arah vektor.
Pengertian vektor

3. Notasi :
Kita menuliskan vektor dengan huruf yang ditebalkan
(v) atau dengan meletakkan anak panah di atasnya ( )

v
Besar atau panjang vektor dinotasikan dengan v

4. Dua vektor u dan v dikatakan ekivalen, ditulis u = v ,
jika besar dan arah kedua vektor sama.
Vektor-vektor yang ekivalen
Vektor 0 adalah vektor yang besarnya 0 dan tidak
memiliki arah yang spesifik
Vektor nol

5. Penjumlahan vektor
Jumlah dua vektor dapat ditentukan dengan
menggunakan aturan segitiga atau jajar genjang
Operasi penjumlahan vektor memiliki sifat :

6. v
k
k
v
v 0

k
v
0

k
Vektor adalah vektor yang besarnya adalah
kali besar vektor dan arahnya sama dengan
jika
arah vektor atau berlawanan arah
dengan arah vektor
jika
.
Perkalian skalar dengan vektor

7. v

v
v
v
Khususnya, vektor ( dibaca negatif dari )
adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor
, tapi berlawanan arah dengan arah vektor
.
Pengurangan vektor
0
v
v
v
v 




 )
(
)
(
Catatan :

8. Pendekatan Aljabar Vektor

 3
2
1 ,
, v
v
v
v
)
,
,
( 3
2
1 v
v
v
Vektor dalam ruang dimensi tiga
direpresentasikan dengan anak panah yang titik
pangkalnya berada di titik asal dan titik ujungnya
adalah suatu titik yang koordinatnya

9. 
 3
2
1 ,
, u
u
u
u 
 3
2
1 ,
, v
v
v
v
3
3
2
2
1
1 ,
, v
u
v
u
v
u 



 0
,
0
,
0
0
Dua vektor dan
dikatakan ekivalen jika
Vektor nol didefinisikan sebagai
.

10. 
 3
2
1 ,
, u
u
u
u 
 3
2
1 ,
, v
v
v
v
Misal , vektor
dan k skalar , didefinisikan :


 3
2
1 ,
, ku
ku
ku
k
k u
u

11. Dari definisi perkalian suatu skalar dengan suatu
vektor , maka
dan selanjutnya didefinisikan operasi pengurangan :







 3
2
1 ,
,
)
1
(
)
1
( v
v
v
v
v

12. 
 0
,
0
,
1
i 
 0
,
1
,
0
j 
 1
,
0
,
0
k
Vektor-vektor , ,
adalah vektor basis di ruang dimensi tiga.

13. 
 3
2
1 ,
, v
v
v
v
)
,
,
( 3
2
1 v
v
v
Besar suatu vektor
menunjukkan panjang ruas garis titik asal ke titik
yang koordinatnya
dapat ditentukan dengan
Vektor yang panjangnya satu disebut vektor satuan

14. 
 1
,
0
,
1
u 

 0
,
0
,
5
v
v
u  v
u u v
3

k
j
i
v 4
3
2 


Latihan
1. Misal dan
Tentukan , , , dan
2. Cari vektor satuan yang arahnya sama dengan
vektor

15. Teorema
Untuk sebarang vektor u dan v serta skalar a dan b ,
berlaku

16. Hasil Kali Titik

 3
2
1 ,
, u
u
u
u 
 3
2
1 ,
, v
v
v
v
u v
3
3
2
2
1
1 v
u
v
u
v
u 


 v
u
Jika , hasil kali titik atau
dan
hasil kali skalar dan didefinisikan sebagai
.
Teorema :
Untuk sebarang vektor u dan v serta skalar c

17. Interpretasi Geometris Hasil Kali Titik
 v
u,
v
u,
0

u.v
Teorema
Jika adalah sudut antara vektor maka
Teorema
Dua vektor adalah tegak lurus jika dan hanya jika
Vektor-vektor yang tegak lurus disebut ortogonal

18. 
 1
,
1
,
0
u 

 1
,
1
,
2
v 

 3
,
3
,
6
w
Latihan
Misal ,
,
dan
1. Hitung
2. Cari ukuran sudut antara pasangan vektor-vektor
yang diberikan. Pasangan manakah yang ortogonal ?

19. Vektor Proyeksi dan Proyeksi Skalar
a b 
Misal , vektor dan sudut antara kedua vektor
2
/
0 
 

.


 

2
/
a
v b
pr

v a b
Vektor dinamakan vektor proyeksi dari pada
ditulis dan 
cos
a proyeksi skalar dari a

20. u v k
j
i
u 3
5 


 k
j
i
v 



Latihan :
1. Buktikan bahwa
2. Tentukan vektor proyeksi dan proyeksi skalar dari
pada , jika dan

21. Sudut dan Cosinus Arah

23. Bidang

24. 
 3
2
1 ,
, u
u
u
u 
 3
2
1 ,
, v
v
v
v
u v
Jika
hasil kali silang dari dan
dan
didefinisikan sebagai
Menggunakan determinan, definisi di atas dapat ditulis
sebagai
Hasil Kali Silang

25. Interpretasi Geometris Hasil Kali Silang
Misal , vektor dan
v
u sudut antara kedua vektor

tegak lurus terhadap
dan
membentuk sistem tangan kanan
Vektor dan di ruang dimensi-3 sejajar jika
dan hanya jika
maka
u v
,
dan
u v dan

26. Sifat Aljabar Hasil Kali Silang
Misal , dan vektor dan k skalar
u v w

29. Persamaan Garis