Matematika Dasar

1. VEKTOR
1. Pendahuluan : Besaran vektor dan skalar
2. Penggambaran vektor
3. Kesamaan dua vektor
4. Jenis-jenis vektor
5. Penjumlahan vektor
6. Komponen sebuah vektor
7. Komponen vektor dinyatakan dalam vektor satuan
8. Vektor dan ruang
9. Cosinus arah
10. Perkalian skalar antara dua vektor
11. Perkalian vektor antara dua vektor
12. Sudut antara dua vektor
13. Perbandingan arah

2. PENDAHULUAN : BESARAN VEKTOR DAN
SKALAR
• Besaran Skalar : mempunyai besar saja
Misal : panjang, luas, volume, massa, waktu, dll
• Besaran Vektor : mempunyai besar dan arah
Misal : gaya, kecepatan, percepatan, dll

3. PENGGAMBARAN VEKTOR
• Vektor dinyatakan dengan garis yang digambarkan
dengan ketentuan :
• Panjang garis menyatakan besar (sesuai skala)
• Arah anak panah menyatakan arah
• Simbol 𝐀𝐁 atau a
• Panjang vektor : AB atau|a|atau AB atau a
• 𝐁𝐀 adalah lawan dari vektor 𝐀𝐁

4. KESAMAAN DUA VEKTOR
• Dua vektor dikatakan sama jika memiliki besar dan
arah yang sama

5. JENIS-JENIS VEKTOR
• Vektor posisi AB jika titik A sudah ditetapkan
• Vektor garis dapat dipindahkan sepanjang garis
kerja, misalkan gaya mekanik yang bekerja pada
benda
• Vektor bebas murni dinyatakan oleh besar dan arah,
sehingga dapat digambarkan pada posisi bebas.
Sebagian besar vektor merupakan vektor bebas

6. PENJUMLAHAN VEKTOR
• Penjumlahan 2 vektor 𝐀𝐁 dan 𝐁𝐂 dinyatakan dengan
sebuah resultan vektor 𝐀𝐂

7. PENJUMLAHAN BEBERAPA VEKTOR
• Digambarkan secara berantai, resultannya
menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung
vektor terakhir.
• 𝑨𝑩 + 𝑩𝑪 + 𝑪𝑫 + 𝑫𝑬 = 𝑨𝑬

8. PENJUMLAHAN BEBERAPA VEKTOR
• 𝑷𝑸 + 𝑸𝑹 + 𝑹𝑺 + 𝑺𝑻 = 𝑷𝑻
• 𝑨𝑩 + 𝑩𝑪 + 𝑪𝑫 + 𝑫𝑬 + 𝑬𝑨 = 𝟎

9. PENJUMLAHAN BEBERAPA VEKTOR

10. KOMPONEN SEBUAH VEKTOR
• Jika 𝐀𝐁 + 𝐁𝐂 + 𝐂𝐃 + 𝐃𝐄 dapat digantikan oleh 𝐀𝐄,
maka vektor 𝐏𝐓 dapat digantikan oleh beberapa
komponen vektor berantai yang dimulai dari P dan
berakhir di T.

11. KOMPONEN SEBUAH VEKTOR
Contoh 1. Pada gambar berikut, tunjukkan 𝐀𝐁 + 𝐃𝐂 = 𝟐𝐆𝐇

12. A
KOMPONEN SEBUAH VEKTOR
Contoh 2. Titik L, M, N adalah titik tengah sisi AB, BC dan CA
suatu segitiga ABC. Tunjukkan bahwa :
(a). 𝐀𝐁 + 𝐁𝐂 + 𝐂𝐃 = 𝟎 karena membentuk rangkaian tertutup
(b). A

13. KOMPONEN SEBUAH VEKTOR
Contoh 2. Titik L, M, N adalah titik tengah sisi AB, BC dan CA
suatu segitiga ABC. Tunjukkan bahwa :
(c).

14. KOMPONEN SEBUAH VEKTOR
Contoh 3. Segiempat ABCD dengan P dan Q titik tengah
diagonal AC dan BD. Tunjukkan
Tambahkan semua vektor garis tersebut :
P titik tengah AC, maka
AP = PC.
Q titik tengah BD, maka
BQ =QD

15. KOMPONEN SEBUAH VEKTOR
Contoh 4. Buktikan dengan vektor bahwa garis hubung titik tengah 2
sisi suatu segitiga paralel dengan sisi yang lain dan panjangnya
setengah dari sisi yang lain tersebut.
Nyatakan 𝐃𝐀 dan 𝐀𝐄 dalam 𝐁𝐀 dan 𝐀𝐂
𝐃𝐄 adalah setengah 𝐁𝐂 dan arahnya sama

16. KOMPONEN VEKTOR
DINYATAKAN DALAM VEKTOR SATUAN
Vektor 𝐎𝐏 mempunyai panjang (r) dan arah (θ)
Vektor 𝐎𝐏 dapat dinyatakan dengan komponen OX dan OY
i dan j adalah vektor satuan dalam sumbu x dan sumbu y

17. KOMPONEN VEKTOR
DINYATAKAN DALAM VEKTOR SATUAN

18. KOMPONEN VEKTOR
DINYATAKAN DALAM VEKTOR SATUAN
1.
2. maka 𝐀𝐁 =

19. VEKTOR DAN RUANG
i, j dan k adalah vektor satuan dalam sumbu x, y dan z

20. COSINUS ARAH
(Arah Suatu Vektor)
α = sudut vektor dan sumbu x
β = sudut vektor dan sumbu y
Γ = sudut vektor dan sumbu z
cos 𝛼 =
𝑎
𝑟
= 𝑙
cos 𝛽 =
𝑏
𝑟
= 𝑚
cos 𝛾 =
𝑐
𝑟
= 𝑛
𝑙, 𝑚, 𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑘𝑜𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 𝑎𝑟𝑎ℎ 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑂𝑃

21. PENJUMLAHAN VEKTOR JIKA DIKETAHUI
DALAM VEKTOR SATUAN
𝑧1 = 𝑎𝐢 + 𝑏𝐣 + 𝑐𝐤
𝑧2 = 𝑑𝐢 + 𝑒𝐣 + 𝑓𝐤
𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎 + 𝑑)𝐢 + (𝑏 + 𝑒)𝐣 + (𝑐 + 𝑓)𝐤

22. PERKALIAN SKALAR ANTARA DUA VEKTOR

θ = sudut antara 2 vektor
1. Jika diketahui panjang vektor dan arahnya
2. Jika diketahui dalam bentuk vektor satuan
Contoh :

23. PERKALIAN VEKTOR ANTARA DUA VEKTOR
• Baris pertama berisi vektor satuan i, j, k
• Baris kedua berisi koefisien a
• Baris ketiga berisi koefisien b

24. PERKALIAN VEKTOR ANTARA DUA VEKTOR
Contoh :

25. SUDUT ANTARA DUA VEKTOR
Jika a memiliki cosinus arah [l, m, n]
b memiliki cosinus arah [l’, m’, n’]
Contoh :
Hitunglah sudut antara 2 vektor
2 vektor sejajar ll’ + mm’ + nn’ = 1
2 vektor tegak lurus  ll’ + mm’ + nn’ = 0

26. PERBANDINGAN ARAH ANTARA DUA VEKTOR
Perbandingan arah 

27. Soal Latihan Ujian