1. Bahan Ajar
’’VEKTOR’’
1. Pengertian vektor
a. Besaran skalar dan besaran vektor
Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai
(tidak memiliki arah ) contohnya massa, waktu, volume, kelajuan, massa
jenis, daya.energi,suhu, panjang pensil 20 cm, dan volume bak mandi 1.000
liter.
Besaran skalar selalu bernilai positif.
Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah Misalnya Ama
menempuh perjalanan sejauh 3 km kea rah timur
Mengambar vektor
Sebuah vector digambarkan dengan sebuah anah panah yang terdiri atas
pangkal vector,panjang vector danarah vector. Arah anak panah menunjukan
nilai dan harga vector, semakin panjang gambar vector semakin besar
nilainya
Pangkal
vektor
Panjang
vektor
b. Penulisan notasi vektor
Arah
vektor
Notasi besaran vektor dapat berupa huruf capital atau huruf kecil. Berupa
huruf yang bertanda panah diatas misalnya A
untuk tulisan cetak
atau a
notasi tersebut biasanya dicetak tebal, misalnya A atau a
Dua buah vektor dikatakan sama besar apabila nilai dan arahnya sama
perhatikan gambar dibawah vektor A sama dengan vektor B karena dua
c. Dua vector sama
4 m
A
4 m
B
vector A dan B memiliki besar dan arah sama. dua vector dikatakan sama
jika besar dan arah kedua vector sama meskipnpangkal vektornya berbeda.
2. d. Dua vector berlawanan
A
B
3m
3m
Vector A dan B memiliki besar yang sama tetapi berlawanan arah, dua
vector dikatkan berlawanan jika arahnya berlawanan meskipun besar
kedua vector sama.
2. Penjumlahan dan selisi vektor
Dua buah vector atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan, hail
penjumlahan dan pengurangan di sebut resultan vektor untuk menghitung
resultan vector dapat digunakan tiga metode yaitu, segitiga, jajargenjang dan
poligon
a. Melukis penjumlahan dua vector yang segaris dan searah
5N
A
3N
B
A B
C
Misalkan dua buah vector A=5N dan vector B = 3N kedua vektor tersebut
searah dan kita dapat menjumlahkan dengan cara melukisnya.
Cara melukis penjumlahan vector tersebut adalah dengan meletakan pangkal
vector B pada ujung vector A. selanjutnya pangkal vector A ditarik garis
lurus sampai ujung vector B hasil penjumlahan vektor tersebut adalah vektor
C. arah vektor C searah dengan vektor A dan vektor B mka C=A+B
b. Melukis penjumlahan dua vector yang segaris dan berlawanan arah
A
B
5N
-3N
B A
C=A+B
3. Melukis penjumlahan dua vector yang segaris dan berlawaan arah sama
dengan cara melukis penjumlahan dua vector yang segaris dan searah.
Pangkal vector kedua diletakan pada ujung vector pertama besar vector hasil
penjumlahan adalah panjang garis dari pangkal vekto pertama sampai ujung
vector kedua
Misalnya dua vector A= 5N dan vector B =-3N. (seperti gambar diatas) hasil
penjumlahan vector A dan B adalah vector C . Jadi vector C=A+(-B)
c. Penjumlahan dan selisih vector dengan metode segitiga
Untuk mengetahui jumlah dua buah vektor Anda dapat menggunakanmetode
segitiga. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
1) Lukislah vektor pertama sesuai dengan nilai dan arahnya, misalnya A
2) Lukislah vektor kedua, misalnya B, sesuai nilai dan arahnya dengan titik
tangkapnya berimpit pada ujung vektor pertama!
3) Hubungkan titik tangkap vektor pertama (A) dengan ujung vektorkedua
(B)!
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut!
Selisih dua buah vektor dapat diketahui dengan cara seperti penjumlahan
vektor. Misalnya, selisih dua buah vektor A dan B adalah C, juga dapat
dinyatakan C = A – B atau C = A + (-B). Hal ini menunjukan bahwa selisih
antara vektor A dan B adalah hasil penjumlahan vektor A dan -B, dengan -B
adalah vektor yang berlawanan arah dengan B tetapi nilainya sama dengan B.
Perhatikan gambar berikut!
d. Metode jajargenjang
Anda dapat memperoleh resultan dua buah vektor dengan metode. Pada
4. metode jajargenjang terdapat beberapa langkah, yaitusebagai berikut.
1) Lukis vektor pertama dan vektor kedua dengan titik pangkal berimpit
2) Lukis sebuah jajargenjang dengan kedua vektor tersebut sebagai sisi-
3) Resultan kedua vektor adalah diagonal jajargenjang yang titik
pangkalnya sama dengan titik pangkal kedua vektor. Perhatikan (Gam-e.
Metode poligon
Metode poligon dapat digunakan untuk menjumlahkan dua buah vektoratau
lebih, metode ini merupakan pengembangan dari metode segitiga.
Langkah-langkah menentukan resultan beberapa vektor dengan metode
1) poligon adalah sebagai berikut.
2) Lukis vektor pertama
3) Lukis vektor kedua, dengan pangkalnya berimpit di ujung vektor pertama
4) Lukis vektor ketiga, dengan pangkalnya berimpit di ujung vektor
keduadan seterusnya hingga semua vektor yang akan dicari resultannya
telah dilukis
5) Vektor resultan atau vektor hasil penjumlahannya diperoleh dengan
menghubungkan pangkal vektor pertama dengan ujung dari vektor yang
terakhir dilukis
3. Metode analitis
1) Menentukan resultan vector dengan mengunakan rumus kosinus
Untuk menentukan vektor resultan secara matematis dapat Anda gunakan
rumus kosinus, yaitu sebagai berikut.
2 . cos 1 2 1 2 R F F F F
Keterangan:
5. R = Resultan
F1 = Vektor pertama
F2 = vector kedua
α = sudut apit
contoh soal
Diketahui dua buah vektor, masing-masing besarnya 8 N dan 6 N.Tentukan
nilai resultan kedua α vektor tersebut, jika titik pangkalnya berimpit dan
membentuk sudut 600!
Diketahui : F1 = 8 N, F2 = 6 N, α = 60
Ditanyakan : R = ...?
Penyelesaian
R F F F F
1 2 1 2
8 6 2.8.6cos 60
64 36 48
N
148
2 . cos
2 2 0
Jadi resultanya adalah 148 N
2) Menentukan arah resultan vector dengan rumus sinus
Anda ketahui bahwa vektor merupakan besaran yang mempunyai nilai dan
arah. Untuk menentukan arah dari vektor resultan terhadap salah sa-tu
vektor komponennya dapat digunakan persamaan sinus.
PerhatikanGambar dibawah ini
Diketahui dua buah vektor, F1 dan F2 membentuk sudut α. Sudut antara
vektor resultan (R) dengan vektor F1 adalah β, sedangkan sudut antara
resultan (R) dan vektor F2 adalah α-β. Secara matematis persamaan ini dapat
ditulis sebagai berikut:
R F F
1 2
sin sin
α
α-β
β
R
F2
F2
6. Contoh Soal :
Diketahui dua buah vektor masing-masing panjangnya 8 cm dan 6
cm.Jika kedua vektor berimpit dan saling tegak lurus, maka tentukan
arah resultan vektor tersebut terhadap kedua vektor tersebut!
Diketahui :
F1 = 8 cm
F2 = 6 cm
α = 90° (tegak lurus)
Ditanya:
a. β
b. α
cari terlebihdahulu resultan kedua vector
R F F F F
1 2 1 2
8 6 2.8.6cos90
64 36 0
100
N
10
2 . cos
2 2 0
a. Arah vektor resultan (R) terhadap vektor F1.
R F
sin sin
sin sin
sin
R F
8 sin 90
sin 0,8
0
0
2
2
2
53
10
sin
R
F
b. Arah resultan vektor (R) terhadap vektor F1.
0 0
37
90 53
0
7. 4. Mengurai Vektor
Setelah memahami cara menjumlahkan vektor, Anda akanmempelajari cara
menguraikan sebuah vektor. Sebuah vektor dapatdiuraikan menjadi dua buah
vektor atau lebih. Pada materi ini, Anda
hanya akan mempelajari cara menguraikan sebuah vektor menjadi duabuah
vektor yang saling tegak lurus, yaitu pada sumbu X dan sumbu Y.
1) Menentukan komponen vektor yang besar dan arahnya diketahui
Vektor komponen adalah dua buah vektor atau lebih yang menyusun sebuah
vektor. Setiap vektor dapat diuraikan menjadi dua buah vektoryang saling
tegak lurus. Perhatikan Gambar dibawah
y
F
Misalkan, diketahui sebuah vektor F yang dapat diuraikan menjadi vektor
komponen pada sumbu X, yaitu Fx dan vector komponen pada sumbu Y,
yaitu Fy. Jika sudut antara vektor F dengan sumbu X positif adalah α ,
maka besar vektor komponen Fx dan Fy dapat Anda peroleh dengan
menggunakan persamaan sinusdan kosinus.
cos
sin
F F
x
F F
y
Contoh soal :
Tentukan besar komponen-komponen vektor dari sebuah vector gaya
sebesar 20 N pada arah 60° terhadap sumbu X positif!
Diketahui : F = 20 N
α = 60°
Ditanyakan :
a. Fx = ...?
b. Fy = ...?
Jawab :
x
Fy
Fx
α
8. cos
20cos60
N
F F x
10
2
20. 1
0
sin
20cos 60
2 3
N
F F y
20. 1
10 3
0
2) Menentukan besar dan arah sebuah vector jika kedua vector komponennya
diketahui
Misalkan, jika komponen-komponen vektor F adalah Fx dan Fy, maka besar
vektor F dapat ditentukan dengan menggunakan dalil Phytagoras pada
segitiga siku-siku. Arah vektor tersebut dapat ditentukan dengan
menggunakan perbandingan trigonometri tangen.
Besar vektor F adalah sebagai berikut :
2 2
x y F F F
Arah vektor F adalah sebagai berikut :
y
F
x
F
tan
Untuk menentukan arah vektor (sudut yang dibentuk terhadap sumbu X
positif) kamu harus memperhatikan tanda Fx dan Fy, tanda tersebut akan
membantu Anda dalam menentukan kuadran dalam vektor koordinat.
Perhatikan tabel dan gambar berikut!
Kuadran I II III IV
Fx + - - +
Fy + + - -
Kuadran II
900≤θ≤1800
Kuadran III
1800≤θ≤2700
Kuadran I
00 ≤θ≤900
Kuadran I
2700 ≤θ≤900
9. Contoh soal
Tentukan resultan dan arah vector gaya F, jika diketahui vector komponenya
sebesar 8N dan 6N
Diketahui : Fx = 8 N
Fy = 6 N
Ditanyakan:
a. F = ...?
b. tanα = ...?
Jawab :
a.
F F Fx y
82 62
100
N
10
2 2
b.
y
F
8
6
36,980
tan
x
F
3) Menjumlahkan vektor melalui vektor-vektor komponennya
Menjumahkan sejumlah vektor dapat dilakukan dengan menguraikan
setiap vektor menjadi komponen-komponennya ke sumbu x dan sumbu y
pda koordinat kartesius, metode seperti ini disebut meted uraian
Berikut ini adalah tahap-tahap untuk mencari besra dan arah vektor
resultan dengan metode uraian
1. Buat koordinat ksrtesius x-y
2. Letakan titik tangkap semua vektor terhadap titik asal (0,0). Ingat arah
vektor tidak boleh diubah
3. Uraikan setiap vektor, yang tidak berimpit dengan sumbu x dan sumbu
ymenjadi komponen- komponenya pada sumbu x dan sumbu y
4. Tentukan komponen resultan vektor pada setiap sumbu misalnya:
a. ΣRx= resultan vektor-vektor komponen pada sumbu x
b. ΣRy= resultan vektor-vektor komponen pada sumbu y
5. Besar resultan vektornya
2 2 X Y R R R
Dan arahnya terhadap sumbu X positif
10.
X
R
Y
R
tan
contoh soal
Tiga buah vektor gaya masing-masing besarnya F1= 10 N, F2 = 30 N, dan
F3 = 20 N.
Arah ketiga vektor tersebut ditunjukkan pada gambar. Tentukanlah
resultan ketiga
vektor tersebut (besar dan arahnya).
Diketahui : F1= 10 N, F2 = 30 N, dan F3 = 20 N.
Ditanya : Resultan dan arah vektor dengan menguraikan vektor
berdasarkan komponennya?
Besaran komponen- komponen setiap vektor adalah
F F N N X cos370 10 0,8 8
1 1
F F c N N Y Y sin 370 10 0,6 6
1
F F N N X cos 530 30 0,6 18
2 2
11. F F N N y sin 530 30 0,8 24
2 2
F F N N X cos 370 20 0,8 12
3 3
F F N N y sin370 20 0,8 16
3 3
Resultan pada sumbu X dan Y
R F F F N X X X X 8 18 12 22 1 2 3
R F F F N Y Y Y Y 6 18 12 18 1 2 3
maka besarnya resultan 3 buah vektor adalah…
R R RX Y
22 18 2 2
484 324
N N
N
808
N
28,4
2 2
Arah Terhadap Sumbu X Positif
R
X
N
tan
0,82 2190
18
22
N
R
Y
Soal Latihan
1. Diketahui vektor M lukislah vektor-vektor berikut
a. –M
b. 3M
c. -2M
2. Dua buah vektor gaya F1 dan F2 masing-masing besarnya 3N dan 4N dan bekerja
pada suatu benda dengan titik angkap berimpit, jika sudut apit antara jkedua buah
vektor itu 600 tentukan resultan vektor dan arah vektor
3. Tentukan besar dan arah vektor serta gambarkan jika komponenya sebagai berikut
a. Vx =4cm dan Vy =6cm
b. Fx =6N dan Fx =-8 N
4. Tiga vektor masing-masing F1= 10 N, F2= 16 N, dan F3= 12 N, disusun seperti
pada gambar. Jikaα=370 ,hitunglah besar resultan dan arah ketiga vektor tersebut
RANGKUMAN
2cm
12. 1. Besaran scalar adalah bearan yang hanya memiliki besar atau nilai dan tidak
memiliki arah contohnya massa waktu,suhu, jarak, massa jenis, dan lain-lain
2. Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah contohnya
perpindahan,kecepatan, percepatan,momentum dan momen
3. Resultan vektor merupakan jumlah dari dua atau lebih vektor.
4. Resultan vektor dapat diperoleh dengan beberapa metode, antar lain, metode,
poligon, jajar genjang dan analitis.
5. Menentukan resultan dan arah vektor dengan mengunakan rumus kosinus dan
sinus
2 . cos 1 2 1 2 R F F F F
R F F
1 2
sin sin
6. Sebuah vektor f dapat diuraikan kedalam komponennya misalya vektor Fx dan Fy
pada bidang koordinad kartesian Fx adalah kompnen vektor F pada sumu x dan Fx
adaah komponen vektor F pada sumbu y
7. komponen vektor adalah dua buah vektor atau lebih yang menyusun sebuh vector
8. Rumus mencari resultan vektor dan arah vektor berdasarkan omponennya adalah
2 2
X Y F F F
Arah vektor F adalah sebagai berikut :
y
F
x
F
tan
