1. MAKALAH
SEJARAH MATEMATIKA PERIODE AKHIR YUNANI KUNO
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Testruktur
Pada Mata Kuliah Sejarah Matematika
Kelompok 5:
Winta Nofriani
Endang Lastri
Lismaita
Dosen Pembimbing
Eka Pascha Suryabayu, M.Pd
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN TARBIAH
SKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI (STAIN)
SJECH M. DJAMIL DJAMBEK
BUKITTINGGI

2. BAB I
Periode Akhir Yunani
I. Latar Belakang Sejarah
Walau sekarang terdapat ungkapan “Matematika Yunani”, maka yang
kemungkinan terbayang dalam pikiran seseorang bahwa yang dimaksud adalah
matematika yang berkembang pada suatu negeri tertentu yakni Yunani. Tetapi pemikiran
demikian tidaklah tepat karena daerah perkembangan matematika Yunani bukanlah
hanya di Yunani saja melainkan tersebar luas.
Periode terakir dari zaman Yunani Kuno adalah didominasi oleh kekuasaan
Romawi, karena Yunani adalah kota yang paling aman damai dalam sejarah termasuk
juga Mesir. Jadi Yunani adalah tempat untuk berlindung yang aman bagi para kaum
cendekiawan dalam kurun waktu yang sangat lama.
Dalam tahun 212 S.M Syracusp dikuasai oleh bangsa Romawi dan dalam tahun
146 S.M Chartago juga jatuh ketangan kekuasaan Romawi serta kota terakir Yunani
Gorinth juga dikuasai bangsa Romawi sehingga menjadikan Yunani sebagai salah satu
propinsi dari kekaisaran Romawi. Mulai saat itu kekuasaan Yunani mulai menyebar
keseluruh kehidupan bangsa Romawi.
II. Tokoh-tokoh Matematika Periode Akhir Yunani
a. Diophantus
Sekitar tahun 250 seorang matematikawan Yunani yang bermukim di
Alexandria melontarkan problem matematika yang tertera di atas batu
nisannya. Tidak ada catatan terperinci tentang kehidupan Diophantus, namun
meninggalkan problem tersohor itu pada Palatine Anthology, yang ditulis setelah

3. meninggalnya. Pada batu nisan Diophantus tersamar (dalam persamaan) umur
Diophantus.
Diophantus sering disebut sebagai “Bapak Aljabar” Karena jasanya yang
besar dalam mengembangkan aljabar sinkopasi, yaitu aljabar dengan menggunakan
lambang-lambang tertentu Karya utama dari Diophantus ini adalah “Arithmetica”,
yang aslinya terdiri dari lima belas buku, tetapi hanya tujuh buku pertama yang
dapat diselamatkan.
Dalam zaman Yunani perkataan Arithmatika berarti bilangan, bukan
komputasi sering Arithmatika disamakan dengan falsafah yang terlihat dari hasil
karya Nicomachus dari Gerasa yang berjudul “ Itroductio Arithmaticae”
Nicomacus adalah seorang Neo Pithagoras, yang kadang-kadang di anggap
sebagai seorang yang berlatar belakang Syria, tetapi jika dilihat hasil karya nya lebih
bersifat filosof Yunani.
Itroductio Nicomacus ini dimulai dengan mengklasifikasikan bilangan atas
dua kelompok, yakni kelompok genap dan ganjil, kemudian dikelompokkan
dedalam kelompok 2n, kelompok 2n.p (p ganjil, p>1 dan n>1), dan 2.p (p ganjil dan
p>1). Dalam buku ini didefenisikan bilangan prima, bilangan komposirt, bilangan
sempurna, dan empat bilangan sempurna yang di kenal waktu itu yakni (6, 28, 496
dan 8128), serta deskripsi tentang saringan Erastosthenes.
Dalam buku ini terdapat teorema : “ apabila bilangan ganjil di kelompokkan
dalam kelompok-kelompok ; 3+5; + + ; 3+ 5+ + ; +…… , maka jumlah
kelompok berturut-turut akan membentuk bilangan pangkat tiga.
Secara umum ada tahapan perkembangan dalam sejarah perkembangan
aljabar yang di kenal:
1. Aljabar Retorik (rhetorical algebra), yaitu tahap permulaan aljabar, dimana
setiap sesuatunya, termasuk penyelesaian nya, semuanya di tuliskan dengan
perkataan lengkap, tanpa menggunakan singkatan atau lambing.
2. Aljabar Sincopasi (syncopated algebra), yaitu tahap pertengahan, dimana telah
mulai menggunakan beberapa singkatan untuk menyatakan sesuatu kuantitas
3. Aljabar Simbolik (symbolic algebra), yaitu tahap terakir, dimana semuanya pada
umumnya menggunakan lambang-lambang.

4. Aljabar sebelum Diophantus adalah aljabar Retorik, sedangkan aljabarnya
Diophantus adalah aljabar sinkopasi, yang merupakan konstribusi Diophantus yang
terbesar dalam perkembangan aljabar untuk masa selanjutnya.
Dalam seluruh enam buku Arthmetica terdapat penggunaan yang sistematis
dari singkatan untuk pangkat bilangan dan untuk relasi operasi bilangan. Suatu
bilangan yang tidak dikenal (variable) dilambangkan dengan lambing yang
menyerupai huruf Yunani sigma (δ), yang kemungkinan di ambil dari huruf terakir
“Arthmos” kuadrat bilangan yang tidak di ketahui dilambangkan dengan Δy, yaitu
dua huruf pertama dari perkataan dinamis (ΔγHAHZ) atau pangkat, pangkat tiga
dilambangkan dengan Kγ , dua hiuruf pertama dari perkataan kubos (KγBOΣ)
Lambang untuk negative dilambangkan dengan, barang kali sebagai
gabungan dari Λ dan I dari perkataan Icipis (ΛEIψiΣ) yang berarti “ kurang”
Dalam menuliskan suatu suku banyak (polynomial), semua suku-suku
negative dikumpulkan bersama dan di dahului oleh lambang negative, dan koefisien
bilangan ditulis sesudah lambing-lambang untuk pangkat.
Apabila dalam suku banyak itu terdapat konstanta maka digunakan lambang,
singkatan dari monades (MONAΔEΣ) dengan bilangan yang sesuai. Sebagai contoh
misalnya:
a) X3+13x +5x, dituliskan :
b) X3-5x +8x-1, dituliskan :
c) 2x +3x3-4x +5x-6, dituliskan :
Perbedaan aljabar Sinkopasi Diophantus dengan aljabar sekarang ini adalah
kurangnya lambang-lambang dari aljabar Diophantus untuk melambangkan relasi
dan operasi seperti notasi eksponesial, akar dan sebagainya. Buku Aritmatika berisi
150 problem yang berhubungan dengan persamaan linear dan persamaan kuadrat
serta satu penyelesaian persamaan pangkat tiga.
Dalam menyelesaikan problem-problem dengan dua atau lebih bilangan yang
tidak diketahui, Diophantus secara cerdikk sekali mengatakan semua bilangan yang
tidak diketahui itu hanya dengan salah satu dari bilangan yang tidak diketahui itu.
Sebagai contoh, misalnya : carilah dua bilangan yang jumlahnya 20 dan jumlah
kuadratnya 200, bilangan –bilangan yang tidak membentuk 200 maka Diophantus
tidak dinyatakan dengan x dan y, melainkan dengan 10+x dan 10-x. jadi, (10+x) -
( -x) = 200, maka diperoleh x= 2. Jadi bilangan itu adalah 8 dan 12.

5. Problem lain adalah bagaimana menentukan dua bilangan sehingga apabila
salah satu bilangan itu ditambahkan dengan kuadrat bilangan yang lain
menghasilkan kuadrat suatu bilangan rasional. Dalam menyelesaikan problem ini
Diophantus tidak mengambil x dan y sebagai bilangan tak tentu, melainkan x dan
x+
Dalam hal ini, jika bilangan kedua ( x+1) ditambahkan dengan kuadrat
bilangan kedua (x ), akan menghasilkan bilangan kuadrat sempurna, tidak peduli
nilai berapapun yang diberikan untuk x. sekarang diperlukan pula (2x+1) +x harus
bilangan kuadrat sempurna, dan ia tidak menunjukan bahwa tak terhingganya
banyaknya kemungkinan jawaban, tetapi ia memilih salah satu kemungkinan
jawaban saja, yakni (2x- , dimana apabila (2x- disamakan dengan (2x+1) +x
akan menghasilkan nilai x= 3/13 dan 2x+1 =19/13.
Buku II problemnya adalah : Tentukan lah dua bilangan kuadrat dimana
apabila perkalian kedua bilangan itu ditambah dengan salah satu bilangan itu
menghasilkan bilangan kuadrat .
Buku III problemnya adalah: Tentukanlah tiga bilangan sedemikian
sehingga ketiga bilangan itu adalah bilangan kuadrat, dan jumlah dua bilangan
sembarang juga bilangan kuadrat. Carilah tiga bilangan yang merupakan deret
hitung r sehingga jumlah sembarang dua bilangan adalah bilangan kuadrat.
Tentukanlah tiga bilangan, sehingga hasil bilangan ketiga adalah bilangan kuadrat.
Buku IV problemnya adalah: Carilah dua bilangan sedemikian sehingga
jumlahnya sama dengan jumlah pangkat tiganya Tentukanlah tiga bilangan yang
merupakan deret geometri sedemikian sehingga selisih antara sembarang dua
bilangan adalah bilangan kuadrat.
Buku VI problemnya adalah: Tentukanlah suatu segitiga Pythagoras
dimana panjang garis bagi dari salah satu sudut lancipnya Rasional.
b. Pappus
Pada tahun 320 Pappus menulis sebuah buku yang sangat penting yang
berjudul “Collection” (Synagoge . Buku mathematical oleh collection yang kadang
disebut collection adalah karya Pappus yang terbesar yang berisi kombinasi antara
komentar dan sebagai buku panduan bagi karya-karya geometri pada saat itu.
Buku ini dilengkapi dengan banyak sekali proposisi yang orisinil, perbaikan-
perbaikan dan perluasan proposisi geometri sebelumnya, serta komentar-komentar.

6. Buku ini dianggap penting dalam sejarah matematika, karena antara lain:
1. Buku ini berisi catatan-catatan sejarah yang berharga tentang bagian-bagian
matematika Yunani yang belun diketahui sebelumnya, misalnya dalam buku ini
dapat diketahui bagaimana Archimedes menemukan tiga belas semiregular
polyhedral atau yang dikenal dengan “Arcimedean Solid”
2. Dalam buku ini tredapat alternative pembuktian yang lain untuk proposisi-
proposisi Euclid, Archimedes dan Apollonius serta beberapa tambahan lemma.
3. Terdapat penemuan-penemuan baru Pappus serta pengeneralisasian yang
sebelumnya belum pernah dikenal.
Dalam buku ini Pappus memberikan uraian tentang bagaimana metode
Apollonius menuliskan dan bekerja dengan bilangan-bilangan yang besar. Dalam
buku III Pappus membedakan dengan tajam antara problem-problem bidang datar,
benda-benda ruang (solid), dan linear. Menurut Pappus bidang datar dapat
dikonstruksi dengan hanya mneggunakan jangka dan mistar saja. Solid dapat
diselesaikan dengan menggunakan irisan kerucut, sedangkan untuk linear diperlukan
karya selain dari garis lurus, lingkaran dan irisan kerucut.
Dalam buku III ini Pappus memberikan beberapa bentuk penyelesaian dari “
Tiga problematic” nya Yunani, yaitu penduakalian kubus, membagi sudut sepertiga
bagian yang sama besar dan mengkuadratkan lingkaran. Problem yang pertama dan
yang kedua dikategorikan oleh Pappus dengan kategori Euclid, sedangkan problem
yang ketiga sebagai linear. Lebih lanjut Pappus mengatakan bahwa tidak mungkiun
ketiga problem ini dapat diselesaiakan dengan hanya menggunakan jangka dan
mistar.
Pappus memperlihatkan bahwa apabila dalam suatu setengah lingkaran ADC
dengan pusat O dibuat tegak lurus AC dan BF tegak lurus AD, maka DO adalah
rata-rata hitung, DE rata-rata geometri dan DF rata-rata harmonic dari AB dan BC.
Dalam buku IV Pappus mengatakan bahwa untuk menyelesaiakn suatu
problem harus dilakukan konstruksi yang sesuai. Misalkan diketahui sudut AOB
terletak dalam suatu lingkaran dengan pusat O, dan misalkan lagi bahwa OC adalah
garis bagi sudut AOB. Lukis hiperbola dengan A sebagai salah satu fokusnya, OC
sebagai dirktrixnya, dan dengan eccentrisitas sama dengan dua. Maka salah satu
cabang dari parabola ini akan memotong keliling lingkaran suatu titik T, dimana
sudut AOT adalah 1/3 dari sudut AOB.

7. Trisection kedua dari Pappus adalah dengan menggunakan hiperbola sama
sisi sebagai berikut: misalkan sisi OB dari sudut-sudut AOB adalah diagonal suatu
empat persegi panjang OABC. Melalui titik A dilukis suatu hiperbola sama sisi
dengan BC dan OC sebagai assimptot, dengan A sebagai pusat dan jari-jari dua kali
OB, dilukis suatu lingkaran yang memotong hiperbola di P. dari titik P ditarik garis
lurus PT kepada perpanjangan CE. Dari sifat-sifat parabola, garis lurus melalui O
dan T akan sejajar dengan AP dan sudut AOT adalah 1/3 sudut AOB.
Dalam buku IV ini , Pappus juga melakukan generalisasi sedehana dari
teorema Pythagoras sebagai berikut:
1. Apabila ABC adalah suatu sembarang segitiga, dan apabila CGBF adalah
sembarang jajaran genjang yang dilukis pada kedua sisi segitiga itu, maka
Pappus membuat pada sisi AC suatu jajaran genjang ACKL yang luasnya sama
dengan luas kedua jajaran genjang semula.
2. Jajaran genjang ACKL ini dapat dilukis dengan jalan memperpanjang sisi FG
dan sisi ED yang akan saling berpotongan di titik A ke AC pada titik J. terakhir
dilukis AD dan CK sejajar dengan HJ, maka terbentuklah jajaran genjang
ACKL.
Buku V dari collection adalah buku yang disenangi oleh komentator
matemtika selanjutnya, karena dalam buku ini diperlihatkan tentang kecerdikan
lebah dalam membuat sarangnya. Menurut Pappus , dua segitiga segibanyak
beraturan yang mempunyai diameter yang sama, maka segibanyak mempunyai sisi
yang terbanyak akan mempunyai luas yang lebih besar dbandingkan denga yang
mempunyai sisi lebih sedikit.
Oleh karena itu, Pappus menyimpulkan bahwa lebah telah memperlihatkan
pengertian matematika yang cukup tinggi dalam membuat sarangnya, yaitu
berbentuk hexagonal, bukan segitiga, bukan segiempat, atau prisma. Dan juga bahwa
luas suatu lingkaran dengan diameter yang sama dengan sembarang segibanyak
beraturan, akan selalu lebih besar dari luas segibanyak beraturan itu.
Buku VI umumnya berhubungan dengan astronomi, dan aplikasi matematika
dalam astronomi, optic, dan mekanika.
Buku VII berisi tentang metode analisis data yabg dikenal dengan nama “
Treasury of Analysis “ Ada dua belas karya yang didiskusikan dalam Treasury of
Analysis, yaitu
1. Data

8. 2. Porisms.
3. Surface Loci ( semuanya karya Euclid )
4. Conic Sections.
5. On Proportional Section.
6. On Optical Section.
7. On Determinate section.
8. Tangencion.
9. Varginge.
10. Place Loci ( semuanya karya Apollonius )
11. On Means, karya Erastothenes.
12. Solid Loci, karya Aristaceus.
Teorema Troida (pusat gravitasi) dari Paul Guldin, seorang mathematician
pada abad ke 17 yang dianggap menemukan teorema ini, yaitu :
1. Apabila suatu busur dibidang datar diputar mengelilingi suatu sumbu yang
terletak sebidang dengan kurva itu, tetapi tidak memotong kurva, maka luas
permukaan benda putar yang terjadi adalah sama dengan perkalian panjang busur
dan panjang lintasan yang dilalui oleh pusat gravitasi busur itu.
2. Apabila suatu kurva tertutup bidang datar diputar mengelilingi sumbu yang
terletak sebidang dengan kurva itu, tetapi tidak memotong kurva, maka isi benda
putar yang terjadi adalah sama dengan perkalian luas kurva dengan panjang
lintasan yang dilalui oleh pusat gravitasi busur itu.
Dalam buku ini dibicarakan tentang tempat kedudukan terhadap tiga dan
empat garis, yaitu: “apabila P , P , P3, dan P adalah panjang segmen-segmen garis
yang dilukis dari suatu titik P kepada empat garis yang diketahui, dan membuat
sudut-sudut tertentu dengan garis-garis ini, dan apabila P P = kP3 ,atau
P P =kP3P , dimana k bilangan konstan, maka tempat kedudukan titik adalah suatu
irisan kerucut” Yang dibuktikan oleh Apollonius
Teorema lainnya adalah teorema Stewart, yaitu:”apabila A,B,C, dan D
sembarang empat titik pada suatu garis, maka: (AD) (BC) + (BD) (CA) +
(CD) (AB) + (BC) (CA) (AB) = 0”.
Bahwa empat sinar dari suatu titik yang dipotong oleh dua transversal
masing-masingnya pada titik A, B, C, D dan titik A„, B„, C„, D„, maka kedua cross

9. ratio (AB/CD) dan (A„B„/C„D„ adalah sama, yang merupakan teorema dasar dari
geometri proyektif.
Buku VIII berisi bagaimana melukis suatu kerucut melalui lima titk yang
diketahui “apabila D, E, F adalah pada sisi BC, CA, dan AB dari suatu segitiga
ABC, sehingga BD/DC = CE/EA=AF/FC, maka segtiga DEF dan ABC mempunyai
pusat gravitasi yang sama.
Komentator-komentator matematika yang terkenal sampai akhir abad
keenam adalah:
a. Theon dari Alexadria
Theon menulis komentar atas karya Ptolomy,Almagest, dalam sebelas
buku. Disamping itu, edisi modern dari karya Euclied,Elements, adalah
berdasarkan pada revisi dari Theon terhadap naskah aslinya. Walaupun demikian
Theon lebih berjasa dalam informasi sejarah dibandingkan dengan hasil karya
matematikany.
b. Hypatia
Hypatia adalah salah seorang yang terkemuka dalam bidang matematika,
terutama bidang aljabar.dia adalah ahli matematika wanita pertama yang
tercantum namanya dalam sejarah matematika. Berdasarkan komentar
mathematician sesudahnya, diketahui bahwa hypati banyak menulis komentar-
komertar atas karya-karya mathematician sebelumnya, seperti “ Arithmetica”
nya Diophantus, “Conic section” dari Apollonius, dan “Al-Magest” nya Ptolemy
Hypatia juga dikenal sebagai ahli medicine dan ahli falsafa.
Tahun 415, Hypatia dibunuh secara kejam suatu kelompok fanatic
Kristen, karena dia tidak mau memeluk agama Kristen yang dianjurkan oleh
pejabat Alexandria waktu itu. Kematian Hypatia dianggap sebagai zaman
berakhirnya matematika Yunani.
c. Proclus -
Proclus lebih bersifat filosofis dibandingikan sebagai matematikan tetapi
ucapan-ucapan dan tulisan-tulisannya sering memberikan kritik terhadap sejarah
permulaan perkembangan geometri yunani . karyanya yang terbesar adalah
komentarnya terhadap buku I elemen karya Euclid . dalam menulis komentarnya

10. komentarnya ini, dipastikan bahwa Proklus mempunyai suatu salian dari History of
Geometri karya Eudemus, yang sekrang tidak dapat lagi , sama halnya dengan karya
Poppus Geometri of the Elements, yang sebagian besar tidak dapat di temukan
lagi.
Jasa Proclus yang terbesar adalah karyanya tentang sejarah geometri
sebelum Ecluid , dimana dalam karyanya “Geometri “ , Proklus membuat ringkasan
dari karya Eudemus “ History of Geometry”, yang terdiri dari empat buku. Bagian
dari buku ini, yang di kenal dengan “Eudemion Summery” dianggap sebagai
kontribusi Proklus yang terbesar kepada sejarah matematika, disamping teorema
penemuannya : Apabila suatu segmen garis yang panjangnya tetap bergerak dengan
kedua ujungnya pada dua garis berpotongan , suatu titik dari segmen garis itu akan
melukiskan suatu bagian elips . karya Proklus yang lain adalah komentarnya
terhadap karya Plato “Republic” Proclus meninggal di Athena , ketika dia berumur
lebih kurang 75 tahun.
d. Boothius (475-
Boothius disamping sabagai seorang matematika dan filasof, dia adalah juga
seorang negarawan terkenal. Walaupun Boothius adalah seorang matematika
terkemuka pada zaman romawi, namun tingkatan hasil karyanya jauh ketinggalan
dari karya-karya penulis Yunani. Boothius menulis buku teks untuk empat cabang
matematika, yakni aritmatika, geometri, music, dan astronomi. Buku aritmatika
Boothius berdasarkan kepada “Introduction” karya Hicomacus, geometri
berdasarkan “Elements”nya Euclid, astronomi berdasarkan “Almagest‟‟nya ptolomy,
sedangakan musik berdasarkan kepada karya Hicomacus, Euclid dan Ptolemy.
Karena pertentangan politik dan agama dengan penguasa dan pihak gereja
pada waktu itu, yang sanggat besar pengaruhnya terhadap pemerintahan, maka
Boothius dipenjarakan untuk beberapa tahun lamanya, dan akhirnya dijatuhi
hukuman mati pada tahun 521. Kematian Boathius ini dapat dianggap sabagai
akhirnya periode matematika zaman kuno di kekaisaran Romawi Barat. karya
terakhir dari Boothius adalah “De consolatione philosopjiae”, yang dituliskanya
maka berada dalam penjara, sebelum dia dihukum mati.

11. e. Simplicius
Karya Simplicius yang terkenal adalah komentarnya atas karya Aristotles,
”Physica” Disamping itu Simplicius juga menulis tentang percobaan Anthipon
(430 S.H) untuk mengkuatdratkan lingkaran, tentang lune nya Hippocratus dan
tentang concection nya Eudoxus. Simplicius mengutip kota demi kata apa yang
ditulis Eudemus tentang “quadratur of lune”nya Hippocratus
Dari catatan-catatan Simplicius inilah orang dapat mengenal karya-karya
geometri Yunani yang monuskrip aslinya tidak ditemukan lagi, terutama sekali
karya-karya geometri sebelum zaman Plato. Karya Simplicius yang lain adalah
komentarnya terhadap buku I Elements karya Euclid yang kemudian diterjemahkan
kedalam bahasa arab pada zaman khalifah Harun Al-Rasyid. Simplicius diperkirakan
hidup pada pertengahan pertama abad keenam, dan pernah mengenyam pendidikan
Alexandria dan Athena.
f. Metrodorus
Anthologi ini adalah salah satu sumber yang sangat berharga tentang
aljabar yunani yang disusun oleh Metrodorus, seorang ahli tata bahasa yunani.
Anthology aini berisi segienam ribu epigmen (sanjak, puisi), dimana 46 buah berisi
problem-problem ini adalah berasal dari Metrodorus, dan sebagian lagi berasal dari
karya-karya matematica sebelumnya , termasuk problem matematika sesudah zaman
Diophantus . Sekitar satu lisin mengenai persamaan simultan sederhana dengan dua
variable, satu persamaan simultan dengan empat persamaan dan empat variabel dan
dua problem yang berhubunggan dengan pertsamaan tak tentu (undeteminate
equstion) dari pertama.