Operasi di dalam vektor Fisika

1. 1
KOMPETENSI DASAR
3.3 Menerapkan prinsip penjumlahan vektor sebidang (misalnya
perpindahan)
4.3 Merancang percobaan untuk menentukan resultan vektor
sebidang (misalnya perpindahan) beserta presentasi hasil dan
makna fisisnya
INDIKATOR
3.3.1. Menentukan resultan vektor dan arah vektor menggunakan metode
grafis
3.3.2. Menentukan resultan vektor menggunakan metode analitis
4.3.1 Merancang prosedur percobaan yang bertujuan untuk menentukan
resultan vektor sebidang
4.3.2 Melakukan percobaan sesuai dengan rancangan percobaan
menentukan resultan vektor sebidang yang telah dibuat
4.3.3 Mempresentasikan hasil percobaan untuk menentukan resultan vektor
sebidang

2. 2
PETA KONSEP
Penjumlahan
Vektor
Metode
Grafis
Metode
Jajaran
Genjang
Metode
Segitiga
Metode
Poligon
Metode
Analitis
Penguraian
Komponen
Vektor

3. 3
Sumber: Serway, 2009
Gambar 1. Navigasi Pesawat
Tahukah kamu bagaimana pesawat terbang dapat terbang menuju ke bandara
tujuan tanpa tersesat? Sebuah pesawat terbang dapat mencapai tujuan tanpa tersesat
karena dilengkapi dengan sistem navigasi. Sistem navigasi pesawat terbang
merupakan salah satu produk teknologi yang menerapkan konsep vektor.
Bagaimanakah penerapan konsep vektor dalam sistem navigasi pesawat?
Ketika sebuah pesawat terbang melaju ke suatu lokasi tujuan, pilot harus
mempertimbangkan arah dan besar kecepatan angin. Hal ini karena arah dan besar
kecepatan angin sangat berpengaruh terhadap gerakan pesawat. Panel-panel
instrumen sistem navigasi yang terdapat di ruang kokpit atau flight deck sebuah
pesawat terbang memberikan informasi yang akurat tentang hal-hal yang terkait
gerakan pesawat dan angin, sehingga pilot dapat menyesuaikan kecepatan dan arah
gerak pesawat berdasarkan informasi tersebut.

4. 4
Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk
besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan, percepatan, dan lain-lain. Untuk
menyatakan besaran vektor, harus menggunakan nilai dan disebutkan arahnya. Misal, Robert
menggeser lemari sejauh 3 meter ke Barat.
Sebuah vektor dalam buku cetakan biasanya
dinyatakan dalam huruf yang dicetak tebal (bold),
misal vektor A ditulis A. Untuk tulisan tangan sebuah
vektor dilambangkan dengan huruf yang diberi tanda
anak panah di atasnya: A⃗⃗ . Pada penulisan nilai atau
besar vektor A, untuk buku cetakan biasanya
menggunakan huruf miring: A, sedangkan tulisan
tangan dinyatakan dengan anak panah di atasnya
beserta tanda harga mutlak: |A⃗⃗ |.
Sebuah vektor dinyatakan dengan sebuah anak
panah yang menyatakan besar dan arahnya (Gambar 2).
Arah anak panah menyatakan arah vektor, sedangkan
panjang anak panah secara proporsional menyatakan besar
vektor. Perhatikan Gambar 3, vektor B dan C menyatakan
kecepatan. Panjang anak panah (panjang vektor)
sebanding dengan nilai kecepatannya. Dengan demikian,
jika vektor B menunjukkan kecepatan 40 km/jam, maka
vektor C menunjukkan kecepatan 60 km/jam.
1. Kesamaan Dua Vektor
Dua vektor yang mempunyai besar dan arah yang sama disebut vektor yang sama,
walaupun posisi titik tangkap dan titik ujungnya berbeda. Vektor K dan L pada Gambar
4.a dan vektor M dan N pada Gambar 4.b adalah pasangan vektor yang sama.
Penulisan Vektor
A
Penggambaran Vektor
B
Titik tangkap Titik ujung
Arah
A
Gambar 2
Bagian-bagian vektor A
B
C
Gambar 3
Panjang vektor B dan C sebanding
dengan besar vektor B dan C

5. 5
2. Negatif dari Vektor
Vektor yang besarnya sama tetapi arahnya
berlawanan disebut negatif dari vektor. Gambar 5
menampilkan vektor A dan –A.
Beberapa vektor dapat dijumlahkan menjadi sebuah vektor yang disebut resultan
vektor. Resultan vektor dapat diperoleh dengan beberapa metode, yaitu metode jajaran
genjang, metode segitiga, metode poligon dan analitis.
1. Metode Jajaran Genjang
Sudah tahukah kamu dengan metode jajaran
genjang? Tentu kamu sudah bisa membayangkan
dari namanya. Pada Gambar 6 terdapat dua vektor
A dan B. Untuk menentukan resultan dua buah
vektor lakukanlah langkah-langkah berikut.
K
L
M
N
a b
Gambar 4
Vektor yang mempunyai besar dan arah yang sama
Gambar 5
Vektor A dan –A merupakan dua
vektor dengan besar yang sama tetapi
arahnya berlawanan
A
-A
Resultan Vektor
C
A
B
Gambar 6.
Vektor A dan B

6. 6
a. Kita gambar ulang vektor dengan
masing-masing titik tangkap saling
bertemu.
b. Untuk membuat jajaran genjang,
gambarlah garis dari ujung A sejajar
dengan B dan dari ujung B sejajar
dengan A.
c. Tariklah garis dari titik pertemuan dua vektor ke sudut seberang dari jajaran genjang.
Garis tersebut merupakan vektor resultan R.
Pada metode jajaran genjang, satu kali lukisan hanya dapat digunakan untuk mencari
resultan dua buah vektor. Untuk resultan yang terdiri atas tiga buah vektor diperlukan dua
jajaran genjang, empat buah vektor diperlukan tiga jajaran genjang, dan seterusnya.
2. Metode Segitiga
Metode ini dilakukan dengan cara
mempertemukan titik ujung vektor dengan titik
pangkal vektor yang lain. Perhatikan contoh
berikut.
Pada Gambar 7 terdapat dua vektor A dan B
dengan besar dan arah yang berbeda. Untuk
mendapatkan vektor resultan lakukanlah
langkah-langkah berikut.
A
B
Gambar 7.
Vektor A dan B
A
B
A
B
A
B
R

7. 7
a. Gambar ulang vektor A tanpa
mengubah besar dan arahnya.
b. Gambar ulang vektor B dimulai dari
titik ujung vektor A tanpa
mengubah besar dan arahnya.
c. Gambarlah vektor resultan R dengan cara
menarik garis dimulai dari titik tangkap
vektor A ke titik ujung vektor B. Lihat
gambar di samping.
R adalah vektor resultan dari
penjumlahan vektor A dan B. Vektor resultan R
juga dapat diperoleh dengan cara sebaliknya,
yaitu membuat vektor B terlebih dahulu, kemudian diteruskan dengan membuat vektor A
dari ujung vektor B.
A
B
R = A + B
A
A
B
Tujuan
Menemukan sifat penjumlahan dan selisih vektor
Alat dan bahan
Kertas, pensil, dan mistar
Langkah Kerja
1. Pada selembar kertas kosong, salin gambar vektor A dan B pada Gambar 7.
2. Pada kertas tersebut:
a. Lukis jumlah vektor R = A + B, tetapi vektor A dilukis lebih dahulu
b. Lukis jumlah vektor Q = B + A, tetapi vektor B dilukis lebih dahulu
KEGIATAN
1

8. 8
3. Metode Poligon
Metode ini merupakan pengembangan dari
metode segitiga, melibatkan lebih dari dua vektor
(lihat Gambar 8). Untuk mendapatkan vektor
resultan R = A + B + C, lakukanlah langkah-langkah
berikut.
a. Pilihlah salah satu vektor sebagai awalan
(misalnya vektor A)
b. Pertemukan vektor kedua dimulai dari titik ujung
vektor pertama tanpa mengubah besar dan arahnya.
c. Gambarlah vektor ketiga dimulai dari titik ujung vektor kedua tanpa mengubah besar
dan arahnya
d. Hubungkan dengan garis titik tangkap vektor pertama dengan titik ujung vektor
terakhir sehingga kita dapatkan vektor resultan R. Perhatikan Gambar 9.
A
C
Gambar 8.
Vektor A, B dan C
B
A
a
A B
b
A
B
Cc
A
B
C
R
d
Gambar 9.
Menjumlahkan vektor dengan metode poligon
3. Siapkan kertas kosong lain, salin kembali gambar vektor A dan B pada Gambar
7. Kemudian, lukis masing-masing vektor selisih C = A – B dan D = B – A.
Pertanyaan dan Kesimpulan
1. Bandingkan gambar vektor R dan Q yang telah kamu lukis pada langkah kerja
2. Apakah pada penjumlahan vektor berlaku hukum komutatif? Berikan
pendapatmu!
2. Bandingkan vektor selisih C dan D yang telah kamu lukis pada langkah kerja
3. Apakah pada selisih vektor berlaku hukum komutatif? Berikan pendapatmu!
LANJUTAN
KEGIATAN
1

9. 9
Urutan vektor yang dibentuk tidaklah penting untuk diperhatikan mengingat
penjumlahan vektor bersifat komutatif, asalkan tidak mengubah besar dan arahnya.
4. Metode Analitis
Metode ini, berbeda dengan ketiga metode sebelumnya. Untuk menentukan
resultan vektor dengan cara perhitungan, yaitu menggunakan rumus kosinus dan
mencari arah vektor resultan dengan menggunakan rumus sinus.
a. Menentukan Resultan Vektor menggunakan
Rumus Kosinus
Gambar 10 menunjukkan penjumlahan dua
vektor A dan B. Dengan menggunakan
persamaan tertentu, dapat diketahui besar dan
arah resultan kedua vektor tersebut.
Persamaan tersebut diperoleh dengan
menerapkan aturan cosinus pada segitiga OPR,
sehingga dihasilkan:
( 𝑂𝑅)2
= ( 𝑂𝑃)2
+ ( 𝑃𝑅)2
− 2( 𝑂𝑃)( 𝑃𝑅)cos(180 𝑜
− 𝛼)
= ( 𝑂𝑃)2
+ ( 𝑃𝑅)2
− 2( 𝑂𝑃)( 𝑃𝑅)(−cos 𝛼)
( 𝑂𝑅)2
= ( 𝑂𝑃)2
+ ( 𝑃𝑅)2
+ 2( 𝑂𝑃)( 𝑃𝑅)cos 𝛼
Diketahui bahwa OP = A, PR = OQ = B, OR = R, sehingga:
Keterangan:
R : besar resultan vektor R
A : besar vektor A
B : besar vektor B
𝛼 : sudut apit antara kedua vektor
b. Menentukan Arah Resultan Vektor Menggunakan Rumus Sinus
Untuk menentukan arah vektor resultan terhadap salah satu vektor
komponennya dapat digunakan persamaan sinus. Perhatikan Gambar 11.
𝑅2
= 𝐴2
+ 𝐵2
+ 2𝐴𝐵 cos 𝛼 atau 𝑅 = √𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵 cos 𝛼
Sumber: Setya, 2009
Gambar 10.
Metode jajaran genjang untuk
jumlah vektor A + B

10. 10
Secara matematis, dapat ditulis
sebagai berikut.
c. Penguraian Vektor secara Analitis
Untuk keperluan perhitungan tertentu,
terkadang sebuah vektor yang terletak dalam
bidang koordinat sumbu-x dan sumbu-y
harus diuraikan menjadi komponen-
komponen yang saling tegak lurus.
Perhatikan Gambar 12.
Misalkan, diketahui sebuah vektor F
yang dapat diuraikan menjadi komponen
vektor pada sumbu-x, yaitu 𝐅𝐱 dan
komponen vektor pada sumbu-y, yaitu 𝐅𝐲. Jika sudut antar vektor F dengan
sumbu-x positif adalah 𝜃, maka besar komponen vektor 𝐅𝐱 dan 𝐅𝐲 ini memenuhi
perbandingan trigonometri seperti persamaan berikut.
Contoh metode analitis pada Gambar 13.a.
Dua gaya 𝐅𝟏 dan 𝐅𝟐 bekerja pada benda dengan
sudut 𝛾. Pada benda itu dapat dibuat sumbu-x dan
sumbu-y seperti pada Gambar 13.b, sehingga 𝐅𝟏
dan 𝐅𝟐 dapat diproyeksikan ke arah sumbu-x dan
sumbu-y. Resultan proyeksi-proyeksi gaya yang
searah memenuhi persamaan berikut.
∑ 𝐹𝑥 = 𝐹1𝑥 − 𝐹2𝑥
∑ 𝐹𝑦 = 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦
y
x𝜃
F
𝐅𝐱
𝐅𝐲
Gambar 12.
Komponen vektor F
Fx = F cos 𝜃
F 𝑦 = F sin 𝜃
Sumber: Setya, 2009
Gambar 11.
Menentukan arah vektor
R
sin 𝛼
=
F1
sin( 𝛼 − 𝛽)
=
F2
sin 𝛽
𝐅𝟐
𝐅𝟏
𝛾
a
𝐅𝟏𝐱𝐅𝟐𝐱
𝐅𝟐
𝐅𝟏
𝛽 𝛼
y
x
𝐅𝟐𝐲
𝐅𝟏𝐲
b
Gambar 13.
Penguraian beberapa vektor

11. 11
Resultan gaya-gaya tersebut dapat memenuhi persamaan berikut.
𝐹𝑅
2
= ∑ 𝐹𝑥
2
+ ∑ 𝐹𝑦
2
Sehingga, besar vektor 𝐹𝑅 adalah:
Sementara itu, arah vektor ditentukan dengan persamaan:
Contoh Soal
Tiga buah gaya bekerja pada benda seperti Gambar berikut.
Tentukan besar dan arah resultan gaya-gaya tersebut!
Penyelesaian
Membuat sumbu tegak lurus (xy) dan
proyeksi-proyeksinya, sehingga dapat
diperoleh
∑ 𝐹𝑥 = 𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥 − 𝐹3
∑ 𝐹𝑥 = 40 cos60 + 25 sin 37 − 21
∑ 𝐹𝑥 = 40
1
2
+ 25(0,6) − 21
∑ 𝐹𝑥 = 14 𝑁
∑ 𝐹𝑦 = 𝐹1𝑦 − 𝐹2𝑦
∑ 𝐹𝑥 = 40 sin60 − 25 cos37
∑ 𝐹𝑥 = 40.
1
2
√3 + 25(0,8)
∑ 𝐹𝑦 = 14 𝑁
𝐹𝑅 = √∑ 𝐹𝑥
2 + ∑ 𝐹𝑦
2
tan 𝛼 =
Fx
Fy
60o
37o
F1 = 40 N
F2 = 25 N
F3 = 21 N
60o
37o
F1 = 40 N
F2 = 25 N
F3 = 21 N
y
x
F1x
F1y
F2y
F2x

12. 12
Jadi resultan gayanya memenuhi
𝐹𝑅 = √∑ 𝐹𝑥
2 + ∑ 𝐹𝑦
2
𝐹𝑅 = √142 + 142
𝐹𝑅 = √392
𝐹𝑅 = 14√2 N
Arah 𝐅 𝐑 terhadap sumbu-x memenuhi:
tan 𝜃 =
∑ 𝐹𝑥
∑ 𝐹𝑦
=
14
14
= 1
𝜃 = 45 𝑜
LATIHAN SOAL
Selesaikanlah soal-soal berikut ini dengan benar!
Soal untuk nomor 1 dan 2.
Terdapat 3 vektor sebagai berikut
1. Gambarkan resultan vektor berikut dengan metode jajar genjang
a. A + B
b. B - C
2. Gambarkan resultan vektor berikut dengan metode poligon
a. A + B + C
b. B – A - C
B
C
A
Buatlah kelompok yang terdiri dari 4-5 orang. Buatlah rancangan percobaan untuk
menentukan resultan vektor sebidang (misalnya perpindahan). Presentasikan hasilnya
di hadapan teman sekelas.
TUGAS
PROYEK

13. 13
3. Rina dan Reni sepakat akan berangkat sekolah bersama-sama, Sekolah mereka terletak
300 m di Utara rumah Reni. Rina berangkat dari rumahnya untuk menjemput Reni
terlebih dahulu, rumah Reni terletak 400 m di sebelah Barat rumah Rina. Tentukan besar
perpindahan yang dialami Rina!
4. Perhatikan gambar di samping!
Jika sin 𝛼 =
3
5
dan sin 𝛽 =
4
5
, maka tentukan
resultan keempat gaya pada gambar
tersebut!
5. Diberikan 3 buah vektor F1 = 10 N, F2 = 25
N, dan F3 = 15 N, seperti gambar berikut.
a. Uraikan komponen masing-masing vektor!
b. Tentukan besar dan arah resultannya!
F3
F1
F2
y
x

14. 14
DAFTAR PUSTAKA
Cahyani, Fieska dan Santoso, Yandri. 2013. FISIKA 1 untuk SMA Kelas X Peminatan
Matematika dan Ilmu Alam. Bogor: Quadra
Handayani, Sri dan Damari, Ari. 2009. FISIKA untuk SMA dan MA Kelas X. Jakarta: Pusat
Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional
Nurachmandani, Setya. 2009. FISIKA 1 untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta: Pusat Perbukuan,
Departemen Pendidikan Nasional
Sumarsono, Joko. 2009. FISIKA untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta: Pusat Perbukuan,
Departemen Pendidikan Nasional
Serway, Raymond dan Jewett, John W. 2009. Fisika untuk Sains dan Teknik. Jakarta:
Salemba
Sunardi, dkk. 2016. Fisika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika
dan Ilmu-ilmu Alam. Bandung: Yrama Widya
Kanginan, Marthen. 2013. FISIKA untuk SMA/MA Kelas X. Cimahi: Penerbit Erlangga