Dokumen tersebut membahas tentang kebebasan linear vektor. Secara singkat, kebebasan linear vektor adalah ketika suatu himpunan vektor hanya memiliki satu solusi kombinasi linier, sedangkan jika memiliki lebih dari satu solusi maka disebut tidak bebas secara linear. Jika jumlah vektor lebih besar dari dimensi ruang vektor, maka himpunan tersebut tidak bebas secara linear.

1. KEBEBASAN LINEAR VEKTOR
Tugas Kelompok
Diajukan Untuk Mememnuhi Salah Satu Tugas Terstruktur
Dalam Mata Kuliah Ilmu Pendidikan Islam
Disusun oleh
Sri Ermita Putri
Endang Lastri
Eka Sartika Dewi
Dosen pembimbing
Isnaniah, M.Pd
JURUSAN TARBIYAH PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI (STAIN)
SCJECH M. DJAMIL DJAMBEK BUKITTINGGI

2. BAB I
PENDAHULUAN
Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, memegang peranan penting dalam
mempercepat penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini disebabkan karena,
matematika merupakan sarana berfikir untuk menumbuh kembangkan cara berfikir logis,
sistematis, dan kritis.
Matematika banyak berhubungan dengan ide-ide abstrak yang diberi symbol-simbol
yang tersusun secara hierarkis dan penalarannya deduktif sehingga belajar matematika
merupakan kegiatan mental yang tinggi. Karena, kehierarkisan matematika itu, maka belajar
matematika yang terputus-putus akan menggangu terjadinya proses belajar. Ini berarti proses
belajar matematika akan terjadi dengan lancar bila belajar itu dilakukan secara kontinyu.
Kesulitan belajar atau memahami materi yang dialami para siswa, baik pada jenjang
perguruan tinggi. Dimana hl ini merupakan hal yang selalu menarik untuk ditelusuri, sikap
masa bodoh untuk tidak peduli pada terhadap kesulitan yang mereka alami sangat fatal
pengaruhnya dan akibatnya bisa menjadi anggapan bahwa matematika adalah momok bagi
mereka. Dan salah satu materi yang sering dihadapi tersebut adalah “Vektor”. Dan disini
penulis akan mencoba menjelaskan tentang vektor tersebut.
Suatu himpunan vektor S = (v , v , ..., vr) merentang suatu ruang vektor V tertentu jika
setiap vektor V dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektot pada S.
Secara umum, kemungkinan terdapat lebih dari satu cara dalam menentukan suatu vektor
pada V sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam suatu himpunan rentangan. Pada
makalah ini kami akan membahas syarat-syarat di mana setiap vektor pada V dapat
dinyatakan sebagai suatu kombinasi lionear dari vektor-vektor rentangan dengan tepat satu
cara. Himpunan-himpunan rentang dalam bentuk seperti ini memainkan peranan yang
penting dalam studi mengenai ruang vektor

3. BAB II
KEBEBASAN LINEAR VEKTOR
A. Defenisi Kebebasan Linear
Contoh 1 Himpunan Tidak Bebas Linear
Jika v - v = (1,2,5,-1), dan v = (7,-1.5,8), maka himpunan vekto-vektor
vektor S v v v tidak bebas linear karena k ≠k ≠k ≠
k v +k v +k v = k (2,-1,0,3) + k (1,2,5,-) + k3 (7,-
= (2k ,-k ,0,3k ) +( k ,2k ,5k ,-k ) + (7k ,-k ,5k ,8k
2k1+k2+7k3 = 0
-k1+2k2-k3 = 0
0k1 + 5k2 +5k3 = 0
3k1 –k2 + 8k3 =0
Dengan menggunakan operasi baris elementer didapat k k = 1 dan k - .
Jika adalah himpunan takkosong vektor-vektor, maka
persamaan vektor
k v + k v +.......+ krvr
Memiliki paling tidak satu solusi, yaitu :
k , k ....kr
Jika ini satu-satunya solusi, maka S disebut sebagai himpunan bebas linear
(linearly indenpendent). Jika terdapat solusi-solusi lain, maka S disebut
sebagai himpunan tidak bebas linear (linear dependent)

4. Sesuai dengan perngertian himpunan tidak bebas linear yaitu jika solusi dari persamaan
tersebut nontrovial, maka pernyatan di atas bukanlah himpunan bebas linear.
Contoh 2 Himpunan Bebas Linear
Perhatikan vektor-vektor i j = (0,1,0), dan k = (0,0,1) pada R . Persamaan
vektor dalam bentuk kompenen-kompenennya
k i +k j + k k =
menjadi
k k + k
ekivalen dengan
(k , k , k
Berarti k = 0, k = 0, dan k = 0, sehingga himpunan S = ( i, j, k) bebas linear.
B. Teorema Kebebasan Linear
Istilah tidak bebas linear bearti bahwa vektor-vektor bergantung satu sama lain dengan
suatu cara. Teorema berikut menunjukan bahwa ini adalah fakta sebenarnya.
Suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor adalah :
(a) Tidak bebas linear jika dan hanya jika paling tidak salah satu dari vektor pada S dapat
di nyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor – vektor lain pada S.
(b) Bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor pada S yang dapat di nyatakan
sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor lain pada S.
Contoh 3
Pada contoh 1, kita telah melihat bahwa vektor-vektor v - v = (1,2,5,-1), dan
v - . membentuk suatu himpunan tidak bebas linear.
3v1 + v2 + - v3 = 0

5. Diperoleh
v = -1/3v + 1/3 v
v2 = -3v + v
v = 3v + v
Contoh 4
Vektor-vektor i j = (0,1,0), dan k membentuk suatu himpunan yang
bebas linear. Tidak satupun dari vektor ini yang dapat dinyatakan sebagai suatu
kombinasi linear dari dua vektot lainnya.
k = k i + k j
k k
Sehingga k tidak dapat dinyakan sebagai kombinasi linear dari i dan j,demikian juga i
tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari j dan k dan j tidak dapat dinyatakan
sebagai suatu kombinasi linear dari i dan k, karena persamaan terakhir tidak terpenuhi
oleh nilai k dan k .
Fakta sederhana mengenai kebebasan linear yang penting :
a. Suatu himpunan terhingga vektor-vektor yang mengandung vektor nol adalah tidak
bebas linear.
Bukti : untuk vektor v ,v , ..,vr sebarang , himpunan S = v , v ...,vr, tidak bebas
linear karena persamaan
.v v .... vr .
Bukti di atas menyatakan nol sebagai suatu kombinasi lenear dari vektor-vektor pada
S dengan koefesien tidak semuanya nol.
b. Suatu himpunan dengan tepat dua vektor adalah bebas linear jika dan hanya jika tidak
satu pun dari vektornya merupakan kelipan skalar dari vektor lainnya.

6. C. Interpretasi Geometri dari Kekebasan Linear
Kebebasan linear sejumlah interpetasi geometrik yang berguna pada R dan R .
a. Pada R atau R , suatu himpunan yang terdiri dari dua vektor adalah bebas linier jika
dan hanya jika vektor-vektok tersebut tidak terletak pada garis yang sama ketika
ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal.
b. Pada R , suatu himpunan yang terdiri dari tiga vektor adalah bebas linear jika dan
hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada bidang yang sama ketika
ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal.
Suatu himpunan bebas linear pada Rn
dapat mengandung maksimum n vektor sesuai
dengan terorema berikut :
Bukti :
Misalkan v = (v , v .... v1n)
v = (v , v , ..v2n)
vr = (vr1, vr2, ..., vrn)
x
y
z
v
V
Misalkan S = v , v , ...., vr adalah suatu himpunan vektor-
vektor pada Rn
. Jika r>n maka S tidak bebas linear.

7. k v + k v + ....+krvr
k v + k v +...+ krvr2
k v1n +k v2n+....+krvrn
Karena r > n, maka sistem homogen memiliki solusi-solusi nontrivial, yang
merupakan himpunan tidak bebas linier.
Sistem homogen

8. BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Jika adalah himpunan takkosong vektor-vektor, maka
persamaan vektor
k v + k v +.......+ krvr
Memiliki paling tidak satu solusi, yaitu :
k , k ....kr
Jika ini satu-satunya solusi, maka S disebut sebagai himpunan bebas linear (linearly
indenpendent). Jika terdapat solusi-solusi lain, maka S disebut sebagai himpunan
tidak bebas linear (linear dependent).
2. Misalkan S = v , v , ...., vr adalah suatu himpunan vektor-vektor pada Rn
. Jika r>n
maka S tidak bebas linear.