3. 6.1 Penyaijan Data dalam Distribusi Frekuensi
23 10 26 18 1 24 12 2 9 28
2 28 12 12 16 18 8 23 6 21
17 1 7 17 3 11 6 14 15 15
Interval Frekuensi
0−9 10
10−19 13
20−29 7
Agar data tersebut dapat memberikan
informasi yang lebih banyak dan
mudah dibaca, maka sebaiknya
disusun secara berkelompok yang
disebut “distribusi frekuensi”.
Di dalam distribusi frekuensi,
data disusun secara berkelompok
ke dalam kelas-kelas interval
yang berbeda-beda.
4. Menyusun tabel distribusi frekuensi:
Tentukan data terkecil 𝑥1dan data terbesar 𝑥𝑛.
Jangkauan = 𝑥𝑛 − 𝑥1.
Menentukan banyaknya kelas interval K ditentukan berdasarakan “rumus Sturges”.
Dengan 𝑘 = banyaknya kelas dan n = banyak data.
Misalkan: banyaknya data n = 80
data terbesar = 𝑥𝑛 = 175
data terkecil = 𝑥1 = 141, maka:
• 𝑘 = 1 + 3,3 log 80 = 7,2802 ≃ 7
∴ banyaknya kelas 𝑘 = 7
• Lebar kelas
𝑐 =
𝑥𝑛 − 𝑥1
7
=
175 − 141
7
= 4,86 ≃ 5
Sehingga kemungkinan intrerval kelasnya adalah 141−145, 146−150, 151−155
𝑘 = 1 + 3,3 log 𝑛
5. 6.2 Ukuran Pemusatan Data
Rataan Hitung (Mean)
Rataan hitung data dari 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 didefinisikan dengan: 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏
𝒏
𝒙 =
𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊
𝒏
Keterangan:
𝑥 = rataan hitung (rataan)
𝑥𝑖 = data ke-i
𝑛 = banyak (ukuran) data
Data Tunggal
Contoh
Rataan hitung dari data 60, 75, 62, 87, 65, 83 adalah . . .
𝑥 =
60 + 75 + 62 + 87 + 65 + 83
6
=
432
6
= 72
Jadi, rataannya adalah 72.
6. 𝑥 =
𝑖=1
𝑟
𝑥𝑖𝑓𝑖
𝑖=1
𝑟
𝑓𝑖
Keterangan:
𝑥 = rataan
𝑥𝑖 = titik tengah interval kelas ke-i
𝑖=1
𝑟
𝑓𝑖 = 𝑛 = ukuran data
Interval Titik Tengah
(𝒙𝒊)
Frekuensi
(𝒇𝒊)
𝒇𝒊𝒙𝒊
21 – 25 23 2 46
26 – 30 28 8 224
31 – 35 33 9 297
36 – 40 38 6 228
41 – 45 43 3 129
46 – 50 48 2 96
30 1.020
Jadi rataan data di samping adalah
𝑥 =
𝑖=1
6
𝑥𝑖𝑓𝑖
𝑖=1
6
𝑓𝑖
=
1.020
30
= 34
Rataan data berkelompok
7. Modus
Modus dari suatu data adalah nilai (ukuran) yang paling banyak muncul atau
mempunyai frekuensi tertinggi.
Modus Data Tunggal
Modus dari data 2, 3, 4, 2, 4, 5, 4, 2, 2 adalah 2.
Karena angka 2 paling banyak muncul sebanyak 4 kali.
Modus dari data 7, 3, 8, 5, 7, 7, 5, 1, 5 adalah 5 dan 7.
Karena 5 dan 7 mempunyai frekunsi tertinggi, yaitu 3.
Modus Data
Berkelompok
𝑀𝑜𝑑𝑢𝑠 = 𝐿 + 𝑐 ⋅
𝑑1
𝑑1 + 𝑑2
Keterangan:
L = tepi bawah kelas modus
𝑑1 = selisih frekuensi kelas modus
dengan kelas sebelumnya
𝑑1 = selisih frekuensi kelas modus
dengan frekuensi kelas sesudahnya
c = panjang kelas
8. Contoh
Interval 21 –25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50
Frekuensi 2 8 9 6 3 2
Dari tabel tersebut diperoleh: L = 30,5
𝑑1 = 9 − 8 = 1
𝑑2 = 9 − 6 = 3
𝑐 = 5
Modus = 𝐿 + 𝑐 ⋅
𝑑1
𝑑1 + 𝑑2
= 30,5 + 5 ⋅
1
1 + 3
= 30,5 + 1,25 = 31,75
Jadi, modus dari data pada tabel tersebut adalah 31,75.
9. 6.3 Ukuran Letak Data
Median
Jangkauan antarkuartil= 𝑄3 − 𝑄1
𝑥1(Data terkecil) Kuartil bawah Kuartil atas 𝑥𝑛 (Data terbesar)
Jangkauan = 𝑥𝑛 − 𝑥1
Diketahui data 8, 2, 7, 15, 8, 12, 17, 20, 5
2 5 7 8 8 12 15 17 20
Data terkecil 𝑄1 𝑄2 𝑄3 Data terbesar
𝑄1 = data ke−
1
4
𝑛 + 1
= data ke−2
1
2
= 5 +
1
2
7 − 5 = 6
𝑄2 = Median
= data ke −
1
2
𝑛 + 1
= data ke−5 = 8
𝑄3 = data ke−
3
4
𝑛 + 1
= data ke−7
1
2
= 15 +
1
2
17 − 15 = 16
Kuartil Data Tunggal
10. Kuartil Data Berkelompok
𝑄2 = 𝐿2 + 𝑐
1
2
𝑛 − 𝐹2
𝑓2
𝑄1 = 𝐿1 + 𝑐
1
4
𝑛 − 𝐹1
𝑓1
𝑄3 = 𝐿3 + 𝑐
3
4
𝑛 − 𝐹3
𝑓3
dengan:
𝐿1 = tepi bawah kelas kuartil bawah 𝑄1
𝑛 = ukuran data (jumlah frekuensi)
𝑓1 = frekuensi pada interval kelas kuartil bawah 𝑄1
𝐹1 = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil bawah 𝑄1
𝑐 = panjang kelas
𝐿2 = tepi bawah kelas kuartil bawah 𝑄2
𝑛 = ukuran data (jumlah frekuensi)
𝑓2 = frekuensi pada interval kelas kuartil bawah 𝑄2
𝐹2 = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil bawah 𝑄2
𝑐 = panjang kelas
𝐿3 = tepi bawah kelas kuartil bawah 𝑄3
𝑛 = ukuran data (jumlah frekuensi)
𝑓3 = frekuensi pada interval kelas kuartil bawah 𝑄3
𝐹3 = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil bawah 𝑄3
𝑐 = panjang kelas
11. Contoh
Hitunglah semua kuartil pada distribusi frekuensi pada tabel berikut.
Jawab:
Interval Frekuensi Frekuensi
kumulatif
21 – 25 3 3
26 – 30 9 12
31 – 35 4 16
36 – 40 10 26
41 – 45 3 29
46 – 50 11 40
a. Interval kelas kuartil bawah 𝑄1 terletak pada 26 – 30
𝑛 = 40; 𝐿1 = 25,5; 𝑓1 = 9; 𝐹1 = 3; dan 𝑐 = 5
𝑄1 = 25,5 + 5
1
4
∙ 40 − 3
9
= 25,5 +
35
9
= 29,39
b. Interval kelas kuartil tengah 𝑄2 terletak pada 36 – 40
𝑛 = 40; 𝐿2 = 35,5; 𝑓2 = 10; 𝐹2 = 16; dan 𝑐 = 5
𝑄2 = 35,5 + 5
1
2
∙ 40 − 16
10
= 35,5 +
20
10
= 37,5
c. Interval kelas kuartil atas 𝑄3 terletak pada
46 – 50
𝑛 = 40; 𝐿3 = 45,5; 𝑓3 = 11;
𝐹3 = 29; dan 𝑐 = 5
𝑄3 = 45,5 + 5
3
4
∙ 40 − 29
11
= 45,5 +
5
11
= 45,95
12. Desil Selain kuartil data yang telah diurutkan juga dapat dicari nilai desilnya, jika
ukuran data lebih dari 10. Desil membagi kumpulan data menjadi 10 bagian
yang sama.
Desil untuk data tunggal
Letak 𝐷𝑖 = Data ke-
𝑖(𝑛+1)
10
atau
𝑋𝑖(𝑛+1)
10
Desil untuk data berkelompok
Desil (𝐷𝑖) = 𝐿𝑖 + 𝑐
𝑖
10
𝑛−𝐹𝑖
𝑓𝑖
Contoh Interval Frekuensi Frekuensi kumulatif
21 – 25 3 3
26 – 30 9 12
31 – 35 4 16
36 – 40 10 26
41 – 45 3 29
46 – 50 11 40
Akan dicari desil kelima 𝐷5 dari data pada tabel di samping.
Interval desil ke-5 𝐷5 terletak pada 36 – 40.
𝑛 = 40; 𝐿5 = 35,5; 𝑓5 = 10; 𝐹5 = 16; dan 𝑐 = 5
𝐷5 = 35,5 + 5
5
10
∙ 40 − 16)
10
= 37,5
13. Persentil
Persentil adalah suatu nilai yang membagi data menjadi seratus bagian yang
sama. Persentil terdiri dari persentil pertama, persentil ke-2, …, persentil ke-99.
Persentil untuk data tunggal
Letak 𝑃𝑖 = Data ke-
𝑖(𝑛+1)
100
atau
𝑋𝑖(𝑛+1)
100
Persentil untuk data berkelompok
Persentil 𝑃𝑖 = 𝐿𝑖 + 𝑐
𝑖
100
𝑛−𝐹𝑖
𝑓𝑖
Contoh
Persentil ke-30 𝑃30 dari data di samping adalah
30
100
∙ 50 = 15; Kelas 𝑃30 adalah 50 – 59, maka
𝐿30 = 49,5; 𝐹30 = 5; 𝑓30 = 14; 𝑐 = 10, maka
𝑃30 = 𝐿30 + 𝑐
30
100
𝑛−𝐹30
𝑓30
= 49,5 + 10
15−5
14
= 56,64
Interval Frekuensi Frekuensi
kumulatif
40 – 49 5 5
50 – 59 14 19
60 – 69 16 35
70 – 79 12 47
80 – 89 3 50
total 50 -
14. 6.4 Ukuran Penyebaran Data
Jika 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛 adalah suatu kumpulan data dan 𝑥1= data terkecil, 𝑥𝑛= data
terbesar, 𝑄1= kuartil bawah, 𝑄2 = 𝑥 = median, 𝑄3= kuartil atas, maka 𝑥1, 𝑥𝑛, 𝑄1, 𝑄2, 𝑄3
disebut statistik lima serangkai.
Jangkauan
Jangkauan (J) adalah selisih dari statistik maksimum dan
statistik minimum.
𝐽 = 𝑥𝑛 − 𝑥1
Jangkauan antarkuartil
Jangkauan antarkuartil atau hamparan adalah selisih
antara kuartil atas dengan kuartil bawah. 𝐻 = 𝑄3 − 𝑄1
15. Simpangan kuartil
𝑄𝑑 =
1
2
(𝑄3 − 𝑄1)
Simpangan kuartil 𝑄𝑑 adalah setengah dari selisih
antarkuartil atas dan kuartil bawah.
Simpangan rata-rata
Simpangan rata-rata dari data 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛
didefinisikan sebagai:
𝑆𝑟 =
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖
𝑆𝑟 =
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥
𝑛
Dengan: 𝑥𝑖= data ke-i
n = ukuran data
𝑥 = rataan (mean)
Simpangan rata-rata apabila
data berkelompok
Dengan:
𝑥𝑖= nilai tengah ke-i
𝑓𝑖 = frekuensi kelas ke-i
𝑥 = rataan (mean)
16. Ragam (variansi)
Jika diketahui data 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 maka ragam 𝜎2
didefinisikan sebagai:
𝜎2
=
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑛
dengan: 𝑥𝑖= data ke-i
n = ukuran data
𝑥 = rataan (mean)
𝜎2
=
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖
Untuk data berkelompok
Dengan: 𝑥𝑖= nilai tengah
kelas ke-i
𝑓𝑖 = frekuensi kelas ke-i
𝑥 = rataan (mean)
𝑓𝑖= jumlah frekuensi
Untuk data tunggal
𝜎2
=
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛
−
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛
2
atau
17. Contoh
Ragam dari data 4, 5, 6, 7, 8, 6 adalah
𝑥 =
4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 6
6
=
36
6
= 6
Ragam =
(4−6)2+(5−6)2+(6−6)2+(7−6)2+(8−6)2+(6−6)2
6
=
4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 0
6
= 1,67
Simpangan Baku (Standar Deviasi)
Jika diketahui data 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 maka simpangan baku (𝜎) didefinisikan sebagai:
𝜎 = 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑛
Simpangan baku
σ =
(4−6)2+(5−6)2+(6−6)2+(7−6)2+(8−6)2+(6−6)2
6
=
4+1+0+1+4+0
6
= 1,29
𝜎 = 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛
− 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛
2
atau
18. 6.4 Diagram Pencar
Diagram pencar atau scatter plot adalah diagram yang menunjukkan
hubungan antara dua kelompok data yang digambarkan dalam bentuk
titik-titik (points) pada bidang koordinat Cartesius.
Jika titik-titik pada diagram pencar membentuk pola yang menyerupai
garis lurus dengan kemiringan positif (miring ke atas dari kiri ke kanan),
maka terdapat hubungan positif atau korelasi positif antara dua
kelompok data.
Korelasi positif
19. Jika titik-titik pada diagram pencar membentuk pola
yang menyerupai garis lurus dengan kemiringan
negatif (miring ke bawah dari kiri ke kanan), maka
terdapat hubungan negatif atau korelasi negatif
antara dua kelompok data.
Korelasi negatif
Jika titik-titik pada diagram tampak menyebar secara acak,
maka hubungan antaradua kelompok data semakin rendah
atau tidak ada korelasi.
Tidak ada
Korelasi
20. Contoh
Gambar diagram pencar dari himpunan
1, 2 , 2, 3 , 3, 5 , 4, 7 , 5, 7 , 6, 9 , 7, 8 , 8, 10 , 9, 13 , (10, 15)
0
5
10
15
20
0 2 4 6 8 10 12
Berdasarkan sebaram titik-titik, titik-titik tersebut membentuk pola
menyerupai garis lurus dengan kemiringan positif. Jadi, terdapat
hubungan positif antara x dan y.
Editor's Notes
Teks warna “MTK” diubah sesuai cover dan tingkat kelas
