4. ukuran pemusatan data dan ukuran penyebaran data

1. OLEH:
Dwi Ranti Dhea Karima (06081281419064)
Ria Depti Nurharinda (06081181419066)
Merisa Januarti (06081181419068)
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
Ukuran Pemusatan Data dan
Ukuran Penyebaran Data

2. Ukuran Pemusatan Data
Ukuran Pemusatan Data adalah nilai
tunggal dari data yang dapat memberikan
gambaran yang lebih jelas dan singkat
tentang pusat data yang juga mewakili
seluruh data.

3. Ukuran Pemusatan Data
MEAN MODUS
MEDIAN

4. MEAN
Mean (Nilai rata-rata) merupakan nilai yang
dianggap paling mendekati nilai yang paling tepat
dari hasil pengkurn. Nilai ini berfngsi sebagai
“wakil” dari nilai-nilai hasil pengukuran sekelompok
data.
Mean Data Tunggal
𝑥 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛
Keterangan:
𝑥 = rata-rata ( baca x bar)
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 = jumlah seluruh data
𝑛 = banyaknya data

5. Contoh 1
Hitunglah rataan dari 6,5,9,7,8,8,7,6 !
Jawab:
𝑥 =
5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9
8
𝑥 =
56
8
= 7
Contoh 2
Jumlah buku yang diproduksi oleh sebuah mesin cetak selama tujuh hari adalah
sebagai berikut 25.000, 20.000, 24.000, 15.000, 30.000, 35.000, dan 40.000.
berapa ribu rata-rata produksi perhari?
Jawab:
𝑥 =
15.000 + 20.000 + 24.000 + 25.000 + 30.000 + 35.000 + 40.000
7
𝑥 =
189.000
7
𝑥 = 27.000
Jadi rata-rata produksi 27.000 per hari.

6. Mean Data Berkelompok
𝑥 =
𝑓𝑖 𝑥𝑖
𝑓𝑖
Keterangan:
𝑥𝑖= Nilai tengah kelas interval
𝑓𝑖= frekuensi
Contoh 3
Nilai Matematika 50 Siswa Kelas X SMAN 1 Indralaya
Berdasarkan table di atas , tentukan rata-ratanya!
Nilai Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah 50

7. Jawab:
Untuk mencari rata-rata hitung, kita gunakan nilai tengah (𝑥𝑖)
𝑥 =
𝑓𝑖 𝑥𝑖
𝑓𝑖
=
3800
50
= 76
Nilai 𝑥𝑖 𝑓𝑖
𝑓𝑖 𝑥𝑖
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
55
62
69
76
83
90
97
2
6
7
20
8
4
3
110
372
483
1520
664
360
291
Jumlah 50 3800

8. Rata-rata sementara
𝑥 = 𝑥0 +
𝑝
𝑛
𝑓𝑖. 𝑐𝑖
Keterangan:
𝑥0 = rata-rata sementara
𝑝 = panjang kelas
𝑛= banyaknya kelas
Contoh 4
Dengan menggunakan rata-rata sementara, contoh 3 dapat diselesaikan sebagai
berikut:
Nilai 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑐𝑖
𝑓𝑖 𝑥𝑖
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
55
62
69
76
83
90
97
2
6
7
20
8
4
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
110
372
483
1520
664
360
291
Jumlah 50 3800
Jawab:
𝑥 = 𝑥0 +
𝑝
𝑛
𝑓𝑖. 𝑐𝑖
𝑥 = 76 +
7
50
(0)
𝑥 = 76

9. Rata-rata geometris
Data tunggal 𝐺 = 𝑛
𝑋1. 𝑋2. 𝑋3 … 𝑋 𝑛
Atau
log 𝐺 =
1
𝑛
(log 𝑋1 + log 𝑋2 + log 𝑋3 + ⋯ + log 𝑋 𝑛)
Contoh 5
Tentukan rata-rata geometris dari 4, 9, 6!
Jawab:
𝐺 =
3
4 . 9. 6
𝐺 =
3
216
𝐺 = 6
Rata-rata kelompok
log 𝐺 =
(𝑓𝑖 log 𝑥𝑖)
𝑓𝑖

10. Contoh 6
Nilai Matematika 50 Siswa Kelas X SMAN 1 Indralaya
Nilai Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah 50
Berdasarkan table di samping , tentukan
rata-rata geometrisnya!
Jawab:
log 𝐺 =
(𝑓𝑖 log 𝑥𝑖)
𝑓𝑖
log 𝐺 =
93,8515
50
log 𝐺 = 1,8770
𝐺 = 75,4
Nilai 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖
𝑓𝑖 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
55
62
69
76
83
90
97
2
6
7
20
8
4
3
1,7403
1,7924
1,8388
1,8808
1,9190
1,9542
1,9868
3,4806
10,7544
12,8716
37,6160
15,3520
7,8168
5,9601
Jumlah 50 93,8515

11. Rata-rata harmonis
Data tuggal
𝐻 =
𝑛
1
𝑥1
+
1
𝑥2
+
1
𝑥3
+ ⋯ +
1
𝑥 𝑛
Contoh 6
Nilai ulangan matematika tiga siswa adalah 90,80,70. Tentkan nilai rata-rata
harmonisnya!
Jawab:
𝐻 =
3
1
90
+
1
80
+
1
70
𝐻 =
3
0,0379
𝐻 = 79,16
Data kelompok
𝐻 =
𝑛
𝑓𝑖
𝑥𝑖

12. Contoh 7
Nilai Matematika 50 Siswa Kelas X SMAN 1 Indralaya
Nilai Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah 50
Berdasarkan table di samping , tentukan
rata-rata harmonisnya!
Jawab:
𝐻 =
𝑛
𝑓𝑖
𝑥𝑖
𝐻 =
50
0,6694
𝐻 = 74,69
Nilai 𝑥𝑖 𝑓𝑖
𝑓𝑖
𝑥 𝑖
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
55
62
69
76
83
90
97
2
6
7
20
8
4
3
0,1361
0,0968
0,1014
0,2631
0,0964
0,0444
0,0309
Jumlah 50 0,6694

13. MEDIAN
Median adalah nilai data yang terletak di tengah setelah
data itu disusun menurut urutan nilainya sehingga membagi
dua sama besar.
Median Data Tunggal
• Data tunggal yang memiliki data
ganjil setelah diurutkan
𝑀𝑒 =
𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑑𝑎𝑡𝑎 + 1
2
• Data tunggal yang memiliki data
genap setelah diurutkan
𝑀𝑒 =
𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑑𝑎𝑡𝑎
2
Median Data Berkelompok
𝑀𝑒 = 𝑇𝑏 + 𝑃 {
1
2
𝑛 − 𝑓𝑘𝑢𝑚
𝑓
}

14. Contoh 8
Diketahui data sebagai berikut: 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, 50. Tentukan median
dari data di atas!
Jawab:
Data setelah diurutkan : 35, 40, 45, 50, 65, 70, 70, 80, 90
Jumlah data ganjil maka mediannya adalah data yang terletak di tengah-tengah.
Jadi, 𝑀𝑒 = 65.
Contoh 9
Nilai Matematika 50 Siswa Kelas X SMAN 1 Indralaya
Nilai Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah 50
Berdasarkan table di samping , tentukan
mediannya!
Jawab:
𝑀𝑒 = 𝑇𝑏 + 𝑃 {
1
2 𝑛 − 𝑓𝑘𝑢𝑚
𝑓
}
𝑀𝑒 = 72,5 + 7 {
25 − 13
20
}
𝑀𝑒 = 72,5 + 4,2
𝑀𝑒 = 76,7

15. MODUS
Modus adalah suatu gejala yang mempunyai frekuensi
tertinggi atau yang sering terjadi.
Contoh 10
Diketahui data sebagai berikut: 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70,
80, 50. Tentukan modus dari data di atas!
Jawab:
Modusnya adalah 70.
Modus Data Tunggal
langsung melihat data yang sering
muncul.
Modus Data Berkelompok
𝑀 𝑜 = 𝑇𝑏 + 𝑃
𝑏1
𝑏2 + 𝑏1

16. Contoh 11
Tentukan modus dari data berikut!
Jawab:
Frekuensi terbanyak pada kelas interval 73 – 79, berarti modusnya terletak pada kelas
73 – 79.
𝑀 𝑜 = 𝑇𝑏 + 𝑃
𝑏1
𝑏2 + 𝑏1
𝑀 𝑜 = 72,5 + 7
13
13 + 12
𝑀 𝑜 = 72,5 + 3,64
𝑀 𝑜 = 76,14
Nilai Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah 50

17. UKURAN LETAK DATA DAN DISPERSI
Ukuran Penyebaran (variabilitas adalah
suatu ukuran yang menyatakan seberapa
besar nilai-nilai data berbeda atau
bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya
atau seberapa besar penyimpangan nilai-
nilai data dengan nilai pusatnya.

18. UKURAN LETAK DATA DAN DISPERSI
Ukuran Letak
KUARTIL PERSENTIL
DESIL

19. KUARTIL
Kuartil merupakan ukuran letak yang membagi suatu
kelompok data menjadi empat bagian yang sama besar.
25% 25% 25% 25%
𝑄1 𝑄2 𝑄3
Kuartil Data Tunggal
𝑄1 =
𝑛 + 1
4
𝑄2 =
2(𝑛 + 1)
4
𝑄3 =
3(𝑛 + 1)
4
Kuartil Data Berkelompok
𝑄1 = 𝑇𝑏 + 𝑃
1
4
𝑛 − 𝑓𝑘𝑢𝑚
𝑓
𝑄2 = 𝑇𝑏 + 𝑃
2
4
𝑛 − 𝑓𝑘𝑢𝑚
𝑓
𝑄3 = 𝑇𝑏 + 𝑃
3
4
𝑛 − 𝑓𝑘𝑢𝑚
𝑓

20. Contoh 12
Diketahui data sebagai berikut: 2, 4, 3, 3, 6, 5, 9. Tentukan 𝑄1, 𝑄2, dan 𝑄3!
Jawab:
𝑄1 =
𝑛 + 1
4
=
7 + 1
4
= 2
𝑄2 =
2(𝑛 + 1)
4
=
2(7 + 1)
4
= 4
𝑄3 =
3(𝑛 + 1)
4
=
3(7 + 1)
4
= 6
Contoh 13
Tentukan 𝑄1, 𝑄2, dan 𝑄3 dari table berikut!
Nilai Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah 50

21. Jawab:
𝑄1 = 𝑇𝑏 + 𝑃
1
4
𝑛 − 𝑓𝑘𝑢𝑚
𝑓
= 65,5 + 7
1
4
(50) − 8
7
= 65,5 + 5,5
= 71
𝑄2 = 𝑇𝑏 + 𝑃
2
4
𝑛 − 𝑓𝑘𝑢𝑚
𝑓
= 72,5 + 7
2
4
(50) − 15
20
= 72,5 + 3,5
= 76
𝑄3 = 𝑇𝑏 + 𝑃
3
4
𝑛 − 𝑓𝑘𝑢𝑚
𝑓
= 79,5 + 7
3
4
(50) − 45
8
= 79,5 + 2,2
= 81,7

22. DESIL
Desil adalah nilai-nilai yang membagi sekumpulan data
terurut menjadi sepuluh bagian yang sama. Terdapat sembilan
jenis desil, yaitu desil pertama (D1), desil kedua (D2),…,
desil kesembilan (D9). Desil ke-5 (D5) sama dengan median..
Desil Data Tunggal
Di = nilai ke
𝑖(𝑛+1)
10
, i = 1,2,…, 9
Desil Data Berkelompok
𝐷𝑖 = 𝐵𝑖 +
𝑖𝑛
10
− 𝑓𝑖 𝑜
𝑓𝐷𝑖
. 𝐶
Keterangan:
𝐵𝑖 = batas bawah kelas interval
yang mengandung 𝐷𝑖
𝑝 = panjang kelas interval
𝑛 = banyak data
𝑓 = frekuensi kumulatif sebelum 𝐷𝑖
𝑓𝐷𝑖= frekuensi kelas interval yang
mengandung 𝐷𝑖

23. Contoh 14
Tentukan D6 dari data tersebar di bawah ini:
9,9,10,13,14,17,19,19,21,22,23,25,27,29,33,35,39,43,47.
Jawab:
n = 20, letak D6 =
6
10
20 + 1 = 12,6
Nilai D6 = nilai data ke 12 + 0,6 (nilai data ke 13 – nilai data ke 12 = 25 + 0,6 (27 – 25)
= 26,2
Contoh 15
Tentukan nilai 𝐷2 dari table berikut!
Nilai Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah 50
Jawab:
𝐷𝑖 = 𝐵𝑖 + 𝑝
𝑖
10
𝑛 − 𝑓
𝑓𝐷𝑖
= 65,5 + 7
2
10
(50) − 8
7
= 65,5 + 0,28
= 65,78

24. PERSENTIL
Persentil adalah nilai yang membagi data menjadi
seratus bagian yang sama besar setelah data yang
disusun dari yang terkecil hingga ke terbesar.
Pensentil Data Tunggal
𝑃𝑖 =
𝑖
100
(𝑛 + 1)
Persentiil Data Berkelompok
𝑃𝑖 = 𝑇𝑏 + 𝑃
𝑟𝑖 − 𝐹
𝑓
Keterangan:
𝑇𝑏 = batas bawah kelas interval
yang mengandung 𝑃
𝑝 = panjang kelas interval
𝐹 = jumlah frekuensi sebelum 𝑃𝑖
𝑓 = frekuensi kelas 𝑃𝑖

25. Contoh 16
Diketahui data 6, 7, 9, 4, 3, 4, 7, 8, 5, 7
Tentukan 𝑃20 dan 𝑃80 !
Jawab:
Setelah diurutkan data menjadi 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9
Contoh 17
Tentukan nilai 𝑃10 dan 𝑃90 dari table berikut!
Nilai Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah 50
Letak 𝑃80 =
80
100
10 + 1 = 8,8
𝑃20 = 7 + 0,2 8 − 7 = 7,8
Letak 𝑃20 =
20
100
10 + 1 = 2,2
𝑃20 = 4 + 0,2 4 − 4 = 4
Jawab:
𝑃10 = 58,5 + 7
10
100
(50) − 2
6
= 58,5 + 7
3
6
= 58,5 + 3,5
= 6,2
𝑃90 = 86,5 + 7
90
100
(50) − 43
4
= 86,5 + 7
2
4
= 86,5 + 3,5
= 90

26. Ukuran Dispersi
RANGE
SIMPANGAN
STANDAR
SIMPANGAN
RATA-RATAKUARTIL

27. RANGE
Range atau jangkauan adalah merupakan pengukuran yang
paling sederhana, dan didefinisikan sebagai jarak antara nilai
yang tertinggi dengan nilai yang terendah. Dengan kata lain
bahwa range merupakan beda antara skor data terbesar dan
skor data terkecil, dan dirumuskan sebagai berikut.
Dengan Kuartil
Selisih kuartil satu (𝑄1), dan kuartil tiga (𝑄3) disebut RAK
(rentang antar kuartil).
R = XT – Xt
Keterangan:
R = range
XT = Skor terbesar
Xt = Skor terkecil
RAK = 𝑄3 − 𝑄1
KUARTIL

28. SIMPANGAN RATA-RATA
Kuartil Data Tunggal
𝑆𝑅 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥
𝑛
Keterangan:
SR = simpangan rata-rata
𝑥 = nilai-rata
𝑥𝑖 = data ke-i
Kuartil Data Kelompok
𝑆𝑅 =
𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥
𝑓𝑖
Keterangan:
SR = simpangan rata-rata
𝑥 = nilai-rata
𝑓𝑖 = frekuensi data ke-i
Contoh 18
Hitunglah simpangan rata-rata data berikut!
4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9

29. Jawab:
𝑥 =
70
10
= 7
𝑆𝑅 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥
𝑛
=
4 − 7 + 45 − 7 + 6 − 7 + 7 − 7 + 7 − 7 + 7 − 7 + 8 − 7 + 8 − 7 + 9 − 7 + 9 − 7
10
=
3 + 2 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 2 + 2
10
=
12
10
= 1,2
Contoh 19
Tentukan nilai simpangan rata-rata dari table berikut!
Nilai Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah 50

30. Jawab:
𝑆𝑅 =
𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥
𝑓𝑖
=
350
50
= 7
Jadi simpangan rata-rata adalah 7.
Nilai f
𝑥𝑖 𝑥𝑖
− 𝑥
𝑓𝑖 𝑥𝑖
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
2
6
7
20
8
4
3
55
62
69
76
83
90
97
21
14
7
0
7
14
21
42
84
49
0
56
56
63
Jumlah 50 350

31. SIMPANGAN STANDAR
Kuartil Data Tunggal
𝑆2
=
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑛
𝑆 = 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑛
Keterangan:
𝑆2 = simpangan baku
𝑆 = simpangan standar
𝑥 = nilai-rata
𝑥𝑖 = data ke-i
Kuartil Data Kelompok
𝑆2
=
𝑓𝑖 𝑥𝑖
2
−
𝑓𝑖 𝑥𝑖
𝑓𝑖
2
𝑛
𝑆 =
𝑓𝑖 𝑥𝑖
2 −
𝑓𝑖 𝑥𝑖
𝑓𝑖
2
𝑛
Keterangan:
𝑆2
= simpangan baku
𝑆 = simpangan standar
𝑥 = nilai-rata
𝑓𝑖 = frekuensi data ke-i

32. Contoh 20
Hasil ulangan matematika seorang siswa selama 7 kali adalah sbb:
3, 5, 5, 6, 7, 8, 8. Hitunglah simpangan standarnya!
Jawab:
𝑥 =
42
7
= 6
𝑥𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑥𝑖 − 𝑥 2
3
5
5
6
7
8
8
-3
-1
-1
0
1
2
2
9
1
1
0
1
4
4
𝑥𝑖 − 𝑥 2
= 20
𝑆2
=
𝑖=1
𝑛
𝑥1 − 𝑥 2
𝑛
𝑆2 =
20
7
Simpangan standar
𝑆 = 𝑆2 = 2,82 = 1,69

33. Terima Kasih