Di dalam pengolahan citra, sebuah citra sering dilakukan proses penapisan (image filtering) untuk memperoleh citra sesuai dengan tujuan yang diinginkan.

1. 1
Modul Pengolahan Citra Sesi Ke-6
Nama : Hendro Gunawan
NIM : 200401072103
Kelas : IT-801
6. Konvolusi
• Di dalam pengolahan citra, sebuah citra sering dilakukan proses penapisan (image filtering) untuk
memperoleh citra sesuai dengan tujuan yang diinginkan.
Gambar 6.1. Image filtering
• Penampilan citra berarti memodifikasi pixel-pixel di dalam citra berdasarkan transformasi terhadap
nilai-nilai pixel tentangnya.
Gambar 6.2. Transformasi pixel
• Penapisan citra termasuk ke dalam tipe operasi aras lokal.
f(x,y) g(x,y)
filtering
filtering
5 1
4
1 7
1
5 3
10
Local image data
7
Modified image data
transformasi
x,y
( ) x,y )
(
Input image f(x,y) Output image g(x,y)
( -1)
x-1,y
+1)
x+1,y
(

2. 2
Gambar 6.3. Area or Mask Processing Methods.
• Sebuah operator khusus untuk penapisan citra adalah konvolusi (convolution) atau linear filtering.
6.1. Teori Konvolusi
• Konvolusi 2 buah fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai berikut:
𝒉(𝒙) = 𝒇(𝒙) ∗ 𝒈(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒂)𝒈(𝒙 − 𝒂)𝒅𝒂
∞
−∞
• Tanda * menyatakan operator konvolusi, dan peubah a adalah peubah bantu (dummy variable).
• g(x) disebut kernel atau mask konvolusi.
• Kernel g(x) dapat dibayangkan sebagai sebuah jendela yang dioperasikan secara bergeser pada
sinyal masukan f(x).
• Jumlah perkalian kedua fungsi pada setiap titik merupakan hasil konvolusi yang dinyatakan dengan
sinyal luaran h(x).
Contoh:
Misalkan fungsi f(x) dan g(x) diperlihatkan pada gambar berikut.
Gambar 6.4. Contoh fungsi f(x) dan g(x).
Rumus konvolusi:
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑎)𝑔(𝑥 − 𝑎)𝑑𝑎
∞
−∞

3. 3
Step 1: Tentukan g(- a) Step 2: Tentukan g(x - a)
Gambar 6.5. Step 1 dan Step 2
Gambar 6.6. Step 3
.
.

4. 4
Gambar 6.7. Case 3 dan Case 4
Gambar 6.8. Fungsi f(x) * g(x)
Hasil akhir:
Gambar 6.9. Hasil akhir
6.2. Konvolusi dengan Fungsi Impuls
• Fungsi impuls disebut juga fungsi delta dirac.
• Fungsi delta dirac bernilai 0 untuk x ≠ 0, dan ‘lebar’ denyutnya sama dengan 1.
• Secara matematis fungsi delta dirac didefinisikan sebagai:
𝛿(𝑥) = 0, 𝑥 ≠ 0
𝑙𝑖𝑚 ∫ 𝛿(𝑥)𝑑𝑥 = 1
𝜀
−𝜀

5. 5
Gambar 6.10. Fungsi impuls (delta dirac)
• Sifat-sifat fungsi delta dirac:
1. ∫ 𝑓(𝑥′)𝛿
∞
−∞
(𝑥 − 𝑥′)𝑑𝑥′
= 𝑓(𝑥)
2. 𝛿 (
𝑎
𝑥
) =
𝛿(𝑥)
|𝑎|
• Bila kita bekerja dengan fungsi diskrit, maka fungsi delta yang digunakan adalah fungsi delta
Kronecker, yang didefinisikan sebagai
𝛿(𝑛) = {
0, 𝑛 ≠ 0
1, 𝑛 = 0
• Dengan sifat:
∑ 𝑓(𝑚)𝛿(𝑛 − 𝑚) = 𝑓(𝑛)
∞
𝑚=−∞
• Hasil konvolusi f(x) dengan delta dirac 𝛿(x)
𝑓(x) ∗ 𝛿(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑎)𝛿
∞
−∞
(𝑥 − 𝑎)𝑑𝑎 = 𝑓(𝑥)
(since 𝛿(𝑥 − 𝑎) = 1 𝑖𝑓 𝑎 = 𝑥)
Gambar 6.11. Hasil konvolusi f(x) dengan delta dirac 𝛿(x)
• Kegunaan fungsi impuls: penerokan (sampling) sinyal kontinyu menjadi sinyal diskrit.

6. 6
Gambar 6.12. Kegunaan fungsi impuls: penerokan (sampling) sinyal kontinyu menjadi sinyal diskrit
• Proses penerokan dinyatakan sebagai perkalian sinyal kontinyu f(t) dengan fungsi penerok berupa
rentetan sinyal delta sejarak T satu sama lain.
Gambar 6.13. Proses penerokan dinyatakan sebagai perkalian sinyal kontinyu f(t) dengan fungsi
penerok berupa rentetan sinyal delta sejarak T satu sama lain.
• Fungsi penerok itu dapat dinyatakan sebagai
𝑠(𝑡) = ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)
∞
−∞
Dengan demikian,
𝑓𝑎(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑠(𝑡) = 𝑓(𝑡) ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇) =
∞
−∞
∑ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)
∞
−∞

7. 7
Gambar 6.13. Fungsi penerok itu dapat dinyatakan sebagai
𝑠(𝑡) = ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)
∞
−∞
6.3. Konvolusi Pada Fungsi Diskrit
• Konvolusi pada fungsi kontinyu f(x) dan g(x):
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑎)𝑔(𝑥 − 𝑎)
∞
−∞
𝑑𝑎
• Konvolusi pada fungsi diskrit:
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑎)𝑔(𝑥 − 𝑎)
∞
−∞
• Konvolusi bersifat komutatif:
f(x) * g(x) = g(x) * f(x)
6.4. Sifat-sifat Konvolusi
• Commutative:
f * g = g * f
• Associative:
(f * g) * h=f * (g * h)

8. 8
• Homogeneous:
f * (𝝀𝒈) = 𝝀𝒇 ∗ 𝒈
• Additive (Distributive):
f * (g + h) = f * g + f * h
• Sift-Invariant:
f * g (x-x0,y-y0)=(f * g)(x-x0, y-y0)
6.5. Konvolusi Pada Fungsi Dwiwarna
• Citra adalah sinyal dwimatra (fungsi dwimatra).
• Untuk fungsi dwimatra (fungsi dengan dua peubah), operasi konvolusi didefinisikan sebagai
berikut:
a. Untuk fungsi kontinyu
ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) ∗ 𝑔(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝑓(𝑎, 𝑏)𝑔(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)𝑑𝑎𝑑𝑏
∞
−∞
∞
−∞
b. Untuk fungsi diskrit
ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) ∗ 𝑔(𝑥, 𝑦) = ∑ ∑ 𝑓(𝑎, 𝑏)𝑔(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)
∞
𝑏=−∞
∞
𝑎=−∞
• g(x,y) dinamakan convolution filter, convolution mask, kernel, atau template
• Dalam ranah diskrit kernel konvolusi dinyatakan dalam bentuk matriks (umumnya 3 x 3, ada juga
2 x 2 atau 2 x 2 atau 1 x 2).
Gambar 6.14. Contoh kernel
• Ilustrasi konvolusi:

9. 9
Gambar 6.15. Ilustrasi konvolusi
• Jadi, konvolusi dapat dipandang sebagai kombinasi linear dari vector pixel dengan vektor kernel.
• Jumlah nilai di dalam kernel > 1, maka f(i,j) dibagi dengan jumlah tersebut.
Jika jumlahnya nol, maka f(i,j) dibagi dengan 1.

10. 10
Gambar 6.16. Ilustrasi Konvolusi
• Operasi konvolusi dilakukan dengan menggeser kernel konvolusi pixel per pixel.
Hasil konvolusi disimpan di dalam matriks yang baru.
• Catatan: Lakukan operasi clipping jika hasil konvolusi menghasilkan nilai pixel negatif atau lebih
besar dari nilai keabuan maksimum 7 Misal dijadikan 0 jika hasil konvolusi negatif, dijadikan 255
jika hasil konvolusi lebih besar dari 255.
• Contoh 1:
Misalkan citra f(x,y) berukuran 5 x 5 dikonvolusi dengan sebuah kernel atau mask berukuran 3 x 3,
masing-masing adalah sebagai berikut:
Gambar 6. 17. Contoh 1
• Operasi konvolusi f(x,y) * g(x,y) adalah sebagai berikut:

11. 11
1) Tempatkan kernel pada sudut kiri atas, kemudian hitung nilai pixel pada posisi (0,0) dari
kernel.
Gambar 6.18. Hasil konvolusi = 3
2) Geser kernel satu pixel ke kanan, kemudian hitung nilai pixel pada posisi (0,0) dari kernel:
Gambar 6.19. Hasil konvolusi = 0
3) Geser kernel satu pixel ke kanan, kemudian hitung nilai pixel pada posisi (0,0) dari kernel:
Gambar 6. 20. Hasil konvolusi = 2

12. 12
4) Selanjutnya, geser kernel satu pixel ke bawah, lalu mulai lagi melakukan konvolusi dari sisi
kiri citra. Setiap kali konvolusi, geser kernel satu pixel ke kanan:
Gambar 6.21. Hasil konvolusi = 0
Gambar 6.22. Hasil konvolusi = 2

13. 13
Gambar 6.23. Hasil konvolusi = 6
6.6. Example
Gambar 6.24. Contoh

14. 14
6.7. Contoh Lain
Gambar 6.25. Contoh lain
• Masalah timbul bila pixel yang dikonvolusi adalah pixel pinggir (border), karena beberapa
koefisien konvolusi tidak dapat diposisikan pada pixel-pixel citra (efek “menggantung”).
Gambar 6.26. Efek menggantung
• Masalah “menggantung” seperti ini selalu terjadi pada pixel-pixel pinggir kiri, kanan, atas, dan
bawah.
• Solusi untuk masalah ini adalah:
1. Pixel-pixel pinggir diabaikan, tidak dikonvolusi. Solusi ini banyak dipakai di dalam pustaka
fungsi-fungsi pengolahan citra. Dengan cara seperti ini, maka pixel-pixel pinggir nilainya tetap
sama seperti citra asal.

15. 15
Gambar 6.27. Solusi untuk pixel menggantung. Pixel-pixel pinggir (yang tidak diarsir) tidak
dikonvolusi (dari contoh 1).
2. Duplikasi elemen citra, misalnya elemen kolom pertama disalin ke kolom M+1, begitu juga
sebaliknya, lalu konvolusi dapat dilakukan terhadap pixel-pixel pinggir tersebut.
3. Elemen yang ditandai dengan “?” diasumsikan bernilai 0 atau konstanta yang lain, sehingga
konvolusi pixel-pixel dapat dilakukan.
• Solusi dengan ketiga pendekatan di atas mengasumsikan bagian pinggir citra lebarnya sangat
kecil (hanya satu pixel) relatif dibanding dengan ukuran citra, sehingga pixel-pixel pinggir tidak
memperlihatkan efek yang kasat mata.
Gambar 6.28. Algotirma konvolusi citra dengan sebuah mask yang berukuran 3 x 3.
Pixel yang dikonvolusi adalah elemen (i,j). Delapan buah pixel yang bertetangga dengan pixel (i,j)
adalah sbb:

16. 16
Gambar 6.29. Pixel yang dikonvolusi.
Konvolusi berguna pada proses pengolahan citra seperti:
• Perbaikan kualitas citra (image enhancement)
• Penghilangan derau.
• Mengurangi erotan.
• Penghalusan/pelembutan citra.
• Deteksi tepi, penajam tepi
• Dll.
Contoh:
Untuk mempertajam citra, sebuah penapis Gaussian digunakan. Penapis Gaussian adalah sebuah mask
berukuran 3 x 3:
Gambar 6.30. Contoh Penapis Gaussian

17. 17
6.8. Some Other Kernel Examples
Gambar 6.31. Contoh lain
Referensi
[1] Syahid Abdullah, S. M. (2024, April 09). Pengolahan Citra Pertemuan 6.pdf. Diambil kembali
dari Edlink Universitas Siber Asia: https://edlink.id/panel/classes/733659. Diakses pada tanggal
10 April 2024.
Link File

18. 18