Teknik integral kalkulus membahas konsep integral sebagai fungsi invers dari turunan, rumus dasar integral untuk fungsi aljabar dan trigonometri, serta penerapannya untuk menentukan persamaan kurva dan gerak. Dokumen ini memberikan contoh soal dan penyelesaian integral tak tentu, serta teknik pengintegralan untuk fungsi-fungsi elementer.

1. INTEGRAL KALKULUS
(TEKNIK INTEGRASI)
Contoh soal dan penyelesaiannya
Dra. Dwi Liestyowati, MM

2. INTEGRAL
KONSEP INTEGRAL
Kita telah mengenal operasi invers (balikan fungsi). Berikut ini adalah contoh
pasangan operasi invers dalam matematika: penjumlahan, pengurangan, perkalian dan
pembagian, pangkat dan akar. Pada bab ini akan dipelajari invers dari turunan yang
disebut antiturunan.
Definisi:
Integral adalah fungsi invers dari turunan
Suatu fungsi F dikatakan sebagai antiturunan (antiderivatif) dari fungsi f
apabila F’(x) = f(x) untuk setiap x dalam domain dari f
Jika kita mengatakan turunan dari A adalah B, maka dikatakan bahwa Integral dari A
adalah B.
Misalnya jika c adalah sebuah konstanta, turunan dari x2 + c adalah 2x, maka integral
dari 2x adalah x2 + c.
Lambang “ ∫dx “ digunakan untuk menyatakan integral
Perhatikan diagram dibawah ini :
Dwi liestyowati 1

3. 1. INTEGRAL TAK TENTU
Jika F’(x) = f(x) dan f kontinu, maka : dx = F ( x) + C , (C = konstanta)
∗ Operasi pada Integral
∫ f ( x)
∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
∫ [kf ( x)]dx = k ∫ f ( x)dx , (k = konstanta)
∗ Rumus dasar Integral
Integral fungsi Aljabar
1. ∫ a dx = ax + c , a = konstanta
2.
1
∫x
n
x n +1 + c, n ≠ −1
dx =
3. ∫ kx dx =
n +1
k
n
x n +1 + c, n ≠ −1
n +1
Contoh 1 : ∫x dx =.....
7
x 7 +1 x8 1 8
∫ x dx = 7 + 1 + c = 8 + c = 8 x + c
7
Contoh 2 : ∫ x dx =.....
1 +1
1 x2 2
∫ x dx = ∫x 2 dx =
1
+c= x
3
x +c
+1
Contoh 3 :
2
dx
∫ x3 =.....
dx 1 −3 x −3+1 1
∫ x3 = ∫ x3 dx = ∫ x dx = − 3 +1
+c =
2x2
+c
Contoh 4 : ∫ ( x − x + x)dx =.....
3 2
∫ ( x − x + x)dx = ∫ x dx − ∫ x dx + ∫ xdx
3 2 3 2
1 4 1 3 1 2
= x − x + x +c
Contoh 5 :
4 3 2
∫ (x + 1) 2 dx =.....
2
∫ (x
2
(
+ 1) 2 dx = ∫ x 4 + 2 x 2 + 1 dx = ) 1 5 2 3
5
x + x + x+c
3
Dwi liestyowati 2

4. Perhatikan diagram dibawah ini :
Integral fungsi Trigonometri
1. ∫ sin x dx = − cos x + c
2. ∫ cos x dx = sin x + c
3. ∫ sec x dx = tan x + c
2
4. ∫ cosec x dx = − cot x + c
2
5.
1
∫ x
dx = ln x + c
Contoh 6 : ∫ 2 sin x dx =.....
∫ 2 sin x dx =2∫ sin x dx = −2 cos x + c
Contoh 7 : ∫ 9 − 9 sin 2 x dx =.....
∫ 9 − 9 sin 2 x dx =3∫ 1 − sin 2 x dx
Contoh 8 :
= ∫ 3 sin x dx =3 cos x dx = 3∫ cos x dx = 3 sin x + c
∫ (2 cos x + 3) dx =.....
∫ (2 cos x + 3) dx =∫ 2 cos x dx + ∫ 3dx
3 x 0 +1
= 2 ∫ cos x dx + 3∫ x 0 dx = 2 sin x + + = 2 sin x + 3 x + c
Contoh 9 :
0 +1
Karena cos x = 1 – 2sin2 ½x , maka sin2 ½x = ½ - ½ cos x, sehingga ;
∫ sin x dx =.....
2 1
2
1
∫ sin 1 x dx =∫ ( 1 − 1 cos x)dx = ∫ 2 dx − ∫ 1 cos x dx
2
2 2 2 2
1 1 1
= ∫ dx − 1 ∫ cos x dx = x − sin x + c
2
2 2 2
Dwi liestyowati 3

5. Contoh 10 : a) ∫ sin 3θ dθ = − 1 cos 3θ + c
b)
3
1
∫t dt = t 3 + c
2
c)
3
1
∫ y 4 dy = y 5 + c
5
2. PENERAPAN INTEGRAL TAK TENTU
2.1. Menentukan Rumus Fungsi, jika turunan Fungsi dan Nilai Fungsi
Pada bentuk dx = F ( x) + C , disebut solusi umum dari persamaan
diketahui
differensial,karena berisi tak hingga banyak kemungkinan. Tetapi jika diketahui
∫ f ( x)
sebuah nilai F(a) untuk suatu x = a, maka kita bisa mendapatkan solusi tunggal
dari persamaan differensial dengan cara mensubitusikan nilai fungsi yang
diketahui pada solusi umum. Solusi yang demikian disebut solusi khusus.
Contoh 11
Diketahui f ’(x) = 6 - x dan f(1) = . Tentukan f(x)!
4
3
Jawab:
1 2 3
f ( x) = ∫ (6 − x ) dx = ∫ 6dx − ∫ x 2 dx = 6 x − x2 +C
3
4 2 3 4
f(1) =  f (1) = 6.1 − .1 2 + C =
 C=-4
3 3 3
2 4
 6− +C =
Jadi, f ( x) = 6 x − x 2 − 4
3 3
2 3
Contoh 12
3
Diketahui f ‘(x)= 2 cos 2x + 3. Tentukan f(x), jika f ( x) = 6 + π pada saat x =
3 π
4 4
Jawab:
= sin 2x + 3x + C
f ( x) = ∫ (2 cos 2 x + 3)dx = ∫ 2 cos 2 xdx + ∫ 3dx
π 3
x = ⇒ f ( x) = 6 + π
4 4
Dwi liestyowati 4

6. 3 π  π 
6 + π = sin 2  + 3  + C
4 4 4
3
=1+ π + C
4
3 3
1+ π + C = 6 + π ⇒ C = 5
Jadi, f(x) = sin 2x + 3x + 5
4 4
dy
2.2. Menentukan persamaan kurva y = f(x) jika diketahui dan sebuah
dx
Pada bahasan ini akan ditunjukkan penggunaan integral tak tentu untuk
titik pada kurva
menentukan persamaan suatu kurva.
Contoh 13
Diketahui fungsi turunan suatu kurva adalah = 2( x − 1) tentukan persamaan
dy
kurva jika diketahui kurva tersebut melalui titik (3, 2).
dx
Jawab:
dy
= 2( x − 1) ⇒ y = ∫ 2( x − 1) dx = 2 ∫ ( x − 1)dx
y = 2( ½x2 –x ) + C = x2 - 2x + C
Kurva melalui titik (3,2) ⟹ 2 = 32 – 2.3 + C ⟹ C = -1
dx
Jadi persamaan kurva adalah y = x2 - 2x -1
Contoh 14
Suatu kurva mempunyai titik stasioner (2, 3) dan diketahui garis singgung kurva
adalah 2x – k, k suatu konstanta. Tentukan:
a) Nilai k
b) Persamaan kurva Gradient garis singgung
Catatan:
kurva adalah
a)
Jawab: dy
dy
= 2x − k dx
titik stasioner adalah titik dimana = 0 . Diketahui titik stasioner kurva
dx
dy
adalah (2, 3).
dx
= 0 ⟹ 2x – k = 0
dy
2.2 – k = 0, (x = 2)
k=4
dx
b) karena k = 4, maka = 2 x − 4 ⟹ y = ∫ ( 2 x − 4)dx = x 2 − 4 x + C
dy
kurva melalui titik (2, 3), maka 3 = 22 – 4.2 + C ⟹ C = 7
Jadi, persamaan kurva adalah y = x2 – 4x + 7
dx
Dwi liestyowati 5

7. Contoh 15
Tentukan persamaan kurva dengan gradient garis singgung di titik (x, y) sama
dengan 2x – 3, dan kurva melalui titik (1, -3) !
Jawab :
dy
= ( 2 x − 3) → dy = ( 2 x − 3) dx
dx → y =x2 – 3x + C
dx
∫ dy = ∫ (2 x − 3)
Kurva melalui (1, -3) maka -3 = 1 – 3 + C → C = 1
∴ Persamaan kurvanya adalah y = x2 – 3x – 1
Kita telah mengetahui bahwa turunan dari jarak s(t) yang ditempuh benda
2.3. Persamaan gerak
bergerak adalah kecepatan v(t) dari benda tersebut, dimana t adalah waktu.
Sehingga integral dari kecepatan v(t) adalah jarak s(t).sehingga bisa ditulis
sebagai : s(t) = ∫v(t) dt
Jika t adalah percepatan, kita telah mengetahui bahwa = a (t ) maka :
dv(t )
v(t) = ∫a(t) dt
dt
Contoh 16.
Percepatan sebuah benda yang bergerak diberikan oleh rumus : A(t) = 6t + 4
Percepatan a(t) dinyatakan dalam m/det2 dan waktu t dinyatakan dalam detik
Pada saat t = 1 detik, kecepatan benda adalah 12 m/det dan jarak yang ditempuh
benda adalah 13 m. Tentukan :
a) Kecepatan awal benda
b) Jarak yang ditempuh benda pada saat t = 2 detik
a) v(t) = ∫(6t+4) dt = 3t2 + 4t + c
Jawab :
v(1) = 3(1)2 + 4(1) + c = 12 → c = 5
v(t) = 3t2 + 4t + 5
kecepatan awal : v(0) = 4(0) + 5 = 5 m/det
b) s(t) = ∫v(t) dt = ∫(3t2 + 4t + 5) dt = t3 + 2t2 + 5t + c
s(1)n = (1)2 + 2(1)2 + 5(1) + c = 13 → c = 5
s(t) = t3 + 2t2 + 5t + 5
s(2) = 23 + 2(2)2 + 5(2) + 5 = 31 m
Contoh 17.
Sebuah benda bergerak dengan kecepatan v m perdetik. Pada saat t detik
persamaan kecepatannya adalah v = 8t – 1 . Pada saat t = 1, posisi benda yaitu
s = 6 m.
a). Tentukan persamaan posisi benda sebagai fungsi t ?
Dwi liestyowati 6

8. b). Berapa jauh posisi benda pada saat t = 4 ?
a). s(t) = ∫(8t - 1) dt = 4t2 - t + c , diketahui : s(1) = 6
Jawab :
jadi 4(1)2 – (1) + c = 6 → c = 3
maka : s = 4t2 – t + 3
b). s(4) = 4(4)2 – 4 + 3 = 63 m
3. TEKNIK PENGINTEGRALAN:
Fungsi-fungsi yang ada pada kalkulus disebut fungsi-fungsi elementer, yaitu fungsi
konstanta, fungsi pangkat, fungsi logaritma dan fungsi eksponen, fungsi trigonometri
dan fungsi invers trigonometri, serta semua fungsi yang diperoleh dari hasil
penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan komposisi dari fungsi-fungsi
tersebut yang dinamakan fungsi-fungsi elementer.
Diferensiasi suatu fungsi elementer dapat dilakukan langsung dengan menggunakan
aturan-aturan yang telah kita pelajari. Dan hasilnya selalu berupa fungsi elementer.
Sedangkan Integrasi (antidiferensiasi) adalah persoalan yang berbeda sama sekali.
Integrasi melibatkan sedikit teknik dan lebih banyak akal; lebih buruk lagi hasilnya tidak
selalu berupa fungsi elementer.
Teknik dasar untuk integrasi adalah subtitusi dan integrasi parsial (Integration by
parts) dan dekomposisi integran menggunakan pecahan parsial, sekaligus juga
diperkenalkan teknik integrasi dg cara singkat, yaitu jalan pintas menggunakan rumus-
rumus integral yg sudah jadi, dikenal dengan nama 3G (Goggle Guidance Goals)
∗ Pengintegralan dengan metode Subtitusi
Contoh 18 : ∫ (2 x + 5)
7
dx
Misalkan v = 2x + 5 , maka
dv dv
= 2 ⇔ dx =
Sehingga
dx 2
dv 1 7 1 v 7 +1
∫ (2 x + 5) dx = ∫ v = ∫ v dv = . +c
7 7
2 2 2 7 +1
1 1
= v 8 + c = (2 x + 5)8 + c
16 16
Perhatikan Integral : ∫ (ax + b)
n
dx dimana n ≠ -1
Misalkan v = ax + b maka
dv dv
= a ⇔ dx =
Sehingga
dx a
dv v n +1 (ax + b) n +1
∫ (ax + b) dx = ∫ v = +c = +c
n n
a a(n + 1) a(n + 1)
Jadi jika n ≠ -1 maka + c kita namakan 3G
(ax + b) n +1
∫ (ax + b) dx =
n
a (n + 1)
Dwi liestyowati 7

9. Untuk contoh 14 kita bisa langsung memakai 3G :
(2 x + 5) 7 +1 (2 x + 5)8
∫ (2 x + 5) dx = +c = +c
7
Pengintegralan dengan metode Subtitusi 3G lainnya :
2.(7 + 1) 16
1.
1 +1
(ax + b) 2 2(ax + b) (ax + b)
∫ ax + b dx =
a( 1 + 1)
+c =
3a
+c
2.
2
n (ax + b) n (ax + b)
∫ n (ax + b) dx =
n +1 a
+c
3. n m −1 (ax m + b) n +1
∫ (ax + b) x dx = +c
m
ma(n + 1)
4.
n (ax + b) (ax + b)
m n m
m −1
∫ (ax + b) .x dx = +c
n m
n +1 ma
5. ∫
− 1 +1
n −1
x m −1(ax m + b) n n n (ax + b)
m
dx = +c = . +c
n
ax + b
m ma(− 1 + 1)
n
n −1 ma
6.
n +1
g ( x) [ f ( x)]
∫ [ f ( x)]
n
g ( x) dx = . +c
f ( x) n +1
Contoh 19 : ∫ (3x − 6)
9
dx = .....
Dengan cara 3G :
(3 x − 6)9 +1 (3 x − 6)10
∫ (3x − 6) dx = +c = +c
9
Contoh 20 :
3(9 + 1) 30
∫ (3x + 2 x + 4) (7 x + 4 x ) dx = .....
7 6 5 6 5
7x6 + 4x5
(3 x 7 + 2 x 6 + 4) 6
∫ (3x + 2 x + 4) (7 x + 4 x ) dx = 3(7 x 6 + 4 x 5 ) . +c
7 6 5 6 5
6
(3 x 7 + 2 x 6 + 4) 6
= +c
18
∗ Pengintegralan dengan metode Parsial
Biasanya ditulis dengan singkat :
∫ u dv = uv − vdu
Dwi liestyowati 8

10. Contoh 21 :
Hitunglah integral berikut ini dengan menggunakan metode parsial
a. ∫x ax + b dx = ....
b.
x
∫ ax + b
dx = ....
c. ∫ x. cos x dx = ....
Jawab :
a. Karena (ax + b) 2 = (ax + b ) 2 −1 (a ) =
d 3 3 3 3a
ax + b
maka
dx 2 2
2 3
ax + b dx = d (ax + b) 2
3a
sehingga
3
∫ x d (ax + b )2
2
∫x ax + b dx = ∫ u dv
u v
3a
x(ax + b ) 2 −
2 3 2 2 3
3a ∫ 3a ∫ ∫ u dv = uv − vdu
3
x.d (ax + b) 2 = (ax + b) 2 dx
3a
2 (ax + b ) 2 +1
3
x(ax + b ) 2 −
2 3
= +c
3a 3a  3 
a + 1
2 
2
(ax + b )2 [5ax − 2(ax + b )] + c
3
=
Jadi
15a 2
∫x
2
(3ax − 2b )(ax + b )2
3
ax + b dx = 2
15a
b. Karena (ax + b) = (ax + b )− 2 (a ) =
d 1 1 a
dx 2 2 ax + b
maka
dx 2
= d (ax + b)
ax + b a
sehingga ∫ x d( )
xdx 2
∫ = ax + b ∫ u dv
vu
ax + b a
2 2 2
a ∫ x.d ax + b = a x ax + b − a ∫ ax + b dx ∫ u dv = uv − vdu
= x ax + b − 2 ∫ (ax + b ) 2 d (ax + b )
2 2 1
a a
Dwi liestyowati 9

11. x ax + b − 2 (ax + b ) (ax + b ) + c
2 4
=
a 3a
2 ax + b ax + b
= [3ax − 2(ax + b )] + c = 2 (ax − 2b ) + c
Jadi
2
3a 3a 2
= 2 (ax − 2b ) ax + b + c
xdx 2
∫
c. Misal : v = x dan u = sin x , maka
ax + b 3a
du
= cos x ⇔ cos x.dx = du
sehingga
dx
∫ x. cos x dx = ∫ v.du
= uv − ∫ v.du
= x sin x − ∫ sin x.dx
= x sin x + cos x + c
Dan dalam penulisan yang lebih sederhana, kita dapatkan:
∫ x. cos x dx = ∫ x.d (sin x)
= x sin x − ∫ sin x.dx
= x sin x + cos x + c
Contoh 22 :
Dwi liestyowati 10

12. 3G
4. INTEGRAL TERTENTU
Teorema dasar Integral tertentu
b
∫ f ( x)dx =[F ( x)]a = F (b) − F (a)
b
dengan F ' ( x) = f ( x)
a
Dwi liestyowati 11

13. Contoh 23 :
3
1 3 1  1 
∫ (x − 2 x + 3)dx = [ x 3 − x 2 + 3 x] =  33 − 32 + 3.3  −  03 − 0 2 + 3.0  = 9
2
Contoh 24 :
3 0 3  3 
0
Jika − 4 x)dx = 10 , berapakah nilai a ?
a
∫ (3x
2
1
a
a3 – 2a2 – (1 – 20) = 10
Jawab : [ x 3 − 2 x 2 ] = 10
a3 – 2a2 + 1 = 10
1
a3 – 2a2 - 9 =0
(a2 + a + 3)(a – 3) =0  a=3
Jadi nilai a = 3
Contoh 25 :
π
∫ (2 cos x − 3 sin x)dx = [2 sin x + 3 cos x] π = (2 sin π + 3 cos π ) − (2 sin π + 3 cos π ) = −5
π
2 2
π 2
2
4.1. Menentukan Luas Daerah
 Satu kurva
y = f(x), di atas sumbu x y = f(x), di atas sumbu x
x = f(y), di kanan sumbu y x = f(y), di kiri sumbu y
Dwi liestyowati 12

14.  Dua kurva
y = f(x) diatas y = g(x) x = f(y) dikanan x = g(y)
Contoh 22 :
Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini
Daerah dibatasi pada x = -1 dan x = 2
Jawab :
Mencari persamaan garis lurus pada titik (-1, 1) dan (2, 4), yaitu :
y −1 x +1 y −1 x +1
= ⇒ = ⇒ y −1 = x +1 ⇒ y = x + 2
Persamaan parabola y = x2, maka luas daerah yang diarsir adalah :
4 −1 2 +1 3 3
2 2 2
L = ∫ (( x + 2) − x 2 )dx = ∫ ( x + 2)dx − ∫ x 2 dx
−1 −1 −1
1  2 1 3  2  1  1   1   1 
=  x 2 + 2 x  −  x  =  2 2 + 2.2  −  (− 1)2 + 2.(− 1) −  2 3  −  (− 1)3 
= (2 + 4 ) −  − 2  −  +  =  6 +  − 3 = 7 1 − 3 = 4 1 satuan luas
2  − 1  3  − 1  2  2   3   3 
 1   8 1   2
 2   3 3   3 2 2
Dwi liestyowati 13

15. Contoh 23 :
Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini
Jawab:
π
π
L = ∫ sin xdx = [− cos x] = (− cos π ) − (− cos 0 ) = 1 + 1 = 2
Contoh 24 :
0
0
Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini
Jawab :
2π
2π
L= ∫ sin xdx = [− cos x] = (− cos 2π ) − (− cos π ) = − 1 − 1 = − 2 = 2
π
π
Catatan : tanda harga mutlak digunakan karena posisi grafik ada di daerah
negative, sedangkan nilai Luas harus positif.
Dwi liestyowati 14

16. Contoh 25 :
Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini
Perhatikan jika luas daerah dihitung dengan cara berikut ini,
Jawab :
2π
2π
L= ∫ sin xdx = [− cos x] = (− cos 2π ) − (− cos 0 ) = −1 + 1 = 0
Maka cari dahulu luas daerah diatas sumbu x kemudian cari luas dibawah sumbu
0
0
x, lalu tambahkan.
π 2π
L = ∫ sin x dx + ∫ sin x dx = 2 + 2 = 4
0 π
Selanjutnya akan dibahas soal-soal yang diselesaikan dengan 3G
CARA 3G MENGHITUNG LUAS DAERAH
1. Jika dalam menentukan luas atau
diperoleh bentuk y2 – y1 = ax2 + bx + c dengan m dan n masing-
masing adalah absis titik potong pertama dan kedua dari kurva y1 dan y2, luas
tersebut sama dengan :
Hal ini terjadi ketika menghitung luas antara garis lurus dan parabola atau antara
dua buah parabola yang bertolak belakang
Dwi liestyowati 15

17. 2. Luas daerah dengan melihat gambar (pendekatan secara geometri)
Luas daerah yang diarsir/diwarnai pada gambar
adalah L = x luas persegi panjang
Luas daerah yang diarsir/diwarnai pada gambar adalah
L = 2. .ab = x luas persegi panjang
2 4
3 3
Luas daerah yang diarsir/diwarnai pada Luas daerah yang diarsir/diwarnai pada
gambar adalah gambar adalah
L= L= x luas persegi panjang
Hal ini terjadi ketika menghitung luas daerah antara parabola yang memiliki puncak
dengan sebuah garis.
3G Perhatikan gambar-gambar berikut ini :
Dwi liestyowati 16

18. 1. Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 – 4x – 5 dengan sumbu x.
Soal-soal dan pembahasan :
Titik potong dengan sumbu x  y = 0
Jawab :
x2 – 4x – 5 = 0
( x + 1)( x – 5) = 0  x = -1 atau x = 5
Gambar grafik menjadi :
( ) [ ]−51
5
L = − ∫ x 2 − 4 x − 5 dx = − 1 x 3 − 2 x 2 − 5 x
3
−1
( ) (
= − 125 − 50 − 25 + − 1 − 2 + 5 = −
3 3
) 126
3
+ 78 = 36
y = x2 – 4x – 5
D = b2 – 4ac
3G
D = 16 + 20 = 36
D D 36.6
L= = = 36
6a 2 6.1
2. Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh y = 2x2 + 8x dengan y = 2x + 8 .
Titik potong dengan sumbu x : 2x2 + 8x = 0  2x ( x + 4 ) = 0  x = 0 atau x = -4
Jawab :
Titik potong kedua grafik : 2x2 + 8x = 2x + 8  2x2 + 6x – 8 = 0
x2 + 3x – 4 = 0  ( x + 4 )( x – 1 ) = 0
x = -4 atau x = 1
gambar grafik menjadi :
∫ (2 x + 8) −(2 x + 8 x ) ∫ (− 2 x )
1 1
L= 2
dx = 2
− 6 x + 8 dx
−4 −4
[
= − 2 x 3 − 3x 2 + 8 x
3
]−14 =  − 23 − 3 + 8  −  128 − 48 − 32 
3
2x2 + 8x = 2x + 8
130 125
= + 85 =
2x2 + 6x – 8 = 0
3 3
D = 36 – 4.2.(-8) = 100
D D 100.10 125
3G L=
6a 2
=
6.4
=
3
Dwi liestyowati 17

19. 3. Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 - 2x + 1 dengan y = -x2 + 8x - 7 .
Titik potong dengan sumbu x : x2 - 2x + 1 = 0 dan -x2 + 8x – 7 = 0
Jawab :
( x – 1 )2 = 0 x2 - 8x + 7 = 0
x=1 ( x – 1 )( x – 7 ) = 0
x = 1 atau x = 7
Titik potong kedua grafik : x2 - 2x + 1 = -x2 + 8x – 7  2x2 - 10x + 8 = 0
x2 - 5x + 4 = 0  ( x - 4 )( x – 1 ) = 0
x = 4 atau x = 1
gambar grafik menjadi :
( )( )
4
L = ∫ − x 2 + 8 x − 7 − x 2 − 2 x + 1 dx
1
( )
4
 2 4
L = ∫ − 2 x 2 + 10 x − 8 dx = − x 3 + 5 x 2 − 8 x 
1  3 1
128  2  126
=− + 80 − 32 −  − + 5 − 8  = − + 51 = 9
3  3  3
x2 - 2x + 1 = -x2 + 8x - 7
2x2 - 10x + 8 = 0
D = 100 – 4.2.(8) = 36
3G L=
D D
=
36.6
=9
6a 2 6.4
4. Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan x = y3
Titik potong kedua grafik : y = x2 dan y2 = x  (x2)2 = x
Jawab :
x( x3 – 1) = 0  x = 0 atau x = 1
gambar grafik menjadi :
( )
1
 2 2 1 1 2 1 1
L=∫ x − x 2 dx = − x 3 − x 3  = − =
0  3 3 0 3 3 3
3G
L1 = ⅓.□ = ⅓
L2 = ⅓.□ = ⅓
L□ = 1
L = L□ – L1 – L2
L=1-⅓-⅓
Dwi liestyowati 18

20. 5. Tentukan Luas daerah di kuadran I yang dibatasi oleh y = 16 − x 2
x2 + y2 = R2 adalah lingkaran dengan jari-jari R
Jawab :
y = 16 − x 2 artinya x2 + y2 = 16, jadi merupakan
persamaan lingkaran dengan jari-jari 4 (lihat gambar)
Luas di kuadran I = ¼.Luas lingkaran
= ¼.π.R2 = 4π
6. Tentukan panjang busur kurva y = 36 − x 2 dari x = -6 sampai x = 6
36 − x 2 artinya x2 + y2 = 36, jadi merupakan
Jawab :
persamaan lingkaran dengan jari-jari 6 (lihat gambar)
y=
Panjang busur = ½ .keliling lingkaran
= ½.2π.R = πR = 6π
4.2. Menentukan Volume Benda Putar
Dwi liestyowati 19

21. Contoh 26 :
berapakah volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang dibatasi oleh kurva
y = x2 dan garis y = 3x diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu y?
Ordinat titik potong kurva y = x2 dan y = 3x
Jawab :
f(y) ≡ garis y = x2 ⟹ x1 = y = y 2 dan g(y) ≡ garis y =3 x ⟹ x 2 = y
1
1
subtitusi x = y ke y = x ⟹ y =  y  = y
3
1 2 1 2 1 2
⟹ y2 – 9y = 0 ⟹ y(y – 9) = 0 ⟹ y = 0 atau y = 9
3 3  9
Jika daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini diputar sejauh 3600 mengelilingi
sumbu y, maka volume benda putarnya adalah :
( ) 1  
9 9 2 2
 1 
V = π ∫ x12 − x2 2 dy = π ∫  y 2  −  y   dy
 
0 0   3   
9 9
 1  1 1 3 1
= π ∫  y − y 2  dy = π  y 2 − y  = π  (9 )2 −
1
(9)3 

 9  2 27  0 2 27 
= π  − 27  = 13 1 π satuan volume
0
 81 
2  2
Dwi liestyowati 20

22. Contoh 27 :
Daerah yang diarsir pada gambar di samping diputar
mengelilingi sumbu x. Tentukan volume yang
terbentuk!
Jawab :
( )
a a a
2 2 1 
V =π∫ x dx = π ∫ x dx = π  x 5 
4
0 0 5 0
1  π
= π  a5 − 0  = a5
5  5
Contoh 28 :
Cari volume kerucut dengan jari-jari alas r dan tinggi t.
Jika daerah yang diarsir di samping ini
Jawab :
diputar mengelilingi sumbu x maka akan
terbentuk sebuah kerucut.
Sehingga volume kerucut adalah :
t 2 t
r  r2
V = π ∫  x  dx = π ∫ 2 x 2 dx
0
t  0 t
π .r 2  1 3
t
 1
π .r 2  t 3
= x  = 2
3  − 0  = π .r 2t

t2  t 3  3
 
Contoh 29 :
0
Cari volume kerucut terpancung dengan jari-jari alas b, jari-jari atas a dan tinggi t.
Jika daerah yang diarsir di samping ini
Jawab :
diputar mengelilingi sumbu x maka
akan terbentuk sebuah kerucut
terpancung.
persamaan garis g adalah :
b−a
Sehingga volume kerucut terpancung
y= x+a
adalah :
t
t 2
b−a 
V = π ∫ x + a  dx
0 
t
t
t b − a  2 2
 b−a 
2
 b − a  2 x 3 b−a x
2 
V = π ∫   x + 2 a  x + a  dx = π   + 2a  + a 2 x
0 
 t   t  
  t  3
  t  2 0

 b − a  2 t 3
 b−at
2
2 
  2 
 + a t  − 0 = π (b − a ) + (b − a )at + a t 
2 t
= π   + 2a 
 t  3
  t 2 
  3 
Dwi liestyowati 21

23.  b 2t − 2abt + a 2t 3abt  1
= π
 3
+
3  3
(
 = π a 2 + ab + b 2 .t )
 
Perhatikan jika a = 0 dan b = r, maka V = π .r 2t yaitu merupakan volume kerucut
Note :
1
Contoh 30 :
3
Tunjukkan bahwa volume bola berjari-jari r adalah V = π .r 3
4
Sebuah bola terbentuk jika setengah lingkaran yang
3
Jawab :
diarsir diputar mengelilingi sumbu x.
Sehingga volume bola adalah :
r

( x3 
)
r r
V = π ∫ y dx = π ∫ r − x dx = π r 2 x − 
2 2 2
−r −r 
 3 −r
 3  3
r r 2 2 4
V = π  r 3 −  − π  − r 3 +  = π .r 3 + π .r 3 = π .r 3
 3  3 3 3 3
 
Contoh 31 :
Daerah yang diarsir disamping diputar mengelilingi sumbu y. Tentukan volume yang
terbentuk
Jawab :
y
y = kx 2 ⇔ x 2 =
k
ka 2 ka 2
y
V =π ∫x dy = π ∫
2
dy
0 0
k
2
ka
π  y2  π  k 2a 4

 1
V=   = − 0  = π .k .a 4
k 2 
 0 k 2

 2

3G Perhatikan gambar di bawah ini
Kurva parabola y = ax2 + bx + c memotong sumbu x di
x1 dan x2. Sehingga x1 dan x2 adalah akar-akar
persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 . Dan seperti biasa,
diskriminan ( D ) dari persamaan kuadrat ini adalah :
D = b2 – 4 ac
Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu x
, maka volume yang terbentuk adalah:
π .D 2 D
V=
30a 3
Dwi liestyowati 22

24. Contoh 31 :
Daerah yang diarsir disamping diputar mengelilingi sumbu x. Tentukan volume yang
terbentuk
( x – 1 )( x – 2 ) = x2 – 3x + 2 = 0
Jawab :
D = ( -3 )2 – 4.1.2 = 1
π .12 1 π
V= =
30.13 30
3G
INTEGRAL TRIGONOMETRI
a)
1 n −1
∫ sin x dx = − sin n−1 x. cos x + sin n−2 x dx
n ∫
n
b) ∫ sin n x. cos x dx =
n
1
sin n +1 x + C
c) ∫ cos n x dx = cos n−1 x. sin x +
n +1
1 n −1 n−2
∫ cos x dx
d) ∫ cos n x. sin x dx = −
n n
1
cos n +1 x + C
Jika n ganjil, maka rumus ditulis sebagai berikut :
n +1
e)
π
2
1 n −1 1 n − 3 1 n − 5 1
∫ sin x.dx = .
n
. . . . ....
n 1 n−2 1 n−4 1
Contoh 32 :
0
1
a)
1 2 −1 1 1
∫ sin x dx = − sin 2 −1 x. cos x +
2 2−2
∫ sin x dx = − 2 sin x. cos x + 2 x + C
b) ∫ sin 2 x. cos x dx =
2 2
1 1
sin 2 +1 x + C = sin 3 x + C
c) ∫ cos3 x dx = cos3−1 x. sin x +
2 +1 3
1 3 −1 3− 2 1 2
∫ cos x dx = 3 cos x. sin x + 3 sin x + C
2
d) ∫ cos3 x. sin x dx = −
3 3
1 1
cos3+1 x + C = − cos 4 x + C
3 +1 4
e)
π
2
1 3 −1 1 1 2
∫ sin x.dx = . = .2.1 =
3
.
3 1 3−2 3 3
f)
0
π
2
1 5 −1 1 5 − 3 1 4 2 8
∫ sin x.dx = . = . . . . =
5
. . .
5 1 5−2 1 5−4 5 3 1 15
g)
0
π
2
8 6 4 2 128
∫ sin x.dx = . . . . . . . . =
9
0
9 7 5 3 1 945
Dwi liestyowati 23