Dokumen tersebut membahas tentang persamaan parametrik, termasuk definisi, kurva parametrik, turunan pertama dan kedua, luas area dan panjang busur, serta contoh-contoh soal.

1. Instructor:
M. Mujiya Ulkhaq
Department of Industrial Engineering
Kalkulus Peubah Banyak
Multivariable Calculus
Parametric Equations

2. • Definisi persamaan parametrik;
• Kurva parametrik;
• Mengubah persamaan parametrik ke persamaan aljabar dengan eliminasi
parameter;
• Turunan pertama persamaan parametrik dan aplikasinya;
• Turunan kedua persamaan parametrik dan aplikasinya;
• Luas area di bawah kurva parametrik;
• Panjang busur kurva parametrik;
• Luas permukaan dari kurva parametrik yang diputar terhadap sumbu tertentu.
1-2

3. Apakah Anda bisa menjelaskan kurva di samping
lewat fungsi y = f(x)?
Karena tidak bisa dan tidak mungkin, maka kurva tsb
dapat dideskripsikan dengan persamaan parametrik:
Setiap nilai t (parameter) akan menentukan setiap titik (x, y) dalam sistem koordinat.
Kurva yang dibentuk oleh persamaan parametrik disebut kurva parametrik.
x = f(t) y = g(t)
Catatan: t tidak selalu melambangkan waktu
TIDAK BISA
1-3
Tidak lolos “vertical test”
(Ketika dipotongkan dengan
garis vertikal, terdapat
lebih dari 1 titik potong)

4. Contoh 1.1
Buat sketsa kurva yang dideskripsikan oleh persamaan parametrik sbb:
x = t2 – 2t y = t + 1
Jangan lupa untuk membubuhkan panah sebagai “petunjuk arah” dari kurva parametrik!
1-4

5. Bagaimana cara memilih nilai t?
Unfortunately, there is no real answer to this question at this point.
We may simply pick t’s until we are fairly confident that we’ve got a good idea of
what the curve looks like.
Maka, untuk memudahkan, terkadang ada batasan (restriction) pada parameter t.
Bentuk umum dari persamaan parametrik adalah:
(f(a), g(a)) adalah initial point dan
(f(b), g(b)) adalah terminal point.
x = f(t) y = g(t) a ≤ t ≤ b
1-5

6. Latihan 1.1
Buat sketsa kurva yang dideskripsikan oleh persamaan parametrik sbb:
x = t2 + t y = t2 – t –2 ≤ t ≤ 2
Latihan 1.2
Buat sketsa kurva yang dideskripsikan oleh persamaan parametrik sbb:
x = cos2 t y = 1 – sin t 0 ≤ t ≤ π/2
Latihan 1.3
Buat sketsa kurva yang dideskripsikan oleh persamaan parametrik sbb:
x = e-t + t y = et – t –2 ≤ t ≤ 2
1-6

7. Buat sketsa kurva yang dideskripsikan oleh persamaan parametrik sbb:
x = 5 cos t y = 2 sin t 0 ≤ t ≤ 2π
t x = 5 cos t y = 2 sin t
0 5 0
π/2 0 2
π -5 0
3/2 π 0 -2
2 π 5 0
1-7

8. Buat sketsa kurva yang dideskripsikan oleh persamaan parametrik sbb:
x = 5 cos t y = 2 sin t 0 ≤ t ≤ 2π
Apabila kita tidak cermat dalam memilih nilai t,
maka kita tidak akan mendapatkan kurva parametrik yang sesuai!
1-8

9. Buat sketsa kurva yang dideskripsikan oleh persamaan parametrik sbb:
x = cos t y = sin t 0 ≤ t ≤ 2π
Apa perbedaan dengan kurva yang dideskripsikan oleh persamaan parametrik sbb:
x = sin 2t y = cos 2t 0 ≤ t ≤ 2π
x = cos t
y = sin t
x = sin 2t
y = cos 2t
Ternyata dengan kurva
yang sama,
persamaan parametriknya
bisa berbeda!
1-9

10. Buat sketsa kurva yang dideskripsikan oleh persamaan parametrik sbb:
x = sin t y = sin2 t 0 ≤ t ≤ 2π
t x y
0.00 π 0.00 0.00
0.10 π 0.31 0.10
0.20 π 0.59 0.35
0.30 π 0.81 0.65
0.40 π 0.95 0.90
0.50 π 1.00 1.00
t x y
1.10 π -0.31 0.10
1.20 π -0.59 0.35
1.30 π -0.81 0.65
1.40 π -0.95 0.90
1.50 π -1.00 1.00
t x y
0.60 π 0.95 0.90
0.70 π 0.81 0.65
0.80 π 0.59 0.35
0.90 π 0.31 0.10
1.00 π 0.00 0.00
t x y
1.60 π -0.95 0.90
1.70 π -0.81 0.65
1.80 π -0.59 0.35
1.90 π -0.31 0.10
2.00 π 0.00 0.00
Tanda panah sangat berguna
dalam menentukan arah
dari kurva parametrik!
1-10

11. 1-11
0 2 4 6 8 10 12
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
y
x = t - sin(t), y = 1 - cos(t)
Cycloid
tyttx cos1;sin 
0 2 4 6 8 10 12
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
y
x = t - (2 sin(t))/3, y = 1 - (3 cos(t))/2
Trochoid
tyttx cos
2
3
1;sin
2
3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x
y
x = (6 cos(t))/5 - cos(6 t)/5, y = (6 sin(t))/5 - sin(6 t)/5
Epicycloids
ttyttx 6sin
5
1
sin
5
6
;6cos
5
1
cos
5
6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
x = 4 cos(t)3
, y = 4 sin(t)3
Hypocycloids
ttyttx 3sin
4
1
sin
4
3
;3cos
4
1
cos
4
3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x
y
x = cos(t) - cos(7 t)/2, y = sin(t) - sin(7 t)/2
Epitrochoids
ttyttx 7sin
2
1
sin;7cos
2
1
cos 
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x
y
x = cos(7 t)/3 + cos(t), y = sin(t) - sin(7 t)/3
Hypotrochoids
ttyttx 7sin
3
1
sin;7cos
3
1
cos 

12. Dalam command window, tuliskan:
syms t %mendefinisikan parameter t
ezplot(X,Y,[a,b]) %menggambar kurva parametrik
Keterangan: X = f(t); Y = g(t); a = initial point; b = terminal point
Contoh:
syms t
ezplot(t^2,t^3-3*t,[-2,2])
1-11a
*MATLAB versi 2012a -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
x = t2
, y = t3
- 3 t

13. Persamaan parametrik dapat diubah ke dalam persamaan aljabar.
Dari Contoh 1.1: x = t2 – 2t y = t + 1
y = t + 1  t = y – 1
x = t2 – 2t  x = (y – 1)2 – 2(y – 1)  x = y2 – 4y + 3
Namun, TIDAK SEMUA persamaan parametrik bisa diubah ke dalam
persamaan aljabar melalui metode eliminasi parameter dengan mudah!
It is important to note however that
we won’t always be able to do this.
1-12

14. Turunan orde pertama (first order derivative) digunakan untuk menentukan
gradien garis singgung (m) suatu kurva parametrik.
Misalkan x = f(t) dan y = g(t) merupakan fungsi yang dapat diturunkan (differen-
tiable), maka gradien garis singgung (m) dari persamaan parametrik tersebut
adalah:
jhj dx/dt ≠ 0
dtdx
dtdy
dx
dy
m 
Persamaan garis singgung:
y – y1 = m(x – x1)
Kurva mempunyai garis singgung horisontal bila:
dy/dt = 0 (diberikan dx/dt ≠ 0)
Kurva mempunyai garis singgung vertikal bila:
dx/dt = 0 (diberikan dy/dt ≠ 0)
1-13

15. Contoh 1.2
Cari persamaan garis singgung pada kurva parametrik sbb:
x = 1 + 4t – t2 y = 2 – t3 di titik t = 1
Gradien garis singgung:
Titik singgung: Persamaan garis singgung:
 
  2
3
124
13
24
3 22







t
t
dtdx
dtdy
dx
dy
m
   
  112
41141
3
1
2
1


y
x  
 
7
2
3
4
2
3
1
11



xy
xy
xxmyy
-10 -5 0 5 10
-5
0
5
10
x
y
Contoh 1
y = –3/2 x + 7
x = 1 + 4t – t2
y = 2 – t3
t = 1
(4, 1)
1-14

16. Latihan 1.4
Cari persamaan garis singgung pada kurva parametrik sbb:
x = t cos t y = t sin t di titik t = π
Latihan 1.5
Cari persamaan garis singgung pada kurva parametrik sbb:
x = e2t y = 1 + t di titik t = 0
Latihan 1.6
Cari persamaan garis singgung pada kurva parametrik sbb:
x = 1 – t2 y = t – 2 di titik t = 0
1-15

17. Turunan orde kedua dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva akan cekung
atas (concave up) atau cekung ke bawah (concave down).
• Ketika turunan orde kedua bernilai negatif, maka kurva concave down.
• Ketika turunan orde kedua bernilai positif, maka kurva concave up.
Garis biru menyatakan kurva concave up;
Garis hijau menyatakan kurva concave down
y = sin 2x
dt
dx
dx
dy
dt
d
dx
dy
dx
d
dx
yd












2
2
Turunan orde kedua dari
fungsi pamaterik diberikan sbb:
1-16

18. Contoh 1.3
Tentukan apakah kurva parametrik berikut concave up atau concave down:
x = t2 y = t3 – 3t
First order derivative:
Second order derivative:
t
t
dtdx
dtdy
dx
dy
2
33 2


   
3
22
2
2
2
4
33
2
4
33226
t
t
t
t
ttt
dt
dx
dx
dy
dt
d
dx
yd 










Kurva concave up ketika t > 0;
dan concave down ketika t < 0
1-17

19. Luas area (A) di bawah kurva yang didefinisikan dengan persamaan parametrik
x = f(t) y = g(t) α ≤ t ≤ β
adalah:
A
   


dttftgA '
1-18

20. Contoh 1.4
Cari luas area cycloid dengan persamaan parametrik sbb:
x = 2(θ – sin θ) y = 2(1 – cos θ) 0 ≤ θ≤ 2π
A
   
   
 
 
 













12
2sin
4
1
sin2
2
3
4
2cos1
2
1
cos214
coscos214
cos14
cos12cos12
'
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0














 
 
 

A
A
dA
dA
dA
dA
dfgA
1-19

21. Panjang busur dari kurva yang didefinisikan dengan persamaan parametrik
x = f(t) y = g(t) α ≤ t ≤ β
adalah:
,


dsL
dt
dt
dy
dt
dx
ds
22













 














dt
dt
dy
dt
dx
L
22
1-20

22. Contoh 1.5
Cari panjang busur dari kurva dengan persamaan parametrik sbb:
x = cos t y = sin t 0 ≤ t ≤ 2π
   
 






2
1
cossin
cossin
2
0
2
0
2
0
22
2
0
22
2
0
22






















L
tL
dtL
dtttL
dtttL
dt
dt
dy
dt
dx
L
1-21

23. Luas permukaan dari kurva yang didefinisikan dengan persamaan parametrik sbb:
x = f(t) y = g(t) α ≤ t ≤ β
• yang diputar terhadap sumbu-x adalah:
• yang diputar terhadap sumbu-y adalah:



ydsS 2



xdsS 2
1-22

24. Contoh 1.6
Tentukan surface area suatu permukaan yang dibentuk dari suatu kurva yang dirotasi
terhadap sumbu-x dengan persamaan parametrik sbb:
x = cos3 t y = sin3 t 0 ≤ t ≤ π/2
-0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
y
x = cos(t)3
, y = -sin(t)3
   
 
dtttds
dtttds
dtttttds
dtttttds
dtttttds
dtttttds
dt
dt
dy
dt
dx
ds
cossin3
cossin3
cossincossin3
cossincossin9
cossin9cossin9
sincos3cossin3
22
2222
2442
2222
22



















 









5
6
5
1
6
6
cossin32
cossin3sin2
2
1
0
5
1
0
4
2/
0
4
2/
0
3
2/
0












S
uS
duuS
dtttS
dttttS
dsyS
u = sin t
du = cos t dt
1-23

25. Latihan 1.7
Cari luas area dari kurva parametrik yang mempunyai persamaan sbb:
x = 4t3 – t2 y = t4 + 2t2 1 ≤ t ≤ 3
Latihan 1.8
Cari panjang busur dari kurva parametrik yang mempunyai persamaan sbb:
x = 8t3/2 y = 3 + (8 – t)3/2 0 ≤ t ≤ 4
Latihan 1.9
Cari luas permukaan dari kurva parametrik yang dirotasi terhadap sumbu-x dan mempunyai
persamaan sbb:
x = 9 + 2t2 y = 4t 0 ≤ t ≤ 2
1-24

26. Instructor:
M. Mujiya Ulkhaq
Department of Industrial Engineering
Kalkulus Peubah Banyak
Multivariable Calculus
Thank You for Your Attention