4. Misalkan (R,+,.) dan (R’, , ) merupakan ring-ring
Pemetaan f:R R’ disebut homomorfisma dari R
ke R’ jika memenuhi sifat-sifat:
f(a+b) = f(a) f(b)
f(a.b) = f(a) f(b)
Jika f:R R’ di atas merupakan pemetaan 1-1 dan
onto, maka f disebut isomorfisma; R dikatakan
isomorfik dengan R’, dan ditulis R R’.
5. Misalkan R dan S suatu ring dan f : R → S suatu homomorfisma ring.
Misalkan juga I = ker(f) dan R’ = im(f). Jelas bahwa I merupakan
ideal dari R dan R’ merupakan subring dari S. Akibatnya R/I
merupakan ring kuosien. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ring
kuosien R/I isomorfik dengan ring R’ = im(f).
Untuk membuktikan ini, yang pertama didefinisikan
ᶲR/I → R’ dengan ᶲ(I + a) = f(a).
Dalam rangka membuktikan bahwa ᶲsuatu pemetaan, diambil
sebarang (I + a), (I + b) di R/I dengan I + a = I + b. Akibatnya
I + a = I + b → ( a – b) I
→ f(a – b) = 0
→ f(a) – f(b) = 0
→ f(a) = f(b)
→ ᶲ(I + a) = ᶲ(I + b).
6. Sekarang misalkan (I + a) dan (I + b) sebarang dua koset di
dalam ring kuosien R/I, maka berlaku
ᶲ[(I + a) + (I + b)] = ᶲ[I + (a + b)]
= f(a + b)
= f(a) + f(b)
= ᶲ(I + a) + ᶲ(I + b)
dan
ᶲ[(I + a) (I + b)] = ᶲ[I + (ab)]
= f(ab)
= f(a) f(b)
= ᶲ(I + a) ᶲ(I + b).
Ini berarti ᶲmerupakan homomorfisma ring.
7. Untuk membuktikan bahwa ᶲpemetaan satu-satu, diambil sebarang
(I + a) dan (I + b) di R/I dengan ᶲ(I + a) = ᶲ(I + b). Akibatnya
ᶲ(I + a) = ᶲ(I + b) → f(a) = f(b)
→ f(a) – f(b) = 0
→ f(a – b) = 0
→ (a – b) I
→ I + a = I + b.
Sekarang ditunjukkan bahwa ᶲpada (surjektif), untuk ini diambil sebarang
a’ R’ = im(f). Karena f merupakan homomorfisma ring dari ring R pada R’
= im(f) maka terdapat elemen a di R sedemikian hingga f(a) = a’, tetapi
f(a) merupakan peta dari elemen (I + a) di dalam R/I, sehingga diperoleh
a’ = f(a) = ᶲ(I + a).
Dengan pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa ᶲmerupakan
isomorfisma ring dari ring kuosien R/I ke R’ = im(f). Dengan kata lain, ring
kuosien R/I isomorfik dengan ring R’ = im(f), dituliskan dengan R/I im(f).
8. Bila h : Z 2Z didefinisikan : h(a) = 2a untuk Ʉ
a ϵ Z merupakan homomorfisma,
Buktikan bila h merupakan isomorfisma !
9. h merupakan isomorfisma, sebab:
h injektif :Ʉa,b ϵ Z, jika h(a) = h(b) maka 2a =
2b atau a = b
h surjektif : Ʉx ϵ 2Z maka h(n) = 2n = x, untuk
suatu n ϵ Z
10. Diberikan D gelanggang , dimana D adalah
matriks 2×2 dalam bentuk
Tunjukkan bahwa D isomorfisma di bilangan
kompleks C.
Dimana D adalah lapangan.
11. Diberikan f : C → D didefinisikan dengan
Jelas f satu-satu dan pada
Misalkan
Dan
sehingga
Dan
Jadi
Terakhir ,
identitas
matriks .
Jadi f adalah isomorfisma.
12. Misalkan R dan K Ring (Gelanggang)
f ∶R → K homomorfisma
Tunjukan bahwa f merupakan isomorfisma
jika dan hanya jika I(f) = (0).
13. Misalkan R & K ring & f
isomorfisma
Adit I(f) = (0).
Ambil sebarang a∈ I(f)
Adit a unsur di (0), yaitu a = 0.
Perhatikan : a∈I(f) , maka I(f)
= 0 = f(0)
karena f 1-1, maka a = 0.
jadi a unsur di (0), I(f) bagian
dari (0).
Ambil 0∈(0)
karena f(0) = 0, maka 0 unsur
di I(f)
(0)bagian dari I(f)
jadi I(f) = (0).
R dan K ring
f homomorfisma & I(f) = (0)
Adit f isomorfisma, untuk itu
cukup menunjukan bahwa f 1-1.
Ambil sebarang a,b ∈R
sehingga f(a) = f(b)
Adit a = b.
Perhatikan :
f(a) = f(b) maka f(a) – f(b) = 0
f(a) + f-(b) = 0, f (a – b) = 0.
ini berarti a – b unsur di I(f)=(0)
jadi a – b = 0 ⇔ a = b.
∴ f isomorfisma.
Adit = akan ditunjukkan
14. Misalkan (Z x Z,+,-) adalah suatu ring
homomorfisma
f: Z Z x Z
Tunjukan bahwa f merupakan isomorfisma!
15. Misalkan
Z x Z = {(x,y) | x , y ϵ Z}
- Operasi Penjumlahan:
(x1,y1)+(x2,y2)= (x1+x2,y1+y2)
- Operasi Perkalian :
(x1,y1).(x2,y2)
= (x1x2,y1y2)
Ʉ(x1,y1), (x2,y2) ϵ Z x Z
Ambil sebarang x,y ϵ Z
dengan f(x) = f(y) adalah
x =y
f(x) = f(y) (x,0) = (y,0)
x = y
Maka f satu-satu (injektif)
Ambil sebarang p ϵ ZxZ
Maka p=(x,0) untuk suatu
x ϵ Z
Jadi, Ʉ pϵ Z x Z, x ϵ Z
P=(x,0) = f(x)
Maka, f pada (surjektif)
16. Misalkan f: (R,+) ( , x)
X
adalah suatu ring .Tunjukan bahwa f
merupakan isomorfisma!
x
e
R
17. TIDAK PEDULI SEBERAPA BAKATNYA
DIRIMU, JIKA KAU HANYA SENDIRIAN. KAU
TIDAKAKAN PERNAH BISA MERUBAH
DUNIA #L
