This document discusses sets and real numbers. It defines what a set is and provides examples of set operations like union, intersection, difference and complement. It then discusses real numbers including natural numbers, integers, rational and irrational numbers. It covers concepts like absolute value, inequalities and operations that can be performed on real numbers. Examples are provided to illustrate set operations and inequalities involving absolute value.

1. Números Reales
Juliette Méndez

2. Conjunto
• Un conjunto es una colección de elementos con características similares
considerada en si misma como un objeto.
• Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus
elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales , si se considera
la propiedad de ser un numero primo el conjunto de los números primos es:
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. También los conjuntos se denotan
habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto
se llaman elementos o miembros. Se dice que «Pertenecen» al conjunto y se
denota mediante el símbolo ∈ y para la noción contraria se utiliza el símbolo
∉.

3. Operaciones con conjuntos
• Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de
ciertos conjuntos dados, para obtener nuevos conjunto:
• Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa
como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al
menos a uno de los conjuntos A y B.
• Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el
conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B.
• Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A
B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.
• Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que
contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto
U que lo contiene.
• Diferencia Simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos
A y B es el conjunto AΔ B con todos los elementos que pertenecen, o bien
a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

4. Ejemplos:
• Producto Cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos
A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados
con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b
perteneciente a B.
• {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
• {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}

5. • Ejercicios:
• A={1,2,3,4,5,6}
• B={2,4,6,8,10}
• C={5,6,7,8,9}
1. (A∩B) ∪ C 2. (A∩C) ∩ (B∪C)
A∩B={2,4,6} A∩C={5,6}
(A∩B ∪ C ={2,4,5,6,7,8,9} B∪C={2,4,5,6,7,8,9,10}
(A∩C) ∩ (B∪C)={5,6}

6. Números Reales
• Los números naturales son aquellos que permiten contar u ordenar los
elementos de un conjunto. No existe una cantidad total o final de números
naturales, por lo tanto, los números naturales son infinitos. Se considera un
número natural a partir del número 1.
• Los números naturales pertenecen al conjunto de los números enteros
positivos, por lo tanto, no tienen parte decimal, no son fraccionarios, ni
parte imaginaria y se encuentran a la derecha del cero en la recta.
• Los números naturales se pueden representar en una línea recta y siempre
se ordenan de menor a mayor
• 1
• 2
• 3

7. • Tienen un elemento inicial, dependiendo del autor puede ser “0” o “1”.
• Todo número natural posee un único sucesor, es decir, cada número natural
tiene un número natural consecutivo.
• Dos números naturales distintos no pueden tener el mismo sucesor.
• El conjunto de los números naturales es infinito.
• Entre dos números naturales consecutivos no existe otro número natural,
por esa razón se considera como un conjunto discreto.
• Al realizar una operación de suma o multiplicación empleando números
naturales siempre va a resultar otro número natural.
• Al realizar una operación de resta o división empleando números naturales
el resultado no siempre será otro número natural. En los siguientes
ejemplos se muestran posibilidades en las que no resulta un número
natural:
• 5 - 9 = -4
• -7 +4 = -3

8. Desigualdades
• Son una expresión en las que aparece un signo de desigualdad.
• Su simbología es:
• < > ≤ ≥
• Ejemplos de desigualdades:
• 3 < 7
• -2 > -5
• x ≤ 2
• x-3 ≥ y

9. • Ejercicio:
• Verifique cual de los siguientes elementos del conjunto (-2,-1,2,3) son
desigualdades de la expresión (2x+3<7)
Para x = -2 Para x = -1
2𝑥 + 3 < 7 2𝑥 + 3 < 7
2 −2 + 3 < 7 2 −1 + 3 < 7
-4 + 3 < 7 −2 + 3 < 7
-1 < 7 D.V 1 < 7 D.V
Para x = 2 Para x = 3
2𝑥 + 3 < 7 2𝑥 + 3 < 7
2 2 + 3 < 7 2 3 + 3 < 7
4 + 3 < 7 6 + 3 < 7
7 < 7 9 > 7 D.F
7 = 7
No hay desigualdad

10. Valor Absoluto
• El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y
norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor
absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos
matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o
espacios vectoriales.
• El valor absoluto de es siempre un número positivo o cero pero nunca
negativo: cuando es un número negativo entonces su valor absoluto es
necesariamente positivo .
• Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real
puede verse como la distancia que existe entre ese número y el cero. De
manera general, el valor absoluto entre la diferencia de dos números es la
distancia entre ellos.

11. Desigualdad con valor absoluto
• Desigualdades con un solo valor absoluto y la variable sólo en el
argumento del valor absoluto
• Ejemplos
• | 3x+2 | >5
• | 5x-4 | ≤ 7

12. Ejercicio:
−1
3
6 − 5𝑥 + 2 ≥ 1
−1
3
. 6 − 5𝑥 + 2 − 2 ≥ 1 − 2 Se simplifica
−1
3
. 6 − 5𝑥 ≥ −1
−3 .
−1
3
. 6 − 5𝑥 ≤ −3 . (−1)
6 − 5𝑥 ≤ 3
−3 ≤ 6 − 5𝑥 ≤ 3
−3 − 6 ≤ 6 − 5𝑥 − 6 ≤ 3 − 6 Se simplifica
−9 ≤ −5𝑥 ≤ −3
−9
−5
≥
−5𝑥
−5
≥
−3
−5
9
5
≥ 𝑥 ≥
3
5
3
5
≤ 𝑥 ≤
9
5

13. Bibliografía
• Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover,
1998).
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Jean Robert Argand» (en
inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint
Andrews.
• Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp 259-263,
"Absolute Values", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8
• Weisstein, Eric W. «Absolute Value». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld
(en inglés). Wolfram Research.
• Value Valor absoluto en PlanetMath.
• Matemáticas Profe Alex
• Julio Profe