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Números reales
- 1. Números Reales Participante: Michelle González28.732.056 PNFHSL 0103 Turno mañana UC Matemáticas 1 Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Universidad Politécnica Territorial Del Estado Lara Andrés Eloy Blanco Barquisimeto - Estado Lara
- 2. Conjuntos ◍ En matemáticas,un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él. ◍ Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es: ◍ AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: ◍ P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo: ◍ S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves, lunes, miércoles}AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja, rojo, verde, violeta, añil, azul}Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números. 2
- 3. 3 Operaciones con Conjunto •Unión:(símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B. •Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B. •Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B. •Complemento: El complemento de un conjunto 𝐴𝐶 es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A , respecto a un conjunto U que lo contiene. •Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A , o bien a B, pero no a ambos a la vez. • Unión:𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒙 𝒙 𝝐 𝑨 𝒙 𝝐 𝑩} La unión del conjunto {1,2,3,4}Con el conjunto {5,6,7} es el conjunto {1,2,3,4,5,6,7,} , es decir. 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 ∪ 𝟓, 𝟔, 𝟕 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕} • Intersección: 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 𝒙 ∈ 𝑩 La intersección del conjunto {1,2,3,4,5,6}con el conjunto{5,6,7,8,9,10,11} es el conjunto {5,6}, es decir. 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 ∩ 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏 = {𝟓, 𝟔} • Diferencia :𝑨B = {𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 𝒙 𝑩} Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos Sera A-B={1,2,3}. Usando el diagrama de Venn se tendría lo siguiente : • Complemento:𝑨𝑪 = 𝒙 ∈ 𝑼 𝒙 𝑨 En el universo {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}, el complemento del conjunto{1,2,3,4,5,6} es el conjunto {7,8,9,1011}, es decir. {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}𝒄 = {𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏} • Diferencia simétrica: 𝑨 ∆ 𝑩 = {𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 B 𝒙 ∈ 𝑩 A Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A ∆ B= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Veen se tendría lo siguiente
- 4. Números Reales Tipos ◍Racionales eIrracionales: Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás ◍Algebraicos y transcendentes: Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario Ejemplos Definicion En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por (ℝ) incluye tanto a los números racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los número irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes Los números reales se expresan con decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se su representan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia. 4 1 4 = 0,250000 … Es un numero racional puesto que es periódico a partir del tercer numero decimal 3 7+1 2 es algebraico puesto a que es una raíz polinomio 4𝑥3 − 6𝑥2 + 3𝑥 − 4 3 7+1 2 = 1,456465591386194… es irracional y su expansión decimal es aperiódica ln 3 = 1,09861228866811… es transcendente
- 5. Desigualdades En matemáticas, unadesigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados. • La notación a < b significa a es menor que b; • La notación a > b significa a es mayor que b Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que". • La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b; • La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b; estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas). • La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b; • La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud. • La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables. 5
- 6. En matemáticas, elvalor absoluto o módulo de un número real 𝑥, denotado por 𝑥 , es el valor no negativo de 𝑥 sin importar el signo, sea este positivo o negativo. Así, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3. El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales. Valor Absoluto ◍ Función La funcion de valor absoluto se define sobre el conjunto de todos los reales asignando a cada numero real su respectivo valor absoluto. Formalmente, el valor absoluto de todo numero real 𝑥 esta denominado por 𝑎𝑏𝑠( ℝ → ℝ+ ∪ {0} 𝑥 → 𝑦 = 𝑎𝑏𝑠(𝑥) Que se expresa: 𝑎𝑏𝑠 𝑥 = 𝑥 𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 −𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 La función identidad es igual a la función signo por el valor absoluto. 𝑖𝑑 𝑥 = 𝑠𝑔𝑛 𝑥 𝑎𝑏𝑠 𝑥 Por definición, el valor absoluto 𝑥 siempre será mayor que cero y nunca negativo. 6
- 7. Desigualdades con valorabsoluto Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro 7 Desigualdades de valor absoluto (<): Desigualdades de valor absoluto (>): Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b . x − 7 < 3 Para resolver este tipo de desigualdad necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta x − 7 < 3 Y x − 7 > −3 −3 < x − 7 < 3 Sume 7 en cada expresión −3 + 7 < x − 7 + 7 < 3 + 7 4 < c < 10 La grafica: 𝑥 + 2 ≥ 4 Separe en dos desiguales 𝑥2 ≥ 4 O 𝑥 + 2 ≤ −4 Reste 2 de cada lado en cada desigualdad 𝑥 ≥ 2 O 𝑥 ≤ −6 La grafica:
- 8. “ • https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto • https://totumat.com/2019/10/28/operaciones-entre-conjuntos/ •https://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Cap10-03- OperacionesConjuntos.php • https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real • https://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica • https://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto • https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value- inequalities#:~:text=La%20desigualdad%20%7C%20x%20%7C%20%3C%204,0%20es%2 0menor%20que%204.&text=Caso%202%3A%20La%20expresi%C3%B3n%20dentro,soluc iones%20de%20estos%20dos%20casos. 8 Bibliografía