3. “
Un conjunto es una colección de elementos con características similares
considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto,
pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras,
etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está
definido como incluido de algún modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {rojo, naranja,
amarillo, verde, azul, añil, violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus
elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se
considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los
números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
4. Operaciones
Unión: U
Cuando un conjunto esta unido con otro
conjunto.
A={1,2,3,4,5,6,7} y B={8,9,10,11} entonces
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}
Intersección: ∩
Cuando dos conjuntos tienen un punto
de unión.
A={1,2,3,4,5,6,7} y B={6,7,8,9,10,}
entonces
A ∩ B = {6,7}
5. Diferencia simétrica de conjuntos: ∆
Conjunto que contiene a aquellos elementos
que pertenecen a uno de los conjuntos
iniciales, pero no a ambos a la vez.
A={1,2,3,4,5,6,7} y B={6,7,8,9,10,11}
entonces A ∆ B = {1,2,3,4,5,8,9,10,11}
Complemento de conjunto: A‘
Contiene todos los elementos que no
están en el conjunto original.
A={6,7} y B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,}
entonces
A’ = {1,2,3,4,5,8,9,10}
7. Números
Reales
Los números reales son el
conjunto de todas las
expreciones númericas (exepto
de los números imaginarios y
complejos) como por ejemplo:
- 0 es un número real.
- 34,57438573… es un número
real.
-
𝟑
𝟑𝟔 es un número real.
- -6457 es un número real.
- Π es un número real.
Racionales
Irracionales
Irracionales Algebraicos
Fraccionarios
Periódicos
Exactos
Transcendentales
Mixtos
Puros
Enteros
Naturales
Negativos
Cero (0)
Uno (1)
Primos
Compuestos
Números Reales
8. ◍ Conmutativa: El orden de los factores no
altera el producto.
7+8=15 / 8+7=15 ; 20.5=100 / 5.20=100.
◍ Asociativa: Resolver primero paréntesis.
34+(45+87)=34+132=166 / (34+45)+87=79+87=166 ;
12.(6.9)=12.54=648 / (12.6).9=72.9=648
◍ Identidad: El elemento neutro.
46+0=46 ; 345.1=345.
◍ Distributiva: Multiplicar el factor por
cada uno de los elemento dentro del
paréntesis.
30.(5+2)=150+60=210 / 21.(4-6)= 84-106=-42.
◍ Inversos: Los valores inversos se cancelan
y da 0.
45-45=0 / -33+33=0 ; 45.1/45=0 / 1/66.66=0.
◍ Reflexiva: El valor de un número es igual
a sí mismo. 345=345 / -987=-987.
◍ Simétrica: La igualdad no se altera al
cambiar los miembros. x+y=1 / 1=x+y.
◍ Transitiva: Si 2 igualdades tienen el
mismo valor en los miembros, ambos son
iguales. 4+6=10 y 5+5=10 / 4+6=5+5.
◍ Uniforme: Agregar un valor a ambos lados
de la igualdad no la altera.
2+5=7 / 3+5(3)=7(3).
◍ Cancelativa: Suprime 2 valores iguales sin
alterar la ecuación. (2.6)+4=12+4 / 2.6=12
Operaciones de los números
reales
10. Desigualdad matemática es una
proposición de relación de orden
existente entre dos expresiones
algebraicas conectadas a través de
los signos:
◍ Mayor que >
◍ Menor que <
◍ Menor o igual que ≤
◍ Mayor o igual que ≥
Desigualdades
Es una expresión que está formada por
dos miembros. El miembro de la
izquierda, al lado izquierdo del signo
igual y el miembro de la derecha, al
lado derecho del signo de igualdad.
Ejemplo:
3x + 3 < 9
Cuyo objetivo es dejar la incógnita
sola.
3x + 3 < 9, 3x < 9 – 3, 3x < 6, x < 6/3
x < 2
11. El valor absoluto de un número es la
distancia que hay desde cero hasta
el número, siendo este natural. El
valor absoluto de un número positivo
es igual a sí mismo, mientras que el
valor absoluto de un número negativo
es igual a su opuesto. Se denomina
con |x|.
Valor Absoluto
Propiedades:
◍ Los números opuestos tienen igual
valor absoluto. |5| = 5 / |-9| = 9
◍ El valor absoluto de un producto es
igual al producto de los valores
absolutos de los factores.
|8|.|-3| = |8.-3| = |-24| = 24.
◍ El valor absoluto de una suma es menor
o igual que la suma de los valores
absolutos de los sumandos.
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| = |3| ≤ |5| +
|2| = 3 ≤ 7.
12. Desigualdades con valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que
tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro.
Donde tiene un método de solución especifico. El siguiente
cuadro muestra una formula para realizar estas operaciones.
Incógnita Solución
|x| < b -b < x < b X ϵ ( c, d)
|x| ≤ b -b ≤ x ≤ b X ϵ [ c, d]
|x| > b x < -b U x > b X ϵ (+∞, c) U ( d, -∞)
|x| ≥ b x ≤ b U x ≥ b X ϵ (+∞, c] U [ d, -∞)
13. Incógnita: |
𝑥−10
7
| ≤ 5
1) Sustituimos de la formula.
-5 ≤
𝑥−10
7
≤ 5
2) Despejamos x.
-5.7 ≤
𝑥−10
7
.7 ≤ 5.7
-35 ≤ x-10 ≤ 35 = -35+10 ≤x-10+10 ≤ 35+10
-25 ≤ x ≤ 45
3) Graficamos:
Incógnita: |3x-2| < 5
1) Sustituimos de la formula.
-5 < 3x-2 < 5
2) Despejamos x.
-5+2 < 3x-2+2 < 5+2
-3 < 3x < 7 =
−3
3
<
3𝑥
3
<
7
3
-1 < x <
7
3
3) Graficamos:
Solución
-b < x < b X ϵ ( c, d)
Solución
-b ≤ x ≤ b X ϵ [ c, d]
-25 45
X ϵ [ -25, 45]
-1 7/3
X ϵ ( -1, 7/3)
14. Incógnita: |8x+1| > 3
1) Sustituimos de la formula.
8x+1 < -3 U 8x+1> 3
Despejamos x de ambas desigualdades.
8x+1-1 < -3-1 U 8x+1-1 > 3-1
8𝑥
8
<
−4
8
U
8𝑥
8
>
2
8
x <
−1
2
U x >
1
4
2) Graficamos:
-1/2 1/4
X ϵ ( -∞, -1/2) U (1/4, +∞ )
Solución
x < -b U x > b X ϵ (+∞, c) U ( d, -∞)
Solución
x ≤ b U x ≥ b X ϵ (+∞, c] U [ d, -∞)
-7 -5
X ϵ ( -∞, -7] U [ -5, +∞ )
Incógnita: |x+6| ≥ 1
1) Sustituimos de la formula.
X+6 ≤ -1 U x+6 ≥ 1
2) Despejamos x de ambas desigualdades.
X ≤ -1-6 U x ≥ 1-6
x ≤ -7 U x ≥ -5
3) Graficamos:
