SlideShare a Scribd company logo
Лекцийн сэдэв:
Рационал функцийг
интегралчлах арга
Рационал функцийг интегралчлах арга
• Тодорхой биш интегралыг бодох ерөнхий дүрэм байдаггүй боловч
тодорхой функцийн ангид тохирсон интегралчлах аргууд байдаг.
• Хүртвэр, хуваарь нь олон гишүүнт байх рационал функцийн
тодорхой биш интегралыг хялбар бутархайнуудын нийлбэрт задлах
замаар боддог.
Бид
4
𝑥−6
ба
7
𝑥+5
хоёр алгебрын хялбар бутархай өгсөн үед
тэдгээрийн нийлбэрийг олж чаддаг билээ.
4
𝑥 − 6
+
3
𝑥 + 5
=
4 𝑥 + 5 + 3(𝑥 − 6)
𝑥 − 6 𝑥 + 5
=
4𝑥 + 20 + 3𝑥 − 18
𝑥 − 6 𝑥 + 5
=
=
7𝑥 + 2
𝑥 − 6 𝑥 + 5
.
1. Хүртвэр, хуваарь нь олон гишүүнт байх рационал функцийг
хялбар бутархайнуудын нийлбэрт задлах арга
Энэ үйлдлийг буцаан
7𝑥+2
𝑥−6 𝑥+5
рационал функцийг хялбар
бутархайн нийлбэр болгон задлах тухай авч үзье.
Тодорхойлолт:
• 𝑃𝑚 𝑥 = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2
+ ⋯ + 𝑏𝑚𝑥𝑚
, 𝑏𝑚 ≠ 0
• 𝑄𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2
+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛
, 𝑎𝑛 ≠ 0
𝑚 ≥ 0, 𝑛 ≥ 1 алгебрын хоёр олон гишүүнтийн харьцаагаар
тодорхойлогдох
𝑓 𝑥 =
𝑃𝑚 𝑥
𝑄𝑛 𝑥
функцийг рационал функц эсвэл рационал илэрхийлэл гэнэ.
Тодорхойлолт:
• I.
𝐴
𝑥−𝑎
• II.
𝐴
(𝑥−𝑎)𝑘 (𝑘 ≥ 2)
• III.
𝑀𝑥+𝑁
𝑥2+𝑝𝑥+𝑞
• IV.
𝑀𝑥+𝑁
(𝑥2+𝑝𝑥+𝑞)𝑘 (𝑘 ≥ 2)
хэлбэрийн рационал функцийг хялбар бутархай гэнэ
Энд 𝐴, 𝑀, 𝑁, 𝑎, 𝑝, 𝑞 тогтмолууд, 𝑘 бүхэл эерэг тоо,
𝐷 = 𝑝2
− 4𝑞 < 0 байна.
Теорем:
Ямар ч зөв рационал бутархайг хялбар бутархайн нийлбэрээр нэг
утгатай илэрхийлж болно.
1.1. Эхлээд
• 𝑃𝑚(𝑥) -олон гишүүнтийн зэрэг нь
• 𝑄𝑛 𝑥 -олон гишүүнтийн зэргээс бага үед
𝑃𝑚(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
илэрхийллийг хялбар бутархайн нийлбэр болгон задлах аргыг авч
үзье.
А.
• Хэрэв
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥2+𝑑𝑥+𝑒
рационал илэрхийллийн хуваарийг
𝑝𝑥 + 𝑞 𝑟𝑥 + 𝑠 гэж үржигдэхүүн болгон задалж байвал
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑒
=
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑝𝑥 + 𝑞 𝑟𝑥 + 𝑠
хэлбэрийн илэрхийллийг
𝐴
𝑝𝑥+𝑞
+
𝐵
𝑟𝑥+𝑠
гэсэн хялбар бутархайн
нийлбэр болгон задална.
• Хэрэв
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
𝑝𝑥+𝑞 𝑟𝑥+𝑠 𝑚𝑥+𝑛
хэлбэрийн рационал илэрхийллийг
𝐴
𝑝𝑥 + 𝑞
+
𝐵
𝑟𝑥 + 𝑠
+
𝐶
𝑚𝑥 + 𝑛
гэсэн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задална.
Б.
• Хэрэв рационал илэрхийллийн хуваарийг 𝑝𝑥 + 𝑞 2
эсвэл
𝑝𝑥 + 𝑞 3
гэж үржигдэхүүн болгон задалж байвал
•
𝑎𝑥+𝑏
𝑝𝑥+𝑞 2 хэлбэрийн илэрхийллийг
𝐴
𝑝𝑥 + 𝑞
+
𝐵
𝑝𝑥 + 𝑞 2
гэсэн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задална.
•
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
𝑝𝑥+𝑞 3 хэлбэрийн рационал илэрхийллийг
𝐴
𝑝𝑥 + 𝑞
+
𝐵
𝑝𝑥 + 𝑞 2
+
𝐶
𝑝𝑥 + 𝑞 3
гэсэн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задална.
В.
• Хэрэв рационал илэрхийллийн хуваарийг
𝑝𝑥 + 𝑞 𝑟𝑥 + 𝑠 2
гэж үржигдэхүүн болгон задалж байвал
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
𝑝𝑥+𝑞 𝑟𝑥+𝑠 2 хэлбэрийн илэрхийллийг
𝐴
𝑝𝑥 + 𝑞
+
𝐵
𝑟𝑥 + 𝑠
+
𝐶
𝑟𝑥 + 𝑠 2
гэсэн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задална.
Г.
• Хэрэв рационал илэрхийллийн хуваарийг 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑟𝑥2
+ 𝑠 гэж
үржигдэхүүн болгон задалж байхаас гадна 𝑟𝑥2
+ 𝑠 нь
үржигдэхүүн болон задрахгүй бол
•
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
𝑝𝑥+𝑞 𝑟𝑥2+𝑠
хэлбэрийн илэрхийллийг
𝐴
𝑝𝑥 + 𝑞
+
𝐵𝑥 + 𝐶
𝑟𝑥2 + 𝑠
гэсэн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задална.
1.2. Одоо 𝑃𝑚(𝑥) -олон гишүүнтийн зэрэг нь 𝑄𝑛 𝑥 -олон
гишүүнтийн зэргээс багагүй үед
𝑃𝑚(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
илэрхийллийг алгебрийн
хялбар бутархайн нийлбэр болгон задлах аргыг авч үзье.
• 𝑃𝑚(𝑥) -олон гишүүнтийн зэрэг нь 𝑄𝑛 𝑥 -олон гишүүнтийн
зэргээс багагүй байг. Тэгвэл
𝑃𝑚(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
илэрхийллийг олон гишүүнт
болон алгебрийн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задалж болно.
• Хэрэв 𝑃𝑚(𝑥)-ийг 𝑄𝑛(𝑥)-д хуваахад S(𝑥) ноогдвор, 𝑅(𝑥) үлдэгдэл
гарсан бол
𝑃𝑚(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
= 𝑆 𝑥 +
𝑅(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
болно.
Тодорxойгүй коэффициентийн арга
• Одоо
𝑃𝑚(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
илэрхийллийг алгебрийн хялбар бутархайн нийлбэр
болгон задласны дараа хялбар бутархайнуудын тодорxойгүй
коэффициентүүдийг олох аргыг авч үзье.
Тодорхойлолт:
•
𝑃𝑚(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
рационал функцийг тодорxойгүй коэффициент бүxий xялбар
бутарxайнуудын нийлбэрт задална.
• Хялбар бутарxайнуудын ерөнxий xуваарийг нь олж тэнцүүлбэл
xүртвэрт гарч ирэx олон гишүүнт нь анхны бутархайн 𝑃𝑚(𝑥) -тэй
тэнцэх ёстой.
• Иймд олон гишүүнтүүдийн xаргалзаx зэргүүдийн өмнөx
коэффициентүүд нь тэнцүү байна.
• Коэффициентүүдийг тэнцүүлэx замаар xялбар бутарxайнуудын
тодорxойгүй коэффициентүүдийг олж болно.
Энэ аргыг тодорxойгүй коэффициентийн арга гэнэ.
Жишээ:
7𝑥+2
𝑥−6 𝑥+5
рационал функцийг хялбар бутархайн нийлбэрт задал.
Бодолт:
7𝑥+2
𝑥−6 𝑥+5
=
𝐴
𝑥−6
+
𝐵
𝑥+5
хэлбэртэй задалсан гэе.
Тэгвэл 𝐴, 𝐵 коэффициентийг тодорxойгүй коэффициентийн аргаар
хэрхэн олох бодолтыг гүйцэтгэе.
7𝑥 + 2
𝑥 − 6 𝑥 + 5
=
𝐴
𝑥 − 6
+
𝐵
𝑥 + 5
=
𝐴 𝑥 + 5 + 𝐵 𝑥 − 6
𝑥 − 6 𝑥 + 5
,
7𝑥 + 2
𝑥 − 6 𝑥 + 5
=
𝐴 𝑥 + 5 + 𝐵 𝑥 − 6
𝑥 − 6 𝑥 + 5
байна.
Эндээс 2 рационал бутархай тэнцүү байхын тулд xүртвэрийн олон
гишүүнтүүд тэнцүү байх ёстой.
7𝑥 + 2 = 𝐴 𝑥 + 5 + 𝐵 𝑥 − 6
гэсэн адилтгал биелнэ.
• Төсөөтэй гишүүдийг эмхтгэвэл
7𝑥 + 2 = 𝐴 + 𝐵 𝑥 + 5𝐴 − 6𝐵
болно.
• Эндээс 2 олон гишүүнтүүдийн xаргалзаx зэргүүдийн өмнөx
коэффициентүүд нь тэнцүү байх нөхцөл
𝐴 + 𝐵 = 7
5𝐴 − 6𝐵 = 2
өөс 𝐴, 𝐵 коэффициентүүд олдоно.
• Энэ систем тэгшитгэлийн шийд 𝐴 = 4, 𝐵 = 3 гэж олдлоо.
Иймд
7𝑥 + 2
𝑥 − 6 𝑥 + 5
=
4
𝑥 − 6
+
3
𝑥 + 5
гэж хялбар бутархайн нийлбэрт задарч байна.
• 𝑓 𝑥 =
𝑃𝑚 𝑥
𝑄𝑛 𝑥
рационал функцийн тодорхой биш интегралыг бодох
аргыг авч үзье.
Өөрөөр хэлбэл, 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑃𝑚 𝑥
𝑄𝑛 𝑥
𝑑𝑥 интегралыг бодох аргыг авч
үзье.
2А.
𝑃𝑚 𝑥
𝑄𝑛 𝑥
рационал функцийг интегралчлахын тулд хялбар
бутархайнуудын интегралыг олоход хангалттай.
2. Рационал функцийн тодорхой биш интегралыг бодох арга
• I.
𝐴
𝑎𝑥+𝑏
хэлбэрийн хялбар бутархайг интегралчилъя.
𝐴
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑑𝑥 = 𝐴 ⋅
1
𝑎
𝑎𝑥 + 𝑏 ′
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑑𝑥 =
𝐴
𝑎
∙ ln 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶.
• II.
𝐴
(𝑎𝑥+𝑏)𝑘 хэлбэрийн хялбар бутархайг интегралчилъя.
𝐴
(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘
𝑑𝑥 = 𝐴 ⋅
1
𝑎
(𝑎𝑥 + 𝑏)−𝑘
(𝑎𝑥 + 𝑏)′𝑑𝑥
=
𝐴
𝑎
⋅
1
−𝑘 + 1
1
(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘−1
+ 𝐶.
• III.
𝑀𝑥+𝑁
𝑥2+𝑝𝑥+𝑞
хэлбэрийн хялбар бутархайг интегралчилъя.
𝑀𝑥+𝑁
𝑥2+𝑝𝑥+𝑞
𝑑𝑥 =
𝑀
2
ln 𝑥2
+ 𝑝𝑥 + 𝑞 +
2𝑁−𝑀𝑝
4𝑞−𝑝2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2𝑥+𝑝
4𝑞−𝑝2
+ 𝐶.
Хялбар
бутархай
Хялбар бутархайн интегралын томъёо
I 𝐴
𝑎𝑥 + 𝑏
𝐴
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑑𝑥 =
𝐴
𝑎
∙ ln|𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝐶
II
𝐴
(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘
𝐴
(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘
𝑑𝑥 =
𝐴
𝑎
⋅
1
−𝑘 + 1
1
(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘−1
+ 𝐶
III
𝑀𝑥 + 𝑁
𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞
𝑀𝑥 + 𝑁
𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞
𝑑𝑥
=
𝑀
2
ln(𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞) +
2𝑁 − 𝑀𝑝
4𝑞 − 𝑝2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2𝑥 + 𝑝
4𝑞 − 𝑝2
+ 𝐶
2Б.
• Хэрэв 𝑚 ≥ 𝑛 байвал
𝑃𝑚(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
- ээс бүхэл хэсгийг ялгавал
𝑃𝑚(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
= 𝑆 𝑥 +
𝑅(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
= олон гишүүнт +
𝑃𝑚1
(𝑥)
𝑄𝑛1
(𝑥)
(𝑚1 < 𝑛1)
болно.
• Бидний олох интеграл нь олон гишүүнтийн болон зөв рационал
бутархайн интегралд шилжиж байна.
• Олон гишүүнт түвэггүй интегралчлагдана.
Анхаарал хандуулан, хичээлийн агуулгыг бүрэн судалсан
оюутан танд баярлалаа.
Та бүхэн
• Хичээлийн агуулгыг дэвтэртээ товчлон тэмдэглэл хийж,
тэмдэглэл хийсэн хэсгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай.
Цахим сургалтанд идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал
илэрхийлье.

More Related Content

What's hot

модультай тэгшитгэл тэнцэтгэл биш
модультай тэгшитгэл тэнцэтгэл бишмодультай тэгшитгэл тэнцэтгэл биш
модультай тэгшитгэл тэнцэтгэл бишNandintsetseg Yadamsuren
 
Тригонометр функц
Тригонометр функцТригонометр функц
Тригонометр функц
muugii_16
 
11 р ангийн математикийн хичээлийн тест
11 р ангийн математикийн хичээлийн тест11 р ангийн математикийн хичээлийн тест
11 р ангийн математикийн хичээлийн тест
Munguuzb
 
MT101 Lecture 1(Mongolia)
MT101 Lecture 1(Mongolia)MT101 Lecture 1(Mongolia)
MT101 Lecture 1(Mongolia)
Munhbayr Sukhbaatar
 
трапец үзүүлэн
трапец үзүүлэнтрапец үзүүлэн
трапец үзүүлэнHuslen Zaya
 
Уламжлал
УламжлалУламжлал
Уламжлал
Март
 
прогресс
прогресспрогресс
прогресс
ynjinlkham
 
арифметик прогресс
арифметик прогрессарифметик прогресс
арифметик прогрессTserendejid_od
 
квадрат тэгшитгэл
квадрат тэгшитгэлквадрат тэгшитгэл
квадрат тэгшитгэлch-boldbayar
 
тэгш өнцөгт гурвалж
тэгш өнцөгт гурвалжтэгш өнцөгт гурвалж
тэгш өнцөгт гурвалж
Davaasambuu Bolormaa
 
математикийн хичээлд мхт ашиглаж буй судалгаанд хийсэн дүн
математикийн хичээлд мхт ашиглаж буй судалгаанд хийсэн дүнматематикийн хичээлд мхт ашиглаж буй судалгаанд хийсэн дүн
математикийн хичээлд мхт ашиглаж буй судалгаанд хийсэн дүнmuugii_16
 
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгт
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгтбагтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгт
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгтKhishighuu Myanganbuu
 
олонлог
олонлоголонлог
олонлогOlonlog
 
Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлХялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Battur
 
Math 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогууд
Math 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогуудMath 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогууд
Math 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогууд
Enkhbaatar.Ch
 

What's hot (20)

модультай тэгшитгэл тэнцэтгэл биш
модультай тэгшитгэл тэнцэтгэл бишмодультай тэгшитгэл тэнцэтгэл биш
модультай тэгшитгэл тэнцэтгэл биш
 
Тригонометр функц
Тригонометр функцТригонометр функц
Тригонометр функц
 
11 р ангийн математикийн хичээлийн тест
11 р ангийн математикийн хичээлийн тест11 р ангийн математикийн хичээлийн тест
11 р ангийн математикийн хичээлийн тест
 
интеграл
 интеграл интеграл
интеграл
 
MT101 Lecture 1(Mongolia)
MT101 Lecture 1(Mongolia)MT101 Lecture 1(Mongolia)
MT101 Lecture 1(Mongolia)
 
трапец үзүүлэн
трапец үзүүлэнтрапец үзүүлэн
трапец үзүүлэн
 
Erku
ErkuErku
Erku
 
Уламжлал
УламжлалУламжлал
Уламжлал
 
прогресс
прогресспрогресс
прогресс
 
арифметик прогресс
арифметик прогрессарифметик прогресс
арифметик прогресс
 
квадрат тэгшитгэл
квадрат тэгшитгэлквадрат тэгшитгэл
квадрат тэгшитгэл
 
тэгш өнцөгт гурвалж
тэгш өнцөгт гурвалжтэгш өнцөгт гурвалж
тэгш өнцөгт гурвалж
 
Math101 Lecture4
Math101 Lecture4Math101 Lecture4
Math101 Lecture4
 
математикийн хичээлд мхт ашиглаж буй судалгаанд хийсэн дүн
математикийн хичээлд мхт ашиглаж буй судалгаанд хийсэн дүнматематикийн хичээлд мхт ашиглаж буй судалгаанд хийсэн дүн
математикийн хичээлд мхт ашиглаж буй судалгаанд хийсэн дүн
 
ромбо
ромборомбо
ромбо
 
Lection 4
Lection 4Lection 4
Lection 4
 
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгт
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгтбагтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгт
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгт
 
олонлог
олонлоголонлог
олонлог
 
Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлХялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
 
Math 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогууд
Math 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогуудMath 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогууд
Math 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогууд
 

Similar to MT102 Лекц 3

MT 102 Лекц 1
MT 102 Лекц 1MT 102 Лекц 1
MT 102 Лекц 1
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 2
MT102 Лекц 2MT102 Лекц 2
MT102 Лекц 2
ssuser184df1
 
Advanced-Differentiation-Rules.pdf
Advanced-Differentiation-Rules.pdfAdvanced-Differentiation-Rules.pdf
Advanced-Differentiation-Rules.pdf
KyleBrianSLumanglas
 
MT102 Лекц 15
MT102 Лекц 15MT102 Лекц 15
MT102 Лекц 15
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 4
MT102 Лекц 4MT102 Лекц 4
MT102 Лекц 4
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 10
MT102 Лекц 10MT102 Лекц 10
MT102 Лекц 10
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 14
MT102 Лекц 14MT102 Лекц 14
MT102 Лекц 14
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 16
MT102 Лекц 16MT102 Лекц 16
MT102 Лекц 16
ssuser184df1
 
Composite Functions.pptx
Composite Functions.pptxComposite Functions.pptx
Composite Functions.pptx
NadineThomas4
 
IGCSEFM-FactorTheorem.pptx
IGCSEFM-FactorTheorem.pptxIGCSEFM-FactorTheorem.pptx
IGCSEFM-FactorTheorem.pptx
AngieMichailidou
 
Limit Fungsi Matematika
Limit Fungsi MatematikaLimit Fungsi Matematika
Limit Fungsi Matematika
AdeSaepudin4
 
Integral calculus
Integral calculusIntegral calculus
Integral calculus
Farzad Javidanrad
 
MTK KELAS X SEMS 1.pptx
MTK KELAS X SEMS 1.pptxMTK KELAS X SEMS 1.pptx
MTK KELAS X SEMS 1.pptx
HestiNovianti1
 
1 lesson 7 introduction to complex numbers
1 lesson 7 introduction to complex numbers1 lesson 7 introduction to complex numbers
1 lesson 7 introduction to complex numbers
Melchor Cachuela
 
1 lesson 7 introduction to complex numbers
1 lesson 7 introduction to complex numbers1 lesson 7 introduction to complex numbers
1 lesson 7 introduction to complex numbers
Melchor Cachuela
 
Lesson 9 transcendental functions
Lesson 9 transcendental functionsLesson 9 transcendental functions
Lesson 9 transcendental functions
Lawrence De Vera
 
Binary Operations.pptx
Binary Operations.pptxBinary Operations.pptx
Binary Operations.pptx
SoyaMathew1
 
Lesson 10 techniques of integration
Lesson 10 techniques of integrationLesson 10 techniques of integration
Lesson 10 techniques of integration
Lawrence De Vera
 
MT102 Лекц 11
MT102 Лекц 11MT102 Лекц 11
MT102 Лекц 11
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 13
MT102 Лекц 13MT102 Лекц 13
MT102 Лекц 13
ssuser184df1
 

Similar to MT102 Лекц 3 (20)

MT 102 Лекц 1
MT 102 Лекц 1MT 102 Лекц 1
MT 102 Лекц 1
 
MT102 Лекц 2
MT102 Лекц 2MT102 Лекц 2
MT102 Лекц 2
 
Advanced-Differentiation-Rules.pdf
Advanced-Differentiation-Rules.pdfAdvanced-Differentiation-Rules.pdf
Advanced-Differentiation-Rules.pdf
 
MT102 Лекц 15
MT102 Лекц 15MT102 Лекц 15
MT102 Лекц 15
 
MT102 Лекц 4
MT102 Лекц 4MT102 Лекц 4
MT102 Лекц 4
 
MT102 Лекц 10
MT102 Лекц 10MT102 Лекц 10
MT102 Лекц 10
 
MT102 Лекц 14
MT102 Лекц 14MT102 Лекц 14
MT102 Лекц 14
 
MT102 Лекц 16
MT102 Лекц 16MT102 Лекц 16
MT102 Лекц 16
 
Composite Functions.pptx
Composite Functions.pptxComposite Functions.pptx
Composite Functions.pptx
 
IGCSEFM-FactorTheorem.pptx
IGCSEFM-FactorTheorem.pptxIGCSEFM-FactorTheorem.pptx
IGCSEFM-FactorTheorem.pptx
 
Limit Fungsi Matematika
Limit Fungsi MatematikaLimit Fungsi Matematika
Limit Fungsi Matematika
 
Integral calculus
Integral calculusIntegral calculus
Integral calculus
 
MTK KELAS X SEMS 1.pptx
MTK KELAS X SEMS 1.pptxMTK KELAS X SEMS 1.pptx
MTK KELAS X SEMS 1.pptx
 
1 lesson 7 introduction to complex numbers
1 lesson 7 introduction to complex numbers1 lesson 7 introduction to complex numbers
1 lesson 7 introduction to complex numbers
 
1 lesson 7 introduction to complex numbers
1 lesson 7 introduction to complex numbers1 lesson 7 introduction to complex numbers
1 lesson 7 introduction to complex numbers
 
Lesson 9 transcendental functions
Lesson 9 transcendental functionsLesson 9 transcendental functions
Lesson 9 transcendental functions
 
Binary Operations.pptx
Binary Operations.pptxBinary Operations.pptx
Binary Operations.pptx
 
Lesson 10 techniques of integration
Lesson 10 techniques of integrationLesson 10 techniques of integration
Lesson 10 techniques of integration
 
MT102 Лекц 11
MT102 Лекц 11MT102 Лекц 11
MT102 Лекц 11
 
MT102 Лекц 13
MT102 Лекц 13MT102 Лекц 13
MT102 Лекц 13
 

More from ssuser184df1

MT102 Лекц 12
MT102 Лекц 12MT102 Лекц 12
MT102 Лекц 12
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 9
MT102 Лекц 9MT102 Лекц 9
MT102 Лекц 9
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 8
MT102 Лекц 8MT102 Лекц 8
MT102 Лекц 8
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 7
MT102 Лекц 7MT102 Лекц 7
MT102 Лекц 7
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 6
MT102 Лекц 6MT102 Лекц 6
MT102 Лекц 6
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 5
MT102 Лекц 5MT102 Лекц 5
MT102 Лекц 5
ssuser184df1
 

More from ssuser184df1 (6)

MT102 Лекц 12
MT102 Лекц 12MT102 Лекц 12
MT102 Лекц 12
 
MT102 Лекц 9
MT102 Лекц 9MT102 Лекц 9
MT102 Лекц 9
 
MT102 Лекц 8
MT102 Лекц 8MT102 Лекц 8
MT102 Лекц 8
 
MT102 Лекц 7
MT102 Лекц 7MT102 Лекц 7
MT102 Лекц 7
 
MT102 Лекц 6
MT102 Лекц 6MT102 Лекц 6
MT102 Лекц 6
 
MT102 Лекц 5
MT102 Лекц 5MT102 Лекц 5
MT102 Лекц 5
 

Recently uploaded

Operation Blue Star - Saka Neela Tara
Operation Blue Star   -  Saka Neela TaraOperation Blue Star   -  Saka Neela Tara
Operation Blue Star - Saka Neela Tara
Balvir Singh
 
Introduction to Quality Improvement Essentials
Introduction to Quality Improvement EssentialsIntroduction to Quality Improvement Essentials
Introduction to Quality Improvement Essentials
Excellence Foundation for South Sudan
 
How libraries can support authors with open access requirements for UKRI fund...
How libraries can support authors with open access requirements for UKRI fund...How libraries can support authors with open access requirements for UKRI fund...
How libraries can support authors with open access requirements for UKRI fund...
Jisc
 
Home assignment II on Spectroscopy 2024 Answers.pdf
Home assignment II on Spectroscopy 2024 Answers.pdfHome assignment II on Spectroscopy 2024 Answers.pdf
Home assignment II on Spectroscopy 2024 Answers.pdf
Tamralipta Mahavidyalaya
 
Basic phrases for greeting and assisting costumers
Basic phrases for greeting and assisting costumersBasic phrases for greeting and assisting costumers
Basic phrases for greeting and assisting costumers
PedroFerreira53928
 
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free downloadThe French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
Vivekanand Anglo Vedic Academy
 
The Roman Empire A Historical Colossus.pdf
The Roman Empire A Historical Colossus.pdfThe Roman Empire A Historical Colossus.pdf
The Roman Empire A Historical Colossus.pdf
kaushalkr1407
 
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
siemaillard
 
1.4 modern child centered education - mahatma gandhi-2.pptx
1.4 modern child centered education - mahatma gandhi-2.pptx1.4 modern child centered education - mahatma gandhi-2.pptx
1.4 modern child centered education - mahatma gandhi-2.pptx
JosvitaDsouza2
 
TESDA TM1 REVIEWER FOR NATIONAL ASSESSMENT WRITTEN AND ORAL QUESTIONS WITH A...
TESDA TM1 REVIEWER  FOR NATIONAL ASSESSMENT WRITTEN AND ORAL QUESTIONS WITH A...TESDA TM1 REVIEWER  FOR NATIONAL ASSESSMENT WRITTEN AND ORAL QUESTIONS WITH A...
TESDA TM1 REVIEWER FOR NATIONAL ASSESSMENT WRITTEN AND ORAL QUESTIONS WITH A...
EugeneSaldivar
 
Language Across the Curriculm LAC B.Ed.
Language Across the  Curriculm LAC B.Ed.Language Across the  Curriculm LAC B.Ed.
Language Across the Curriculm LAC B.Ed.
Atul Kumar Singh
 
Sha'Carri Richardson Presentation 202345
Sha'Carri Richardson Presentation 202345Sha'Carri Richardson Presentation 202345
Sha'Carri Richardson Presentation 202345
beazzy04
 
Palestine last event orientationfvgnh .pptx
Palestine last event orientationfvgnh .pptxPalestine last event orientationfvgnh .pptx
Palestine last event orientationfvgnh .pptx
RaedMohamed3
 
Model Attribute Check Company Auto Property
Model Attribute  Check Company Auto PropertyModel Attribute  Check Company Auto Property
Model Attribute Check Company Auto Property
Celine George
 
Welcome to TechSoup New Member Orientation and Q&A (May 2024).pdf
Welcome to TechSoup   New Member Orientation and Q&A (May 2024).pdfWelcome to TechSoup   New Member Orientation and Q&A (May 2024).pdf
Welcome to TechSoup New Member Orientation and Q&A (May 2024).pdf
TechSoup
 
Supporting (UKRI) OA monographs at Salford.pptx
Supporting (UKRI) OA monographs at Salford.pptxSupporting (UKRI) OA monographs at Salford.pptx
Supporting (UKRI) OA monographs at Salford.pptx
Jisc
 
How to Make a Field invisible in Odoo 17
How to Make a Field invisible in Odoo 17How to Make a Field invisible in Odoo 17
How to Make a Field invisible in Odoo 17
Celine George
 
Additional Benefits for Employee Website.pdf
Additional Benefits for Employee Website.pdfAdditional Benefits for Employee Website.pdf
Additional Benefits for Employee Website.pdf
joachimlavalley1
 
Students, digital devices and success - Andreas Schleicher - 27 May 2024..pptx
Students, digital devices and success - Andreas Schleicher - 27 May 2024..pptxStudents, digital devices and success - Andreas Schleicher - 27 May 2024..pptx
Students, digital devices and success - Andreas Schleicher - 27 May 2024..pptx
EduSkills OECD
 
Template Jadual Bertugas Kelas (Boleh Edit)
Template Jadual Bertugas Kelas (Boleh Edit)Template Jadual Bertugas Kelas (Boleh Edit)
Template Jadual Bertugas Kelas (Boleh Edit)
rosedainty
 

Recently uploaded (20)

Operation Blue Star - Saka Neela Tara
Operation Blue Star   -  Saka Neela TaraOperation Blue Star   -  Saka Neela Tara
Operation Blue Star - Saka Neela Tara
 
Introduction to Quality Improvement Essentials
Introduction to Quality Improvement EssentialsIntroduction to Quality Improvement Essentials
Introduction to Quality Improvement Essentials
 
How libraries can support authors with open access requirements for UKRI fund...
How libraries can support authors with open access requirements for UKRI fund...How libraries can support authors with open access requirements for UKRI fund...
How libraries can support authors with open access requirements for UKRI fund...
 
Home assignment II on Spectroscopy 2024 Answers.pdf
Home assignment II on Spectroscopy 2024 Answers.pdfHome assignment II on Spectroscopy 2024 Answers.pdf
Home assignment II on Spectroscopy 2024 Answers.pdf
 
Basic phrases for greeting and assisting costumers
Basic phrases for greeting and assisting costumersBasic phrases for greeting and assisting costumers
Basic phrases for greeting and assisting costumers
 
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free downloadThe French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
 
The Roman Empire A Historical Colossus.pdf
The Roman Empire A Historical Colossus.pdfThe Roman Empire A Historical Colossus.pdf
The Roman Empire A Historical Colossus.pdf
 
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
 
1.4 modern child centered education - mahatma gandhi-2.pptx
1.4 modern child centered education - mahatma gandhi-2.pptx1.4 modern child centered education - mahatma gandhi-2.pptx
1.4 modern child centered education - mahatma gandhi-2.pptx
 
TESDA TM1 REVIEWER FOR NATIONAL ASSESSMENT WRITTEN AND ORAL QUESTIONS WITH A...
TESDA TM1 REVIEWER  FOR NATIONAL ASSESSMENT WRITTEN AND ORAL QUESTIONS WITH A...TESDA TM1 REVIEWER  FOR NATIONAL ASSESSMENT WRITTEN AND ORAL QUESTIONS WITH A...
TESDA TM1 REVIEWER FOR NATIONAL ASSESSMENT WRITTEN AND ORAL QUESTIONS WITH A...
 
Language Across the Curriculm LAC B.Ed.
Language Across the  Curriculm LAC B.Ed.Language Across the  Curriculm LAC B.Ed.
Language Across the Curriculm LAC B.Ed.
 
Sha'Carri Richardson Presentation 202345
Sha'Carri Richardson Presentation 202345Sha'Carri Richardson Presentation 202345
Sha'Carri Richardson Presentation 202345
 
Palestine last event orientationfvgnh .pptx
Palestine last event orientationfvgnh .pptxPalestine last event orientationfvgnh .pptx
Palestine last event orientationfvgnh .pptx
 
Model Attribute Check Company Auto Property
Model Attribute  Check Company Auto PropertyModel Attribute  Check Company Auto Property
Model Attribute Check Company Auto Property
 
Welcome to TechSoup New Member Orientation and Q&A (May 2024).pdf
Welcome to TechSoup   New Member Orientation and Q&A (May 2024).pdfWelcome to TechSoup   New Member Orientation and Q&A (May 2024).pdf
Welcome to TechSoup New Member Orientation and Q&A (May 2024).pdf
 
Supporting (UKRI) OA monographs at Salford.pptx
Supporting (UKRI) OA monographs at Salford.pptxSupporting (UKRI) OA monographs at Salford.pptx
Supporting (UKRI) OA monographs at Salford.pptx
 
How to Make a Field invisible in Odoo 17
How to Make a Field invisible in Odoo 17How to Make a Field invisible in Odoo 17
How to Make a Field invisible in Odoo 17
 
Additional Benefits for Employee Website.pdf
Additional Benefits for Employee Website.pdfAdditional Benefits for Employee Website.pdf
Additional Benefits for Employee Website.pdf
 
Students, digital devices and success - Andreas Schleicher - 27 May 2024..pptx
Students, digital devices and success - Andreas Schleicher - 27 May 2024..pptxStudents, digital devices and success - Andreas Schleicher - 27 May 2024..pptx
Students, digital devices and success - Andreas Schleicher - 27 May 2024..pptx
 
Template Jadual Bertugas Kelas (Boleh Edit)
Template Jadual Bertugas Kelas (Boleh Edit)Template Jadual Bertugas Kelas (Boleh Edit)
Template Jadual Bertugas Kelas (Boleh Edit)
 

MT102 Лекц 3

  • 2. Рационал функцийг интегралчлах арга • Тодорхой биш интегралыг бодох ерөнхий дүрэм байдаггүй боловч тодорхой функцийн ангид тохирсон интегралчлах аргууд байдаг. • Хүртвэр, хуваарь нь олон гишүүнт байх рационал функцийн тодорхой биш интегралыг хялбар бутархайнуудын нийлбэрт задлах замаар боддог.
  • 3. Бид 4 𝑥−6 ба 7 𝑥+5 хоёр алгебрын хялбар бутархай өгсөн үед тэдгээрийн нийлбэрийг олж чаддаг билээ. 4 𝑥 − 6 + 3 𝑥 + 5 = 4 𝑥 + 5 + 3(𝑥 − 6) 𝑥 − 6 𝑥 + 5 = 4𝑥 + 20 + 3𝑥 − 18 𝑥 − 6 𝑥 + 5 = = 7𝑥 + 2 𝑥 − 6 𝑥 + 5 . 1. Хүртвэр, хуваарь нь олон гишүүнт байх рационал функцийг хялбар бутархайнуудын нийлбэрт задлах арга
  • 4. Энэ үйлдлийг буцаан 7𝑥+2 𝑥−6 𝑥+5 рационал функцийг хялбар бутархайн нийлбэр болгон задлах тухай авч үзье. Тодорхойлолт: • 𝑃𝑚 𝑥 = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + ⋯ + 𝑏𝑚𝑥𝑚 , 𝑏𝑚 ≠ 0 • 𝑄𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 , 𝑎𝑛 ≠ 0 𝑚 ≥ 0, 𝑛 ≥ 1 алгебрын хоёр олон гишүүнтийн харьцаагаар тодорхойлогдох 𝑓 𝑥 = 𝑃𝑚 𝑥 𝑄𝑛 𝑥 функцийг рационал функц эсвэл рационал илэрхийлэл гэнэ.
  • 5. Тодорхойлолт: • I. 𝐴 𝑥−𝑎 • II. 𝐴 (𝑥−𝑎)𝑘 (𝑘 ≥ 2) • III. 𝑀𝑥+𝑁 𝑥2+𝑝𝑥+𝑞 • IV. 𝑀𝑥+𝑁 (𝑥2+𝑝𝑥+𝑞)𝑘 (𝑘 ≥ 2) хэлбэрийн рационал функцийг хялбар бутархай гэнэ Энд 𝐴, 𝑀, 𝑁, 𝑎, 𝑝, 𝑞 тогтмолууд, 𝑘 бүхэл эерэг тоо, 𝐷 = 𝑝2 − 4𝑞 < 0 байна.
  • 6. Теорем: Ямар ч зөв рационал бутархайг хялбар бутархайн нийлбэрээр нэг утгатай илэрхийлж болно. 1.1. Эхлээд • 𝑃𝑚(𝑥) -олон гишүүнтийн зэрэг нь • 𝑄𝑛 𝑥 -олон гишүүнтийн зэргээс бага үед 𝑃𝑚(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) илэрхийллийг хялбар бутархайн нийлбэр болгон задлах аргыг авч үзье.
  • 7. А. • Хэрэв 𝑎𝑥+𝑏 𝑐𝑥2+𝑑𝑥+𝑒 рационал илэрхийллийн хуваарийг 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑟𝑥 + 𝑠 гэж үржигдэхүүн болгон задалж байвал 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑒 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑟𝑥 + 𝑠 хэлбэрийн илэрхийллийг 𝐴 𝑝𝑥+𝑞 + 𝐵 𝑟𝑥+𝑠 гэсэн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задална. • Хэрэв 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 𝑝𝑥+𝑞 𝑟𝑥+𝑠 𝑚𝑥+𝑛 хэлбэрийн рационал илэрхийллийг 𝐴 𝑝𝑥 + 𝑞 + 𝐵 𝑟𝑥 + 𝑠 + 𝐶 𝑚𝑥 + 𝑛 гэсэн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задална.
  • 8. Б. • Хэрэв рационал илэрхийллийн хуваарийг 𝑝𝑥 + 𝑞 2 эсвэл 𝑝𝑥 + 𝑞 3 гэж үржигдэхүүн болгон задалж байвал • 𝑎𝑥+𝑏 𝑝𝑥+𝑞 2 хэлбэрийн илэрхийллийг 𝐴 𝑝𝑥 + 𝑞 + 𝐵 𝑝𝑥 + 𝑞 2 гэсэн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задална. • 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 𝑝𝑥+𝑞 3 хэлбэрийн рационал илэрхийллийг 𝐴 𝑝𝑥 + 𝑞 + 𝐵 𝑝𝑥 + 𝑞 2 + 𝐶 𝑝𝑥 + 𝑞 3 гэсэн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задална.
  • 9. В. • Хэрэв рационал илэрхийллийн хуваарийг 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑟𝑥 + 𝑠 2 гэж үржигдэхүүн болгон задалж байвал 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 𝑝𝑥+𝑞 𝑟𝑥+𝑠 2 хэлбэрийн илэрхийллийг 𝐴 𝑝𝑥 + 𝑞 + 𝐵 𝑟𝑥 + 𝑠 + 𝐶 𝑟𝑥 + 𝑠 2 гэсэн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задална.
  • 10. Г. • Хэрэв рационал илэрхийллийн хуваарийг 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑟𝑥2 + 𝑠 гэж үржигдэхүүн болгон задалж байхаас гадна 𝑟𝑥2 + 𝑠 нь үржигдэхүүн болон задрахгүй бол • 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 𝑝𝑥+𝑞 𝑟𝑥2+𝑠 хэлбэрийн илэрхийллийг 𝐴 𝑝𝑥 + 𝑞 + 𝐵𝑥 + 𝐶 𝑟𝑥2 + 𝑠 гэсэн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задална.
  • 11. 1.2. Одоо 𝑃𝑚(𝑥) -олон гишүүнтийн зэрэг нь 𝑄𝑛 𝑥 -олон гишүүнтийн зэргээс багагүй үед 𝑃𝑚(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) илэрхийллийг алгебрийн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задлах аргыг авч үзье. • 𝑃𝑚(𝑥) -олон гишүүнтийн зэрэг нь 𝑄𝑛 𝑥 -олон гишүүнтийн зэргээс багагүй байг. Тэгвэл 𝑃𝑚(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) илэрхийллийг олон гишүүнт болон алгебрийн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задалж болно. • Хэрэв 𝑃𝑚(𝑥)-ийг 𝑄𝑛(𝑥)-д хуваахад S(𝑥) ноогдвор, 𝑅(𝑥) үлдэгдэл гарсан бол 𝑃𝑚(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) = 𝑆 𝑥 + 𝑅(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) болно.
  • 12. Тодорxойгүй коэффициентийн арга • Одоо 𝑃𝑚(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) илэрхийллийг алгебрийн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задласны дараа хялбар бутархайнуудын тодорxойгүй коэффициентүүдийг олох аргыг авч үзье.
  • 13. Тодорхойлолт: • 𝑃𝑚(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) рационал функцийг тодорxойгүй коэффициент бүxий xялбар бутарxайнуудын нийлбэрт задална. • Хялбар бутарxайнуудын ерөнxий xуваарийг нь олж тэнцүүлбэл xүртвэрт гарч ирэx олон гишүүнт нь анхны бутархайн 𝑃𝑚(𝑥) -тэй тэнцэх ёстой. • Иймд олон гишүүнтүүдийн xаргалзаx зэргүүдийн өмнөx коэффициентүүд нь тэнцүү байна. • Коэффициентүүдийг тэнцүүлэx замаар xялбар бутарxайнуудын тодорxойгүй коэффициентүүдийг олж болно. Энэ аргыг тодорxойгүй коэффициентийн арга гэнэ.
  • 14. Жишээ: 7𝑥+2 𝑥−6 𝑥+5 рационал функцийг хялбар бутархайн нийлбэрт задал. Бодолт: 7𝑥+2 𝑥−6 𝑥+5 = 𝐴 𝑥−6 + 𝐵 𝑥+5 хэлбэртэй задалсан гэе. Тэгвэл 𝐴, 𝐵 коэффициентийг тодорxойгүй коэффициентийн аргаар хэрхэн олох бодолтыг гүйцэтгэе.
  • 15. 7𝑥 + 2 𝑥 − 6 𝑥 + 5 = 𝐴 𝑥 − 6 + 𝐵 𝑥 + 5 = 𝐴 𝑥 + 5 + 𝐵 𝑥 − 6 𝑥 − 6 𝑥 + 5 , 7𝑥 + 2 𝑥 − 6 𝑥 + 5 = 𝐴 𝑥 + 5 + 𝐵 𝑥 − 6 𝑥 − 6 𝑥 + 5 байна. Эндээс 2 рационал бутархай тэнцүү байхын тулд xүртвэрийн олон гишүүнтүүд тэнцүү байх ёстой. 7𝑥 + 2 = 𝐴 𝑥 + 5 + 𝐵 𝑥 − 6 гэсэн адилтгал биелнэ. • Төсөөтэй гишүүдийг эмхтгэвэл 7𝑥 + 2 = 𝐴 + 𝐵 𝑥 + 5𝐴 − 6𝐵 болно.
  • 16. • Эндээс 2 олон гишүүнтүүдийн xаргалзаx зэргүүдийн өмнөx коэффициентүүд нь тэнцүү байх нөхцөл 𝐴 + 𝐵 = 7 5𝐴 − 6𝐵 = 2 өөс 𝐴, 𝐵 коэффициентүүд олдоно. • Энэ систем тэгшитгэлийн шийд 𝐴 = 4, 𝐵 = 3 гэж олдлоо. Иймд 7𝑥 + 2 𝑥 − 6 𝑥 + 5 = 4 𝑥 − 6 + 3 𝑥 + 5 гэж хялбар бутархайн нийлбэрт задарч байна.
  • 17. • 𝑓 𝑥 = 𝑃𝑚 𝑥 𝑄𝑛 𝑥 рационал функцийн тодорхой биш интегралыг бодох аргыг авч үзье. Өөрөөр хэлбэл, 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑃𝑚 𝑥 𝑄𝑛 𝑥 𝑑𝑥 интегралыг бодох аргыг авч үзье. 2А. 𝑃𝑚 𝑥 𝑄𝑛 𝑥 рационал функцийг интегралчлахын тулд хялбар бутархайнуудын интегралыг олоход хангалттай. 2. Рационал функцийн тодорхой биш интегралыг бодох арга
  • 18. • I. 𝐴 𝑎𝑥+𝑏 хэлбэрийн хялбар бутархайг интегралчилъя. 𝐴 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 𝐴 ⋅ 1 𝑎 𝑎𝑥 + 𝑏 ′ 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 𝐴 𝑎 ∙ ln 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶. • II. 𝐴 (𝑎𝑥+𝑏)𝑘 хэлбэрийн хялбар бутархайг интегралчилъя. 𝐴 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘 𝑑𝑥 = 𝐴 ⋅ 1 𝑎 (𝑎𝑥 + 𝑏)−𝑘 (𝑎𝑥 + 𝑏)′𝑑𝑥 = 𝐴 𝑎 ⋅ 1 −𝑘 + 1 1 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘−1 + 𝐶. • III. 𝑀𝑥+𝑁 𝑥2+𝑝𝑥+𝑞 хэлбэрийн хялбар бутархайг интегралчилъя. 𝑀𝑥+𝑁 𝑥2+𝑝𝑥+𝑞 𝑑𝑥 = 𝑀 2 ln 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 + 2𝑁−𝑀𝑝 4𝑞−𝑝2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥+𝑝 4𝑞−𝑝2 + 𝐶.
  • 19. Хялбар бутархай Хялбар бутархайн интегралын томъёо I 𝐴 𝑎𝑥 + 𝑏 𝐴 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 𝐴 𝑎 ∙ ln|𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝐶 II 𝐴 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘 𝐴 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘 𝑑𝑥 = 𝐴 𝑎 ⋅ 1 −𝑘 + 1 1 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘−1 + 𝐶 III 𝑀𝑥 + 𝑁 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑀𝑥 + 𝑁 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑑𝑥 = 𝑀 2 ln(𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞) + 2𝑁 − 𝑀𝑝 4𝑞 − 𝑝2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥 + 𝑝 4𝑞 − 𝑝2 + 𝐶
  • 20. 2Б. • Хэрэв 𝑚 ≥ 𝑛 байвал 𝑃𝑚(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) - ээс бүхэл хэсгийг ялгавал 𝑃𝑚(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) = 𝑆 𝑥 + 𝑅(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) = олон гишүүнт + 𝑃𝑚1 (𝑥) 𝑄𝑛1 (𝑥) (𝑚1 < 𝑛1) болно. • Бидний олох интеграл нь олон гишүүнтийн болон зөв рационал бутархайн интегралд шилжиж байна. • Олон гишүүнт түвэггүй интегралчлагдана.
  • 21. Анхаарал хандуулан, хичээлийн агуулгыг бүрэн судалсан оюутан танд баярлалаа. Та бүхэн • Хичээлийн агуулгыг дэвтэртээ товчлон тэмдэглэл хийж, тэмдэглэл хийсэн хэсгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай. Цахим сургалтанд идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал илэрхийлье.