MT102 Лекц 3
- 1.
- 2. Рационал функцийг интегралчлахарга • Тодорхой биш интегралыг бодох ерөнхий дүрэм байдаггүй боловч тодорхой функцийн ангид тохирсон интегралчлах аргууд байдаг. • Хүртвэр, хуваарь нь олон гишүүнт байх рационал функцийн тодорхой биш интегралыг хялбар бутархайнуудын нийлбэрт задлах замаар боддог.
- 3. Бид 4 𝑥−6 ба 7 𝑥+5 хоёр алгебрын хялбарбутархай өгсөн үед тэдгээрийн нийлбэрийг олж чаддаг билээ. 4 𝑥 − 6 + 3 𝑥 + 5 = 4 𝑥 + 5 + 3(𝑥 − 6) 𝑥 − 6 𝑥 + 5 = 4𝑥 + 20 + 3𝑥 − 18 𝑥 − 6 𝑥 + 5 = = 7𝑥 + 2 𝑥 − 6 𝑥 + 5 . 1. Хүртвэр, хуваарь нь олон гишүүнт байх рационал функцийг хялбар бутархайнуудын нийлбэрт задлах арга
- 4. Энэ үйлдлийг буцаан 7𝑥+2 𝑥−6𝑥+5 рационал функцийг хялбар бутархайн нийлбэр болгон задлах тухай авч үзье. Тодорхойлолт: • 𝑃𝑚 𝑥 = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + ⋯ + 𝑏𝑚𝑥𝑚 , 𝑏𝑚 ≠ 0 • 𝑄𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 , 𝑎𝑛 ≠ 0 𝑚 ≥ 0, 𝑛 ≥ 1 алгебрын хоёр олон гишүүнтийн харьцаагаар тодорхойлогдох 𝑓 𝑥 = 𝑃𝑚 𝑥 𝑄𝑛 𝑥 функцийг рационал функц эсвэл рационал илэрхийлэл гэнэ.
- 5. Тодорхойлолт: • I. 𝐴 𝑥−𝑎 • II. 𝐴 (𝑥−𝑎)𝑘(𝑘 ≥ 2) • III. 𝑀𝑥+𝑁 𝑥2+𝑝𝑥+𝑞 • IV. 𝑀𝑥+𝑁 (𝑥2+𝑝𝑥+𝑞)𝑘 (𝑘 ≥ 2) хэлбэрийн рационал функцийг хялбар бутархай гэнэ Энд 𝐴, 𝑀, 𝑁, 𝑎, 𝑝, 𝑞 тогтмолууд, 𝑘 бүхэл эерэг тоо, 𝐷 = 𝑝2 − 4𝑞 < 0 байна.
- 6. Теорем: Ямар ч зөврационал бутархайг хялбар бутархайн нийлбэрээр нэг утгатай илэрхийлж болно. 1.1. Эхлээд • 𝑃𝑚(𝑥) -олон гишүүнтийн зэрэг нь • 𝑄𝑛 𝑥 -олон гишүүнтийн зэргээс бага үед 𝑃𝑚(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) илэрхийллийг хялбар бутархайн нийлбэр болгон задлах аргыг авч үзье.
- 7. А. • Хэрэв 𝑎𝑥+𝑏 𝑐𝑥2+𝑑𝑥+𝑒 рационал илэрхийллийнхуваарийг 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑟𝑥 + 𝑠 гэж үржигдэхүүн болгон задалж байвал 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑒 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑟𝑥 + 𝑠 хэлбэрийн илэрхийллийг 𝐴 𝑝𝑥+𝑞 + 𝐵 𝑟𝑥+𝑠 гэсэн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задална. • Хэрэв 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 𝑝𝑥+𝑞 𝑟𝑥+𝑠 𝑚𝑥+𝑛 хэлбэрийн рационал илэрхийллийг 𝐴 𝑝𝑥 + 𝑞 + 𝐵 𝑟𝑥 + 𝑠 + 𝐶 𝑚𝑥 + 𝑛 гэсэн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задална.
- 8. Б. • Хэрэв рационалилэрхийллийн хуваарийг 𝑝𝑥 + 𝑞 2 эсвэл 𝑝𝑥 + 𝑞 3 гэж үржигдэхүүн болгон задалж байвал • 𝑎𝑥+𝑏 𝑝𝑥+𝑞 2 хэлбэрийн илэрхийллийг 𝐴 𝑝𝑥 + 𝑞 + 𝐵 𝑝𝑥 + 𝑞 2 гэсэн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задална. • 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 𝑝𝑥+𝑞 3 хэлбэрийн рационал илэрхийллийг 𝐴 𝑝𝑥 + 𝑞 + 𝐵 𝑝𝑥 + 𝑞 2 + 𝐶 𝑝𝑥 + 𝑞 3 гэсэн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задална.
- 9. В. • Хэрэв рационалилэрхийллийн хуваарийг 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑟𝑥 + 𝑠 2 гэж үржигдэхүүн болгон задалж байвал 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 𝑝𝑥+𝑞 𝑟𝑥+𝑠 2 хэлбэрийн илэрхийллийг 𝐴 𝑝𝑥 + 𝑞 + 𝐵 𝑟𝑥 + 𝑠 + 𝐶 𝑟𝑥 + 𝑠 2 гэсэн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задална.
- 10. Г. • Хэрэв рационалилэрхийллийн хуваарийг 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑟𝑥2 + 𝑠 гэж үржигдэхүүн болгон задалж байхаас гадна 𝑟𝑥2 + 𝑠 нь үржигдэхүүн болон задрахгүй бол • 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 𝑝𝑥+𝑞 𝑟𝑥2+𝑠 хэлбэрийн илэрхийллийг 𝐴 𝑝𝑥 + 𝑞 + 𝐵𝑥 + 𝐶 𝑟𝑥2 + 𝑠 гэсэн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задална.
- 11. 1.2. Одоо 𝑃𝑚(𝑥)-олон гишүүнтийн зэрэг нь 𝑄𝑛 𝑥 -олон гишүүнтийн зэргээс багагүй үед 𝑃𝑚(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) илэрхийллийг алгебрийн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задлах аргыг авч үзье. • 𝑃𝑚(𝑥) -олон гишүүнтийн зэрэг нь 𝑄𝑛 𝑥 -олон гишүүнтийн зэргээс багагүй байг. Тэгвэл 𝑃𝑚(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) илэрхийллийг олон гишүүнт болон алгебрийн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задалж болно. • Хэрэв 𝑃𝑚(𝑥)-ийг 𝑄𝑛(𝑥)-д хуваахад S(𝑥) ноогдвор, 𝑅(𝑥) үлдэгдэл гарсан бол 𝑃𝑚(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) = 𝑆 𝑥 + 𝑅(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) болно.
- 12. Тодорxойгүй коэффициентийн арга •Одоо 𝑃𝑚(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) илэрхийллийг алгебрийн хялбар бутархайн нийлбэр болгон задласны дараа хялбар бутархайнуудын тодорxойгүй коэффициентүүдийг олох аргыг авч үзье.
- 13. Тодорхойлолт: • 𝑃𝑚(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) рационал функцийг тодорxойгүйкоэффициент бүxий xялбар бутарxайнуудын нийлбэрт задална. • Хялбар бутарxайнуудын ерөнxий xуваарийг нь олж тэнцүүлбэл xүртвэрт гарч ирэx олон гишүүнт нь анхны бутархайн 𝑃𝑚(𝑥) -тэй тэнцэх ёстой. • Иймд олон гишүүнтүүдийн xаргалзаx зэргүүдийн өмнөx коэффициентүүд нь тэнцүү байна. • Коэффициентүүдийг тэнцүүлэx замаар xялбар бутарxайнуудын тодорxойгүй коэффициентүүдийг олж болно. Энэ аргыг тодорxойгүй коэффициентийн арга гэнэ.
- 14. Жишээ: 7𝑥+2 𝑥−6 𝑥+5 рационал функцийгхялбар бутархайн нийлбэрт задал. Бодолт: 7𝑥+2 𝑥−6 𝑥+5 = 𝐴 𝑥−6 + 𝐵 𝑥+5 хэлбэртэй задалсан гэе. Тэгвэл 𝐴, 𝐵 коэффициентийг тодорxойгүй коэффициентийн аргаар хэрхэн олох бодолтыг гүйцэтгэе.
- 15. 7𝑥 + 2 𝑥− 6 𝑥 + 5 = 𝐴 𝑥 − 6 + 𝐵 𝑥 + 5 = 𝐴 𝑥 + 5 + 𝐵 𝑥 − 6 𝑥 − 6 𝑥 + 5 , 7𝑥 + 2 𝑥 − 6 𝑥 + 5 = 𝐴 𝑥 + 5 + 𝐵 𝑥 − 6 𝑥 − 6 𝑥 + 5 байна. Эндээс 2 рационал бутархай тэнцүү байхын тулд xүртвэрийн олон гишүүнтүүд тэнцүү байх ёстой. 7𝑥 + 2 = 𝐴 𝑥 + 5 + 𝐵 𝑥 − 6 гэсэн адилтгал биелнэ. • Төсөөтэй гишүүдийг эмхтгэвэл 7𝑥 + 2 = 𝐴 + 𝐵 𝑥 + 5𝐴 − 6𝐵 болно.
- 16. • Эндээс 2олон гишүүнтүүдийн xаргалзаx зэргүүдийн өмнөx коэффициентүүд нь тэнцүү байх нөхцөл 𝐴 + 𝐵 = 7 5𝐴 − 6𝐵 = 2 өөс 𝐴, 𝐵 коэффициентүүд олдоно. • Энэ систем тэгшитгэлийн шийд 𝐴 = 4, 𝐵 = 3 гэж олдлоо. Иймд 7𝑥 + 2 𝑥 − 6 𝑥 + 5 = 4 𝑥 − 6 + 3 𝑥 + 5 гэж хялбар бутархайн нийлбэрт задарч байна.
- 17. • 𝑓 𝑥= 𝑃𝑚 𝑥 𝑄𝑛 𝑥 рационал функцийн тодорхой биш интегралыг бодох аргыг авч үзье. Өөрөөр хэлбэл, 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑃𝑚 𝑥 𝑄𝑛 𝑥 𝑑𝑥 интегралыг бодох аргыг авч үзье. 2А. 𝑃𝑚 𝑥 𝑄𝑛 𝑥 рационал функцийг интегралчлахын тулд хялбар бутархайнуудын интегралыг олоход хангалттай. 2. Рационал функцийн тодорхой биш интегралыг бодох арга
- 18. • I. 𝐴 𝑎𝑥+𝑏 хэлбэрийн хялбарбутархайг интегралчилъя. 𝐴 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 𝐴 ⋅ 1 𝑎 𝑎𝑥 + 𝑏 ′ 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 𝐴 𝑎 ∙ ln 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶. • II. 𝐴 (𝑎𝑥+𝑏)𝑘 хэлбэрийн хялбар бутархайг интегралчилъя. 𝐴 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘 𝑑𝑥 = 𝐴 ⋅ 1 𝑎 (𝑎𝑥 + 𝑏)−𝑘 (𝑎𝑥 + 𝑏)′𝑑𝑥 = 𝐴 𝑎 ⋅ 1 −𝑘 + 1 1 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘−1 + 𝐶. • III. 𝑀𝑥+𝑁 𝑥2+𝑝𝑥+𝑞 хэлбэрийн хялбар бутархайг интегралчилъя. 𝑀𝑥+𝑁 𝑥2+𝑝𝑥+𝑞 𝑑𝑥 = 𝑀 2 ln 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 + 2𝑁−𝑀𝑝 4𝑞−𝑝2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥+𝑝 4𝑞−𝑝2 + 𝐶.
- 19. Хялбар бутархай Хялбар бутархайн интегралынтомъёо I 𝐴 𝑎𝑥 + 𝑏 𝐴 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 𝐴 𝑎 ∙ ln|𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝐶 II 𝐴 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘 𝐴 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘 𝑑𝑥 = 𝐴 𝑎 ⋅ 1 −𝑘 + 1 1 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘−1 + 𝐶 III 𝑀𝑥 + 𝑁 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑀𝑥 + 𝑁 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑑𝑥 = 𝑀 2 ln(𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞) + 2𝑁 − 𝑀𝑝 4𝑞 − 𝑝2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥 + 𝑝 4𝑞 − 𝑝2 + 𝐶
- 20. 2Б. • Хэрэв 𝑚≥ 𝑛 байвал 𝑃𝑚(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) - ээс бүхэл хэсгийг ялгавал 𝑃𝑚(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) = 𝑆 𝑥 + 𝑅(𝑥) 𝑄𝑛(𝑥) = олон гишүүнт + 𝑃𝑚1 (𝑥) 𝑄𝑛1 (𝑥) (𝑚1 < 𝑛1) болно. • Бидний олох интеграл нь олон гишүүнтийн болон зөв рационал бутархайн интегралд шилжиж байна. • Олон гишүүнт түвэггүй интегралчлагдана.
- 21. Анхаарал хандуулан, хичээлийнагуулгыг бүрэн судалсан оюутан танд баярлалаа. Та бүхэн • Хичээлийн агуулгыг дэвтэртээ товчлон тэмдэглэл хийж, тэмдэглэл хийсэн хэсгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай. Цахим сургалтанд идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал илэрхийлье.