SlideShare a Scribd company logo
“Математик II” хичээл
Лекцийн сэдэв:
Тодорхой биш интеграл бодох
орлуулга болон хэсэгчлэн интегралчлах арга
Тодорхой биш интеграл бодох аргууд
• Функцийг тодорхой дүрмээр дифференциалчилдагийн адилаар
интегралчлах үйлдлийг гүйцэтгэх ерөнхий дүрмийг томъёолох
боломжгүй.
Гэхдээ интегралчлах үйлдлийг хялбарчлахын тулд
• орлуулга хийх буюу хувьсагч солих,
• хэсэгчлэн интегралчлах зэрэг аргыг хэрэглэнэ.
1. Тодорхой биш интеграл бодох орлуулгын арга
Тодорхойлолт:
• Интегралд шинэ хувьсагч оруулан өгсөн интегралыг хялбар
интегралд шилжүүлэх аргыг орлуулах буюу хувьсагч солих арга
гэнэ.
Тодорхой биш интеграл бодох орлуулгын арга нь дараах
томъёонуудад үндэслэнэ.
1А. 𝑓(𝑡)- тасралтгүй функц, 𝑡 = 𝜑(𝑥) тасралтгүй
дифференциалчлагдах бөгөөд утгын муж нь 𝑓(𝑡) функцийн
тодорхойлогдох мужид харъяалагддаг байг. Тэгвэл
𝑓 𝜑 𝑥 𝜑′
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶
томъёо хүчинтэй.
• 𝒕 = 𝝋 𝒙 орлуулга хийвэл
• түүний дифференциал 𝒅𝒕 = 𝝋′(𝒙)𝒅𝒙 болох тул
• 𝑓 𝜑 𝑥
𝑡
𝜑′
𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 интегралыг бодож,
• гарсан үр дүнд анхны 𝒕 = 𝝋 𝒙 орлуулгаа буцаан орлуулбал, интегралын
анхны 𝑥 хувьсагчтай үр дүн гарна.
1Б. 𝑥 = 𝜑(𝑡) ба 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝜑(𝑡))- тасралтгүй дифференциалчлагдах
функц байг.
Тэгвэл
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝜑 𝑡 𝜑′
𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶
томъёо хүчинтэй.
Иймд 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 интегралыг орлуулгын аргаар бодохдоо
• 𝑥 = 𝜑 𝑡 орлуулга хийвэл
• түүний дифференциал 𝑑𝑥 = 𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 болох тул
• 𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 интегралыг бодож,
• гарсан үр дүнд анхны хувьсагч 𝑥 -рүү 𝑡 = 𝜑−1
(𝑥) томъёогоор
шилжинэ.
Дээрх 2 томъёог тодорхой биш интегралд орлуулга хийх томъёо
гэнэ.
Жишээ: sin 3𝑥 𝑑𝑥 интегралыг бод.
Бодолт: Энд 𝑡 = 3𝑥 орлуулга хийвэл дифференциал нь
𝑑𝑡 = 𝜑 𝑥 ′ 𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 3𝑥 ′ 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑡 = 3 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 =
1
3
𝑑𝑡
буюу
𝑡 = 3𝑥, 𝑑𝑥 =
1
3
𝑑𝑡
орлуулгаар анхны интегралд хувиргалт хийж,
sin𝑡 𝑑𝑡 = − cos 𝑡 + 𝐶 томъёогоор бодолтыг гүйцэтгэвэл
sin 3𝑥 𝑑𝑥 = sin𝑡 ∙
1
3
𝑑𝑡 =
1
3
sin𝑡 𝑑𝑡 = −
1
3
cos𝑡 + 𝐶
болно.
Одоо 𝑡 хувьсагчийн оронд 𝑡 = 3𝑥 орлуулгаа буцаан орлуулж,
анхны 𝑥 хувьсагчид шилжвэл интеграл
sin 3𝑥 𝑑𝑥 = −
1
3
cos𝑡 + 𝐶 = −
1
3
cos3𝑥 + 𝐶.
2. Хэсэгчлэн интегралчлах арга
𝑢(𝑥), 𝑣(𝑥) функцүүд ямар нэг завсарт тасралтгүй
дифференциалчлагдах функцүүд байг.
• Тэгвэл 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣(𝑥) үржвэр функцийн уламжлал
𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥 ′
= 𝑢 𝑥 ′
⋅ 𝑣 𝑥 + 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥 ′
байна.
Одоо хоёр талаас нь интеграл авбал
𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥 ′
𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 ′
⋅ 𝑣 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥 ′
𝑑𝑥
буюу энэ тэнцэтгэлийн зүүн гар тал
𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥 ′
𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥
болно. Эндээс
𝑢 𝑥 𝑣′
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 − 𝑣 𝑥 𝑢′
𝑥 𝑑𝑥
томъёо хүчинтэй байна.
Товчоор бичвэл
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
томъёо хүчинтэй байна.
Энэ томъёог хэсэгчлэн интегралчлах томъёо гэж нэрлэдэг.
Санамж:
Хэсэгчлэн интегралчлах аргыг xэрэглэxдээ
• 𝑑𝑣-ээс интеграл аваx учир аль болоx xялбар интегралчлагдаx
xэсгийг,
• 𝑢-ээс дифференциал (уламжлал) аваx тул ямар ч xэсгийг сонгон
авч болоx юм.
• 𝑣𝑑𝑢 интеграл анхны интегралаас хялбарчлагдсан байхыг
бодолцох хэрэгтэй.
2А. Хэсэгчлэн интегралчлах арга
Дараах хэлбэрийн үржвэр функцийн
𝑝 𝑥 𝑒𝑥
𝑑𝑥, 𝑝 𝑥 cos𝑥𝑑𝑥, 𝑝(𝑥)sin𝑥𝑑𝑥
интегралууд 𝑝(𝑥) нь олон гишүүнт үед xэсэгчлэн интегралчлаx
аргаар бодогдоно.
Жишээ: 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥
𝑑𝑥 интегралыг бод.
Бодолт:
• 𝑑𝑣-ээс интеграл аваx учир аль болоx xялбар интегралчлагдаx
xэсгийг,
• 𝑢-ээс дифференциал аваx тул уламжлал авсаны дараа зэрэг нь буурах
xэсгийг сонгон авъя.
Иймд интеграл доорх илэрхийллийг
𝑢 𝑥 = 𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥
𝑑𝑥
гэж сонговол
𝒖 𝒙 = 𝒙 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑥′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟏𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥
𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥
𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 = 𝒆𝒙
болох тул
• хэсэгчлэн интегралчлах 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 томъёо болон
• 𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
+ 𝐶 томъёо ёсоор
𝑥 ⋅ 𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥
− 𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥
− 𝑒𝑥
+ 𝐶
буюу
𝑥 ⋅ 𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥
− 𝑒𝑥
+ 𝐶
болно.
Логарифм ба тригонометрийн урвуу функцийн тодорхой биш
интегралыг хэсэгчлэн интегралчлах арга ашиглан бодох тохиолдол
байдаг.
Санамж:
Интеграл доорх илэрхийлэл
• ln𝑥, log 𝑥 , arccos𝑥, arcsin𝑥, 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥, (arcsin𝑥)2
, (arccos𝑥)2
, (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)2
гэх мэтийн функцүүдийн аль нэгийг агуулсан бол хэсэгчлэн
интегралчлах томъёог хэрэглэхдээ уг функцийг 𝒖(𝒙)- ээр орлуулах
нь тохиромжтой.
2Б. Логарифм ба тригонометрийн урвуу функцийн тодорхой биш
интеграл бодох
Жишээ: ln𝑥 𝑑𝑥 интегралыг бод.
Бодолт:
Интеграл доорх илэрхийлэл ln𝑥 логарифм функц агуулсан тул
санамж ёсоор
𝑢 𝑥 = ln𝑥
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
гэж сонговол
𝒖 𝒙 = 𝒍𝒏𝒙 ⇒ 𝑑𝑢 = ln 𝑥 ′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 =
𝟏
𝒙
𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 = 𝒙
болох тул
• хэсэгчлэн интегралчлах 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 томъёо болон
• 𝑥𝑛
𝑑𝑥 =
1
𝑛+1
𝑥𝑛+1
+ 𝐶 томъёо ёсоор
𝑥 ⋅ ln𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ ln𝑥 − 𝑥 ⋅
1
𝑥
𝑑𝑥 =
= 𝑥 ⋅ ln𝑥 − 1𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ ln𝑥 − 𝑥 + 𝐶
буюу
ln𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ ln𝑥 − 𝑥 + 𝐶
байна.
Хэсэгчлэн интегралчлах аргыг дараалан хэрэглэх тохиолдол байдаг.
• 𝑥𝑛
-ийг дифференциалчлан зэргийг бууруулах эсвэл
• Хэсэгчлэн интегралчлах аргыг 2 удаа хэрэглэн анхны хэлбэрт
шилжүүлэн үр дүнгээ хувирган хялбарчлах арга өргөн
хэрэглэгддэг.
2В. Хэсэгчлэн интегралчлах аргыг дараалан хэрэглэх
• Хэсэгчлэн интегралчлах (Зэрэг бууруулах) арга
• Интегралын доорх функц 𝑥𝑛
хэлбэрийн функц агуулсан байвал
𝑥𝑛
-ийг дифференциалчлан зэргийг бууруулах замаар хэсэгчлэн
интегралчлах аргыг дараалан хэрэглэж интегралыг боддог.
Жишээ: 𝑥2
⋅ 𝑒5𝑥
𝑑𝑥 интегралыг бод.
Бодолт:
• 𝑢-ээс дифференциал аваx тул уламжлал авсны дараа зэрэг нь буурах
xэсгийг сонгон авъя.
Иймд интеграл доорх илэрхийллийг
𝑢 𝑥 = 𝑥2
𝑑𝑣 = 𝑒5𝑥
𝑑𝑥
гэж сонговол
𝒖 𝒙 = 𝒙𝟐
⇒ 𝑑𝑢 = 𝑥2
′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒5𝑥
𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑒5𝑥
𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 =
𝟏
𝟓
𝒆𝟓𝒙
болох тул
• хэсэгчлэн интегралчлах 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 томъёо болон
• 𝑒𝑎𝑥+𝑏
𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝑒𝑒𝑎𝑥+𝑏
+ 𝐶 томъёо ёсоор
𝑥2
⋅ 𝑒5𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥2
⋅
1
5
𝑒5𝑥
−
1
5
𝑒5𝑥
⋅ 2𝑥𝑑𝑥 =
=
1
5
𝑥2
𝑒5𝑥
−
2
5
𝑥𝑒5𝑥
𝑑𝑥
болно.
Сүүлийн интегралыг дахин хэсэгчлэн интегралчлах аргаар бодъё.
• 𝑥𝑒5𝑥
𝑑𝑥 =
𝒖 𝒙 = 𝒙 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑥 ′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟏𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒5𝑥
𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑒5𝑥
𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 =
𝟏
𝟓
𝒆𝟓𝒙 =
= 𝑥 ⋅
1
5
𝑒5𝑥
−
1
5
𝑒5𝑥
⋅ 1𝑑𝑥 =
1
5
𝑥𝑒5𝑥
−
1
5
𝑒5𝑥
𝑑𝑥 =
=
1
5
𝑥𝑒5𝑥
−
1
5
⋅
1
5
𝑒5𝑥
+ 𝐶.
Иймд анхны өгөгдсөн интеграл
• 𝑥2
⋅ 𝑒5𝑥
𝑑𝑥 =
1
5
𝑥2
𝑒5𝑥
−
2
5
𝑥𝑒5𝑥
𝑑𝑥 =
1
5
𝑥2
𝑒5𝑥
−
2
5
1
5
𝑥𝑒𝑥
−
1
5
⋅
• Хэсэгчлэн интегралчлах (Анхны хэлбэрт оруулах) арга
Хэсэгчлэн интегралчлах аргыг 2 удаа хэрэглэн үр дүнгээ хувирган
хялбарчилж, интегралыг анхны хэлбэрт шилжүүлэх аргаар
интегралыг боддог.
Жишээ: 𝑒𝑥
⋅ cos 3𝑥 𝑑𝑥 интегралыг бод.
Бодолт:
𝐽 = 𝑒𝑥
⋅ cos 3𝑥 𝑑𝑥 гэж тэмдэглэн хэсэгчлэн интегралчлах аргыг 2
удаа хэрэглэвэл
𝐽 = 𝑒𝑥
⋅ cos 3𝑥 𝑑𝑥 =
=
𝒖 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 ⇒ 𝑑𝑢 = cos 3𝑥 ′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 = −𝟑𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥
𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥
𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 = 𝒆𝒙 =
= 𝑒𝑥
⋅ cos 3𝑥 − 𝑒𝑥
−3 sin 3𝑥 𝑑𝑥 =
• 𝑒𝑥
⋅ cos 3𝑥 + 3 sin 3𝑥 ⋅ 𝑒𝑥
𝑑𝑥 =
𝒖 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 ⇒ 𝑑𝑢 = sin 3𝑥 ′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟑𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥
𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥
𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 = 𝒆𝒙 =
• = 𝑒𝑥
⋅ cos 3𝑥 + 3 𝑒𝑥
sin 3𝑥 − 𝑒𝑥
3 cos 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
⋅ cos 3𝑥 +
3𝑒𝑥
sin 3𝑥 − 3 𝑒𝑥
3 cos 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥
sin 3𝑥 −
9 𝑒𝑥
cos 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥
sin 3𝑥 − 9𝐽
болж интегралын бодолтын үр дүн анхны 𝐽 интегралыг агуулж
байна.
𝐽 = 𝑒𝑥
⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥
sin 3𝑥 − 9𝐽
илэрхийллээс 𝐽 интегралыг олъё.
• 𝐽 = 𝑒𝑥
⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥
sin 3𝑥 − 9𝐽
• 10𝐽 = 𝑒𝑥
⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥
sin 3𝑥
• 𝐽 =
1
10
𝑒𝑥
⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥
sin 3𝑥
• 𝐽 =
1
10
𝑒𝑥
cos 3𝑥 + 3 sin 3𝑥 + 𝐶.
Иймд анхны интегралыг бодоход
𝐽 =
1
10
𝑒𝑥
cos 3𝑥 + 3 sin 3𝑥 + 𝐶
үр дүн гарлаа.
Анхаарал хандуулан, хичээлийн агуулгыг бүрэн судалсан
оюутан танд баярлалаа.
Та бүхэн
• Хичээлийн агуулгыг дэвтэртээ товчлон тэмдэглэл хийж,
тэмдэглэл хийсэн хэсгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай.
Цахим сургалтанд идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал
илэрхийлье.

More Related Content

What's hot

MT102 Лекц 12
MT102 Лекц 12MT102 Лекц 12
MT102 Лекц 12
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 10
MT102 Лекц 10MT102 Лекц 10
MT102 Лекц 10
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 16
MT102 Лекц 16MT102 Лекц 16
MT102 Лекц 16
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 7
MT102 Лекц 7MT102 Лекц 7
MT102 Лекц 7
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 4
MT102 Лекц 4MT102 Лекц 4
MT102 Лекц 4
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 5
MT102 Лекц 5MT102 Лекц 5
MT102 Лекц 5
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 6
MT102 Лекц 6MT102 Лекц 6
MT102 Лекц 6
ssuser184df1
 
Basic calculus (ii) recap
Basic calculus (ii) recapBasic calculus (ii) recap
Basic calculus (ii) recap
Farzad Javidanrad
 
3 linear equations
3 linear equations3 linear equations
3 linear equations
elem-alg-sample
 
A course on integral calculus
A course on integral calculusA course on integral calculus
A course on integral calculus
GAURAV SAHA
 
Integral dalam Bahasa Inggris
Integral dalam Bahasa InggrisIntegral dalam Bahasa Inggris
Integral dalam Bahasa Inggris
immochacha
 
MCA_UNIT-2_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
MCA_UNIT-2_Computer Oriented Numerical Statistical MethodsMCA_UNIT-2_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
MCA_UNIT-2_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
Rai University
 
MCA_UNIT-1_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
MCA_UNIT-1_Computer Oriented Numerical Statistical MethodsMCA_UNIT-1_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
MCA_UNIT-1_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
Rai University
 
Specific topics in optimisation
Specific topics in optimisationSpecific topics in optimisation
Specific topics in optimisation
Farzad Javidanrad
 
Indefinite Integral
Indefinite IntegralIndefinite Integral
Indefinite Integral
Rich Elle
 
Lesson 9 transcendental functions
Lesson 9 transcendental functionsLesson 9 transcendental functions
Lesson 9 transcendental functions
Lawrence De Vera
 
Dld 4
Dld 4Dld 4
One solution for many linear partial differential equations with terms of equ...
One solution for many linear partial differential equations with terms of equ...One solution for many linear partial differential equations with terms of equ...
One solution for many linear partial differential equations with terms of equ...
Lossian Barbosa Bacelar Miranda
 
New Information on the Generalized Euler-Tricomi Equation
New Information on the Generalized Euler-Tricomi Equation New Information on the Generalized Euler-Tricomi Equation
New Information on the Generalized Euler-Tricomi Equation
Lossian Barbosa Bacelar Miranda
 
UMA MESMA SOLUÇÃO PARA MUITAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES DE ORDE...
UMA MESMA SOLUÇÃO PARA MUITAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES DE ORDE...UMA MESMA SOLUÇÃO PARA MUITAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES DE ORDE...
UMA MESMA SOLUÇÃO PARA MUITAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES DE ORDE...
Lossian Barbosa Bacelar Miranda
 

What's hot (20)

MT102 Лекц 12
MT102 Лекц 12MT102 Лекц 12
MT102 Лекц 12
 
MT102 Лекц 10
MT102 Лекц 10MT102 Лекц 10
MT102 Лекц 10
 
MT102 Лекц 16
MT102 Лекц 16MT102 Лекц 16
MT102 Лекц 16
 
MT102 Лекц 7
MT102 Лекц 7MT102 Лекц 7
MT102 Лекц 7
 
MT102 Лекц 4
MT102 Лекц 4MT102 Лекц 4
MT102 Лекц 4
 
MT102 Лекц 5
MT102 Лекц 5MT102 Лекц 5
MT102 Лекц 5
 
MT102 Лекц 6
MT102 Лекц 6MT102 Лекц 6
MT102 Лекц 6
 
Basic calculus (ii) recap
Basic calculus (ii) recapBasic calculus (ii) recap
Basic calculus (ii) recap
 
3 linear equations
3 linear equations3 linear equations
3 linear equations
 
A course on integral calculus
A course on integral calculusA course on integral calculus
A course on integral calculus
 
Integral dalam Bahasa Inggris
Integral dalam Bahasa InggrisIntegral dalam Bahasa Inggris
Integral dalam Bahasa Inggris
 
MCA_UNIT-2_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
MCA_UNIT-2_Computer Oriented Numerical Statistical MethodsMCA_UNIT-2_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
MCA_UNIT-2_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
 
MCA_UNIT-1_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
MCA_UNIT-1_Computer Oriented Numerical Statistical MethodsMCA_UNIT-1_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
MCA_UNIT-1_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
 
Specific topics in optimisation
Specific topics in optimisationSpecific topics in optimisation
Specific topics in optimisation
 
Indefinite Integral
Indefinite IntegralIndefinite Integral
Indefinite Integral
 
Lesson 9 transcendental functions
Lesson 9 transcendental functionsLesson 9 transcendental functions
Lesson 9 transcendental functions
 
Dld 4
Dld 4Dld 4
Dld 4
 
One solution for many linear partial differential equations with terms of equ...
One solution for many linear partial differential equations with terms of equ...One solution for many linear partial differential equations with terms of equ...
One solution for many linear partial differential equations with terms of equ...
 
New Information on the Generalized Euler-Tricomi Equation
New Information on the Generalized Euler-Tricomi Equation New Information on the Generalized Euler-Tricomi Equation
New Information on the Generalized Euler-Tricomi Equation
 
UMA MESMA SOLUÇÃO PARA MUITAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES DE ORDE...
UMA MESMA SOLUÇÃO PARA MUITAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES DE ORDE...UMA MESMA SOLUÇÃO PARA MUITAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES DE ORDE...
UMA MESMA SOLUÇÃO PARA MUITAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES DE ORDE...
 

Similar to MT102 Лекц 2

Integral calculus
Integral calculusIntegral calculus
Integral calculus
Farzad Javidanrad
 
Advanced-Differentiation-Rules.pdf
Advanced-Differentiation-Rules.pdfAdvanced-Differentiation-Rules.pdf
Advanced-Differentiation-Rules.pdf
KyleBrianSLumanglas
 
INTEGRATION.pptx
INTEGRATION.pptxINTEGRATION.pptx
INTEGRATION.pptx
SHANIKUMAR66
 
Lesson 10 techniques of integration
Lesson 10 techniques of integrationLesson 10 techniques of integration
Lesson 10 techniques of integration
Lawrence De Vera
 
Basic calculus (i)
Basic calculus (i)Basic calculus (i)
Basic calculus (i)
Farzad Javidanrad
 
Module 7 the antiderivative
Module 7  the antiderivativeModule 7  the antiderivative
Module 7 the antiderivative
REYEMMANUELILUMBA
 
Module 7 the antiderivative
Module 7  the antiderivativeModule 7  the antiderivative
Module 7 the antiderivative
REYEMMANUELILUMBA
 
BSC_COMPUTER _SCIENCE_UNIT-2_DISCRETE MATHEMATICS
BSC_COMPUTER _SCIENCE_UNIT-2_DISCRETE MATHEMATICSBSC_COMPUTER _SCIENCE_UNIT-2_DISCRETE MATHEMATICS
BSC_COMPUTER _SCIENCE_UNIT-2_DISCRETE MATHEMATICS
Rai University
 
Basic mathematics integration
Basic mathematics integrationBasic mathematics integration
Basic mathematics integrationMuhammad Luthfan
 
MT 102 Лекц 1
MT 102 Лекц 1MT 102 Лекц 1
MT 102 Лекц 1
ssuser184df1
 
Calculus Review Session Brian Prest Duke University Nicholas School of the En...
Calculus Review Session Brian Prest Duke University Nicholas School of the En...Calculus Review Session Brian Prest Duke University Nicholas School of the En...
Calculus Review Session Brian Prest Duke University Nicholas School of the En...
rofiho9697
 
Fortran chapter 2.pdf
Fortran chapter 2.pdfFortran chapter 2.pdf
Fortran chapter 2.pdf
JifarRaya
 
Intro. to computational Physics ch2.pdf
Intro. to computational Physics ch2.pdfIntro. to computational Physics ch2.pdf
Intro. to computational Physics ch2.pdf
JifarRaya
 
Rational function 11
Rational function 11Rational function 11
Rational function 11
AjayQuines
 
積分 (人間科学のための基礎数学)
積分 (人間科学のための基礎数学)積分 (人間科学のための基礎数学)
積分 (人間科学のための基礎数学)
Masahiro Okano
 
Deriving the inverse of a function2 (composite functions)
Deriving the inverse of a function2 (composite functions)Deriving the inverse of a function2 (composite functions)
Deriving the inverse of a function2 (composite functions)
Alona Hall
 
Statitical Inference Ch3 uncertainties .pptx
Statitical Inference Ch3 uncertainties .pptxStatitical Inference Ch3 uncertainties .pptx
Statitical Inference Ch3 uncertainties .pptx
JuankZBk
 
Page rank - from theory to application
Page rank - from theory to applicationPage rank - from theory to application
Page rank - from theory to application
GAYO3
 
Lecture-08.pdfOIOIEWIOOIEWOIEWEWIOQWRE23
Lecture-08.pdfOIOIEWIOOIEWOIEWEWIOQWRE23Lecture-08.pdfOIOIEWIOOIEWOIEWEWIOQWRE23
Lecture-08.pdfOIOIEWIOOIEWOIEWEWIOQWRE23
habibullahabed1
 
Integrales definidas y método de integración por partes
Integrales definidas y método de integración por partesIntegrales definidas y método de integración por partes
Integrales definidas y método de integración por partes
crysmari mujica
 

Similar to MT102 Лекц 2 (20)

Integral calculus
Integral calculusIntegral calculus
Integral calculus
 
Advanced-Differentiation-Rules.pdf
Advanced-Differentiation-Rules.pdfAdvanced-Differentiation-Rules.pdf
Advanced-Differentiation-Rules.pdf
 
INTEGRATION.pptx
INTEGRATION.pptxINTEGRATION.pptx
INTEGRATION.pptx
 
Lesson 10 techniques of integration
Lesson 10 techniques of integrationLesson 10 techniques of integration
Lesson 10 techniques of integration
 
Basic calculus (i)
Basic calculus (i)Basic calculus (i)
Basic calculus (i)
 
Module 7 the antiderivative
Module 7  the antiderivativeModule 7  the antiderivative
Module 7 the antiderivative
 
Module 7 the antiderivative
Module 7  the antiderivativeModule 7  the antiderivative
Module 7 the antiderivative
 
BSC_COMPUTER _SCIENCE_UNIT-2_DISCRETE MATHEMATICS
BSC_COMPUTER _SCIENCE_UNIT-2_DISCRETE MATHEMATICSBSC_COMPUTER _SCIENCE_UNIT-2_DISCRETE MATHEMATICS
BSC_COMPUTER _SCIENCE_UNIT-2_DISCRETE MATHEMATICS
 
Basic mathematics integration
Basic mathematics integrationBasic mathematics integration
Basic mathematics integration
 
MT 102 Лекц 1
MT 102 Лекц 1MT 102 Лекц 1
MT 102 Лекц 1
 
Calculus Review Session Brian Prest Duke University Nicholas School of the En...
Calculus Review Session Brian Prest Duke University Nicholas School of the En...Calculus Review Session Brian Prest Duke University Nicholas School of the En...
Calculus Review Session Brian Prest Duke University Nicholas School of the En...
 
Fortran chapter 2.pdf
Fortran chapter 2.pdfFortran chapter 2.pdf
Fortran chapter 2.pdf
 
Intro. to computational Physics ch2.pdf
Intro. to computational Physics ch2.pdfIntro. to computational Physics ch2.pdf
Intro. to computational Physics ch2.pdf
 
Rational function 11
Rational function 11Rational function 11
Rational function 11
 
積分 (人間科学のための基礎数学)
積分 (人間科学のための基礎数学)積分 (人間科学のための基礎数学)
積分 (人間科学のための基礎数学)
 
Deriving the inverse of a function2 (composite functions)
Deriving the inverse of a function2 (composite functions)Deriving the inverse of a function2 (composite functions)
Deriving the inverse of a function2 (composite functions)
 
Statitical Inference Ch3 uncertainties .pptx
Statitical Inference Ch3 uncertainties .pptxStatitical Inference Ch3 uncertainties .pptx
Statitical Inference Ch3 uncertainties .pptx
 
Page rank - from theory to application
Page rank - from theory to applicationPage rank - from theory to application
Page rank - from theory to application
 
Lecture-08.pdfOIOIEWIOOIEWOIEWEWIOQWRE23
Lecture-08.pdfOIOIEWIOOIEWOIEWEWIOQWRE23Lecture-08.pdfOIOIEWIOOIEWOIEWEWIOQWRE23
Lecture-08.pdfOIOIEWIOOIEWOIEWEWIOQWRE23
 
Integrales definidas y método de integración por partes
Integrales definidas y método de integración por partesIntegrales definidas y método de integración por partes
Integrales definidas y método de integración por partes
 

Recently uploaded

Supporting (UKRI) OA monographs at Salford.pptx
Supporting (UKRI) OA monographs at Salford.pptxSupporting (UKRI) OA monographs at Salford.pptx
Supporting (UKRI) OA monographs at Salford.pptx
Jisc
 
Introduction to Quality Improvement Essentials
Introduction to Quality Improvement EssentialsIntroduction to Quality Improvement Essentials
Introduction to Quality Improvement Essentials
Excellence Foundation for South Sudan
 
Additional Benefits for Employee Website.pdf
Additional Benefits for Employee Website.pdfAdditional Benefits for Employee Website.pdf
Additional Benefits for Employee Website.pdf
joachimlavalley1
 
Model Attribute Check Company Auto Property
Model Attribute  Check Company Auto PropertyModel Attribute  Check Company Auto Property
Model Attribute Check Company Auto Property
Celine George
 
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free downloadThe French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
Vivekanand Anglo Vedic Academy
 
Palestine last event orientationfvgnh .pptx
Palestine last event orientationfvgnh .pptxPalestine last event orientationfvgnh .pptx
Palestine last event orientationfvgnh .pptx
RaedMohamed3
 
1.4 modern child centered education - mahatma gandhi-2.pptx
1.4 modern child centered education - mahatma gandhi-2.pptx1.4 modern child centered education - mahatma gandhi-2.pptx
1.4 modern child centered education - mahatma gandhi-2.pptx
JosvitaDsouza2
 
special B.ed 2nd year old paper_20240531.pdf
special B.ed 2nd year old paper_20240531.pdfspecial B.ed 2nd year old paper_20240531.pdf
special B.ed 2nd year old paper_20240531.pdf
Special education needs
 
PART A. Introduction to Costumer Service
PART A. Introduction to Costumer ServicePART A. Introduction to Costumer Service
PART A. Introduction to Costumer Service
PedroFerreira53928
 
Sha'Carri Richardson Presentation 202345
Sha'Carri Richardson Presentation 202345Sha'Carri Richardson Presentation 202345
Sha'Carri Richardson Presentation 202345
beazzy04
 
Instructions for Submissions thorugh G- Classroom.pptx
Instructions for Submissions thorugh G- Classroom.pptxInstructions for Submissions thorugh G- Classroom.pptx
Instructions for Submissions thorugh G- Classroom.pptx
Jheel Barad
 
MARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptx
MARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptxMARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptx
MARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptx
bennyroshan06
 
Fish and Chips - have they had their chips
Fish and Chips - have they had their chipsFish and Chips - have they had their chips
Fish and Chips - have they had their chips
GeoBlogs
 
Sectors of the Indian Economy - Class 10 Study Notes pdf
Sectors of the Indian Economy - Class 10 Study Notes pdfSectors of the Indian Economy - Class 10 Study Notes pdf
Sectors of the Indian Economy - Class 10 Study Notes pdf
Vivekanand Anglo Vedic Academy
 
Polish students' mobility in the Czech Republic
Polish students' mobility in the Czech RepublicPolish students' mobility in the Czech Republic
Polish students' mobility in the Czech Republic
Anna Sz.
 
Unit 2- Research Aptitude (UGC NET Paper I).pdf
Unit 2- Research Aptitude (UGC NET Paper I).pdfUnit 2- Research Aptitude (UGC NET Paper I).pdf
Unit 2- Research Aptitude (UGC NET Paper I).pdf
Thiyagu K
 
The approach at University of Liverpool.pptx
The approach at University of Liverpool.pptxThe approach at University of Liverpool.pptx
The approach at University of Liverpool.pptx
Jisc
 
Language Across the Curriculm LAC B.Ed.
Language Across the  Curriculm LAC B.Ed.Language Across the  Curriculm LAC B.Ed.
Language Across the Curriculm LAC B.Ed.
Atul Kumar Singh
 
Ethnobotany and Ethnopharmacology ......
Ethnobotany and Ethnopharmacology ......Ethnobotany and Ethnopharmacology ......
Ethnobotany and Ethnopharmacology ......
Ashokrao Mane college of Pharmacy Peth-Vadgaon
 
2024.06.01 Introducing a competency framework for languag learning materials ...
2024.06.01 Introducing a competency framework for languag learning materials ...2024.06.01 Introducing a competency framework for languag learning materials ...
2024.06.01 Introducing a competency framework for languag learning materials ...
Sandy Millin
 

Recently uploaded (20)

Supporting (UKRI) OA monographs at Salford.pptx
Supporting (UKRI) OA monographs at Salford.pptxSupporting (UKRI) OA monographs at Salford.pptx
Supporting (UKRI) OA monographs at Salford.pptx
 
Introduction to Quality Improvement Essentials
Introduction to Quality Improvement EssentialsIntroduction to Quality Improvement Essentials
Introduction to Quality Improvement Essentials
 
Additional Benefits for Employee Website.pdf
Additional Benefits for Employee Website.pdfAdditional Benefits for Employee Website.pdf
Additional Benefits for Employee Website.pdf
 
Model Attribute Check Company Auto Property
Model Attribute  Check Company Auto PropertyModel Attribute  Check Company Auto Property
Model Attribute Check Company Auto Property
 
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free downloadThe French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
 
Palestine last event orientationfvgnh .pptx
Palestine last event orientationfvgnh .pptxPalestine last event orientationfvgnh .pptx
Palestine last event orientationfvgnh .pptx
 
1.4 modern child centered education - mahatma gandhi-2.pptx
1.4 modern child centered education - mahatma gandhi-2.pptx1.4 modern child centered education - mahatma gandhi-2.pptx
1.4 modern child centered education - mahatma gandhi-2.pptx
 
special B.ed 2nd year old paper_20240531.pdf
special B.ed 2nd year old paper_20240531.pdfspecial B.ed 2nd year old paper_20240531.pdf
special B.ed 2nd year old paper_20240531.pdf
 
PART A. Introduction to Costumer Service
PART A. Introduction to Costumer ServicePART A. Introduction to Costumer Service
PART A. Introduction to Costumer Service
 
Sha'Carri Richardson Presentation 202345
Sha'Carri Richardson Presentation 202345Sha'Carri Richardson Presentation 202345
Sha'Carri Richardson Presentation 202345
 
Instructions for Submissions thorugh G- Classroom.pptx
Instructions for Submissions thorugh G- Classroom.pptxInstructions for Submissions thorugh G- Classroom.pptx
Instructions for Submissions thorugh G- Classroom.pptx
 
MARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptx
MARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptxMARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptx
MARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptx
 
Fish and Chips - have they had their chips
Fish and Chips - have they had their chipsFish and Chips - have they had their chips
Fish and Chips - have they had their chips
 
Sectors of the Indian Economy - Class 10 Study Notes pdf
Sectors of the Indian Economy - Class 10 Study Notes pdfSectors of the Indian Economy - Class 10 Study Notes pdf
Sectors of the Indian Economy - Class 10 Study Notes pdf
 
Polish students' mobility in the Czech Republic
Polish students' mobility in the Czech RepublicPolish students' mobility in the Czech Republic
Polish students' mobility in the Czech Republic
 
Unit 2- Research Aptitude (UGC NET Paper I).pdf
Unit 2- Research Aptitude (UGC NET Paper I).pdfUnit 2- Research Aptitude (UGC NET Paper I).pdf
Unit 2- Research Aptitude (UGC NET Paper I).pdf
 
The approach at University of Liverpool.pptx
The approach at University of Liverpool.pptxThe approach at University of Liverpool.pptx
The approach at University of Liverpool.pptx
 
Language Across the Curriculm LAC B.Ed.
Language Across the  Curriculm LAC B.Ed.Language Across the  Curriculm LAC B.Ed.
Language Across the Curriculm LAC B.Ed.
 
Ethnobotany and Ethnopharmacology ......
Ethnobotany and Ethnopharmacology ......Ethnobotany and Ethnopharmacology ......
Ethnobotany and Ethnopharmacology ......
 
2024.06.01 Introducing a competency framework for languag learning materials ...
2024.06.01 Introducing a competency framework for languag learning materials ...2024.06.01 Introducing a competency framework for languag learning materials ...
2024.06.01 Introducing a competency framework for languag learning materials ...
 

MT102 Лекц 2

  • 1. “Математик II” хичээл Лекцийн сэдэв: Тодорхой биш интеграл бодох орлуулга болон хэсэгчлэн интегралчлах арга
  • 2. Тодорхой биш интеграл бодох аргууд • Функцийг тодорхой дүрмээр дифференциалчилдагийн адилаар интегралчлах үйлдлийг гүйцэтгэх ерөнхий дүрмийг томъёолох боломжгүй. Гэхдээ интегралчлах үйлдлийг хялбарчлахын тулд • орлуулга хийх буюу хувьсагч солих, • хэсэгчлэн интегралчлах зэрэг аргыг хэрэглэнэ.
  • 3. 1. Тодорхой биш интеграл бодох орлуулгын арга Тодорхойлолт: • Интегралд шинэ хувьсагч оруулан өгсөн интегралыг хялбар интегралд шилжүүлэх аргыг орлуулах буюу хувьсагч солих арга гэнэ.
  • 4. Тодорхой биш интеграл бодох орлуулгын арга нь дараах томъёонуудад үндэслэнэ. 1А. 𝑓(𝑡)- тасралтгүй функц, 𝑡 = 𝜑(𝑥) тасралтгүй дифференциалчлагдах бөгөөд утгын муж нь 𝑓(𝑡) функцийн тодорхойлогдох мужид харъяалагддаг байг. Тэгвэл 𝑓 𝜑 𝑥 𝜑′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 томъёо хүчинтэй. • 𝒕 = 𝝋 𝒙 орлуулга хийвэл • түүний дифференциал 𝒅𝒕 = 𝝋′(𝒙)𝒅𝒙 болох тул • 𝑓 𝜑 𝑥 𝑡 𝜑′ 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 интегралыг бодож, • гарсан үр дүнд анхны 𝒕 = 𝝋 𝒙 орлуулгаа буцаан орлуулбал, интегралын анхны 𝑥 хувьсагчтай үр дүн гарна.
  • 5. 1Б. 𝑥 = 𝜑(𝑡) ба 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝜑(𝑡))- тасралтгүй дифференциалчлагдах функц байг. Тэгвэл 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝜑 𝑡 𝜑′ 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 томъёо хүчинтэй. Иймд 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 интегралыг орлуулгын аргаар бодохдоо • 𝑥 = 𝜑 𝑡 орлуулга хийвэл • түүний дифференциал 𝑑𝑥 = 𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 болох тул • 𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 интегралыг бодож, • гарсан үр дүнд анхны хувьсагч 𝑥 -рүү 𝑡 = 𝜑−1 (𝑥) томъёогоор шилжинэ.
  • 6. Дээрх 2 томъёог тодорхой биш интегралд орлуулга хийх томъёо гэнэ. Жишээ: sin 3𝑥 𝑑𝑥 интегралыг бод. Бодолт: Энд 𝑡 = 3𝑥 орлуулга хийвэл дифференциал нь 𝑑𝑡 = 𝜑 𝑥 ′ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 3𝑥 ′ 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑡 = 3 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 = 1 3 𝑑𝑡 буюу 𝑡 = 3𝑥, 𝑑𝑥 = 1 3 𝑑𝑡 орлуулгаар анхны интегралд хувиргалт хийж,
  • 7. sin𝑡 𝑑𝑡 = − cos 𝑡 + 𝐶 томъёогоор бодолтыг гүйцэтгэвэл sin 3𝑥 𝑑𝑥 = sin𝑡 ∙ 1 3 𝑑𝑡 = 1 3 sin𝑡 𝑑𝑡 = − 1 3 cos𝑡 + 𝐶 болно. Одоо 𝑡 хувьсагчийн оронд 𝑡 = 3𝑥 орлуулгаа буцаан орлуулж, анхны 𝑥 хувьсагчид шилжвэл интеграл sin 3𝑥 𝑑𝑥 = − 1 3 cos𝑡 + 𝐶 = − 1 3 cos3𝑥 + 𝐶.
  • 8. 2. Хэсэгчлэн интегралчлах арга 𝑢(𝑥), 𝑣(𝑥) функцүүд ямар нэг завсарт тасралтгүй дифференциалчлагдах функцүүд байг. • Тэгвэл 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣(𝑥) үржвэр функцийн уламжлал 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥 ′ = 𝑢 𝑥 ′ ⋅ 𝑣 𝑥 + 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥 ′ байна. Одоо хоёр талаас нь интеграл авбал 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥 ′ 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 ′ ⋅ 𝑣 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥 ′ 𝑑𝑥 буюу энэ тэнцэтгэлийн зүүн гар тал
  • 9. 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥 ′ 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥 болно. Эндээс 𝑢 𝑥 𝑣′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 − 𝑣 𝑥 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑥 томъёо хүчинтэй байна. Товчоор бичвэл 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 томъёо хүчинтэй байна. Энэ томъёог хэсэгчлэн интегралчлах томъёо гэж нэрлэдэг.
  • 10. Санамж: Хэсэгчлэн интегралчлах аргыг xэрэглэxдээ • 𝑑𝑣-ээс интеграл аваx учир аль болоx xялбар интегралчлагдаx xэсгийг, • 𝑢-ээс дифференциал (уламжлал) аваx тул ямар ч xэсгийг сонгон авч болоx юм. • 𝑣𝑑𝑢 интеграл анхны интегралаас хялбарчлагдсан байхыг бодолцох хэрэгтэй.
  • 11. 2А. Хэсэгчлэн интегралчлах арга Дараах хэлбэрийн үржвэр функцийн 𝑝 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥, 𝑝 𝑥 cos𝑥𝑑𝑥, 𝑝(𝑥)sin𝑥𝑑𝑥 интегралууд 𝑝(𝑥) нь олон гишүүнт үед xэсэгчлэн интегралчлаx аргаар бодогдоно.
  • 12. Жишээ: 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 интегралыг бод. Бодолт: • 𝑑𝑣-ээс интеграл аваx учир аль болоx xялбар интегралчлагдаx xэсгийг, • 𝑢-ээс дифференциал аваx тул уламжлал авсаны дараа зэрэг нь буурах xэсгийг сонгон авъя. Иймд интеграл доорх илэрхийллийг 𝑢 𝑥 = 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 гэж сонговол 𝒖 𝒙 = 𝒙 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑥′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟏𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 = 𝒆𝒙 болох тул
  • 13. • хэсэгчлэн интегралчлах 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 томъёо болон • 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 томъёо ёсоор 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 буюу 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 болно.
  • 14. Логарифм ба тригонометрийн урвуу функцийн тодорхой биш интегралыг хэсэгчлэн интегралчлах арга ашиглан бодох тохиолдол байдаг. Санамж: Интеграл доорх илэрхийлэл • ln𝑥, log 𝑥 , arccos𝑥, arcsin𝑥, 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥, (arcsin𝑥)2 , (arccos𝑥)2 , (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)2 гэх мэтийн функцүүдийн аль нэгийг агуулсан бол хэсэгчлэн интегралчлах томъёог хэрэглэхдээ уг функцийг 𝒖(𝒙)- ээр орлуулах нь тохиромжтой. 2Б. Логарифм ба тригонометрийн урвуу функцийн тодорхой биш интеграл бодох
  • 15. Жишээ: ln𝑥 𝑑𝑥 интегралыг бод. Бодолт: Интеграл доорх илэрхийлэл ln𝑥 логарифм функц агуулсан тул санамж ёсоор 𝑢 𝑥 = ln𝑥 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 гэж сонговол 𝒖 𝒙 = 𝒍𝒏𝒙 ⇒ 𝑑𝑢 = ln 𝑥 ′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 = 𝒙 болох тул • хэсэгчлэн интегралчлах 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 томъёо болон • 𝑥𝑛 𝑑𝑥 = 1 𝑛+1 𝑥𝑛+1 + 𝐶 томъёо ёсоор
  • 16. 𝑥 ⋅ ln𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ ln𝑥 − 𝑥 ⋅ 1 𝑥 𝑑𝑥 = = 𝑥 ⋅ ln𝑥 − 1𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ ln𝑥 − 𝑥 + 𝐶 буюу ln𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ ln𝑥 − 𝑥 + 𝐶 байна.
  • 17. Хэсэгчлэн интегралчлах аргыг дараалан хэрэглэх тохиолдол байдаг. • 𝑥𝑛 -ийг дифференциалчлан зэргийг бууруулах эсвэл • Хэсэгчлэн интегралчлах аргыг 2 удаа хэрэглэн анхны хэлбэрт шилжүүлэн үр дүнгээ хувирган хялбарчлах арга өргөн хэрэглэгддэг. 2В. Хэсэгчлэн интегралчлах аргыг дараалан хэрэглэх
  • 18. • Хэсэгчлэн интегралчлах (Зэрэг бууруулах) арга • Интегралын доорх функц 𝑥𝑛 хэлбэрийн функц агуулсан байвал 𝑥𝑛 -ийг дифференциалчлан зэргийг бууруулах замаар хэсэгчлэн интегралчлах аргыг дараалан хэрэглэж интегралыг боддог.
  • 19. Жишээ: 𝑥2 ⋅ 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 интегралыг бод. Бодолт: • 𝑢-ээс дифференциал аваx тул уламжлал авсны дараа зэрэг нь буурах xэсгийг сонгон авъя. Иймд интеграл доорх илэрхийллийг 𝑢 𝑥 = 𝑥2 𝑑𝑣 = 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 гэж сонговол 𝒖 𝒙 = 𝒙𝟐 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑥2 ′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 = 𝟏 𝟓 𝒆𝟓𝒙 болох тул
  • 20. • хэсэгчлэн интегралчлах 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 томъёо болон • 𝑒𝑎𝑥+𝑏 𝑑𝑥 = 1 𝑎 𝑒𝑒𝑎𝑥+𝑏 + 𝐶 томъёо ёсоор 𝑥2 ⋅ 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 ⋅ 1 5 𝑒5𝑥 − 1 5 𝑒5𝑥 ⋅ 2𝑥𝑑𝑥 = = 1 5 𝑥2 𝑒5𝑥 − 2 5 𝑥𝑒5𝑥 𝑑𝑥 болно. Сүүлийн интегралыг дахин хэсэгчлэн интегралчлах аргаар бодъё.
  • 21. • 𝑥𝑒5𝑥 𝑑𝑥 = 𝒖 𝒙 = 𝒙 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑥 ′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟏𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 = 𝟏 𝟓 𝒆𝟓𝒙 = = 𝑥 ⋅ 1 5 𝑒5𝑥 − 1 5 𝑒5𝑥 ⋅ 1𝑑𝑥 = 1 5 𝑥𝑒5𝑥 − 1 5 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 = = 1 5 𝑥𝑒5𝑥 − 1 5 ⋅ 1 5 𝑒5𝑥 + 𝐶. Иймд анхны өгөгдсөн интеграл • 𝑥2 ⋅ 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 = 1 5 𝑥2 𝑒5𝑥 − 2 5 𝑥𝑒5𝑥 𝑑𝑥 = 1 5 𝑥2 𝑒5𝑥 − 2 5 1 5 𝑥𝑒𝑥 − 1 5 ⋅
  • 22. • Хэсэгчлэн интегралчлах (Анхны хэлбэрт оруулах) арга Хэсэгчлэн интегралчлах аргыг 2 удаа хэрэглэн үр дүнгээ хувирган хялбарчилж, интегралыг анхны хэлбэрт шилжүүлэх аргаар интегралыг боддог.
  • 23. Жишээ: 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 𝑑𝑥 интегралыг бод. Бодолт: 𝐽 = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 𝑑𝑥 гэж тэмдэглэн хэсэгчлэн интегралчлах аргыг 2 удаа хэрэглэвэл 𝐽 = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 𝑑𝑥 = = 𝒖 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 ⇒ 𝑑𝑢 = cos 3𝑥 ′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 = −𝟑𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 = 𝒆𝒙 = = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 − 𝑒𝑥 −3 sin 3𝑥 𝑑𝑥 =
  • 24. • 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3 sin 3𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝒖 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 ⇒ 𝑑𝑢 = sin 3𝑥 ′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟑𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 = 𝒆𝒙 = • = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3 𝑒𝑥 sin 3𝑥 − 𝑒𝑥 3 cos 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥 sin 3𝑥 − 3 𝑒𝑥 3 cos 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥 sin 3𝑥 − 9 𝑒𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥 sin 3𝑥 − 9𝐽 болж интегралын бодолтын үр дүн анхны 𝐽 интегралыг агуулж байна. 𝐽 = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥 sin 3𝑥 − 9𝐽 илэрхийллээс 𝐽 интегралыг олъё.
  • 25. • 𝐽 = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥 sin 3𝑥 − 9𝐽 • 10𝐽 = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥 sin 3𝑥 • 𝐽 = 1 10 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥 sin 3𝑥 • 𝐽 = 1 10 𝑒𝑥 cos 3𝑥 + 3 sin 3𝑥 + 𝐶. Иймд анхны интегралыг бодоход 𝐽 = 1 10 𝑒𝑥 cos 3𝑥 + 3 sin 3𝑥 + 𝐶 үр дүн гарлаа.
  • 26. Анхаарал хандуулан, хичээлийн агуулгыг бүрэн судалсан оюутан танд баярлалаа. Та бүхэн • Хичээлийн агуулгыг дэвтэртээ товчлон тэмдэглэл хийж, тэмдэглэл хийсэн хэсгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай. Цахим сургалтанд идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал илэрхийлье.