1. 1
MODUL PEMBELAJARAN
MATERI : GEOMETRI DIMENSI TIGA
KELAS/SEM : X/ 2
STANDAR KOMPETENSI:
Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam
ruang dimensi tiga.
KOMPETENSI DASAR:
1. Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga
2. Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga
3. Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang
dimensi tiga
KEGIATAN PEMBELAJARAN:
Setelah mempelajari tentang geometri dimensi tiga, siswa diharapkan dapat:
1. Menentukan kedudukan titik dan garis dalam ruang
2. Menentukan kedudukan titik dan bidang dalam ruang
3. Menentukan kedudukan antara dua garis dalam ruang
4. Menentukan kedudukan garis dan bidang dalam ruang
5. Menentukan kedudukan antara dua bidang dalam ruang
6. Menentukan jarak titik dan garis dalam ruang
7. Menentukan jarak titik dan bidang dalam ruang
8. Menentukan jarak antara dua garis dalam ruang
9. Menentukan besar sudut antara dua garis dalam ruang
10. Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dalam ruang
11. Menentukan besar sudut antara dua bidang dalam ruang

2. 2
GEOMETRI DIMENSI TIGA
Sebelum mempelajari tetang geometri dimensi tiga, terlebih dahulu kerjakan soal berikut.
PRETEST
1. Tentukan volume balok dengan panjang 10 cm, lebar 8 cm, dan tinggi 5 cm.
2. Tentukan volume tabung dengan panjang jari-jari lingkaran alasnya 3,5 cm dan
tingginya 20 cm.
3. Tentukan luas permukaan tabung yang jari-jari lingkaran alasnya 7 cm, dan tinggi
tabung 5 cm.
A. Kedudukan titik dan garis dalam ruang
Kedudukan suatu titik terhadap garis dapat dibedakan menjadi dua macam:
1. Titik terletak pada garis
Suatu titik terletak pada garis apabila titik tersebut dilalui oleh garis. Untuk lebih
jelasnya perhatikan gambar berikut.
g
P
Titik P terletak pada garis g
2. Titik terletak di luar garis
Suatu titik terletak di luas garis apabila titik tersebut tidak dilalui oleh garis. Untuk lebih
jelasnya perhatikan gambar berikut.
g
Q
Titik Q terletak di luar garis g
Soal:
Perhatikan gambar berikut.
Gambar 1.
H G
E F
D C
A B
Tentukan :
1. Titik yang terletak pada garis AB!
2. Titik yang terletak di luar garis AB!
3. Titik yang terletak pada garis EH!
4. Titik yang terletak di luar garis CG!
B. Kedudukan titik dan bidang dalam ruang
Kedudukan suatu titik terhadap bidang dibebakan menjadi dua macam.
1. Titik terletak pada bidang
Suatu titik terletak pada bidang 𝛼 apabila titik tersebut dilalui bidang 𝛼.
Gambar 2
C
𝛼
A B

3. 3
Dari gambar 2 titik A, B terletak pada bidang 𝛼
2. Titik terletak di luar bidang
Suatu titik terletak pada bidang 𝛼 apabila titik tersebut dilalui bidang 𝛼.
Dari gambar 2 titik C terletak di luar bidang 𝛼.
Soal:
Perhatikan gambar berikut.
Gambar 3.
W V
T U
S R
P Q
Tentukan :
1. Titik yang terletak pada bidang PQUT!
2. Titik yang terletak pada bidang PQRS!
3. Titik yang terletak di luar bidang TUVW!
4. Titik yang terletak di luar bidang PSWT!
C. Kedudukan antara dua garis dalam ruang
Kedudukan antara dua garis atau lebih dalam suatu ruang ada tiga kemungkinan yaitu dua
garis sejajar, dua garis berpotongan, dan dua garis bersilangan.
1. Dua garis sejajar
Dua garis dalam ruang dikatakan sejajar apabila kedua garis tersebut sebidang dan
tidak mempunyai titik persekutuan.
Garis k dan garis l sejajar dinotasikan dengan k // l.
Dari gambar 3, garis PQ sejajar dengan garis TU, PQ sejajar SR.
Garis PS sejajar dengan.....
Garis TW sejajar dengan....
2. Dua garis berpotongan
Dua garis dalam ruang dikatakan berpotongan jika kedua garis tersebut terletak
sebidang dan keduanya memiliki tepat satu titik persekutuan.
Dari gambar 3, garis PQ berpotongan dengan garis QR, QU, PT, dan PS.
Garis SR berpotongan dengan garis......
Garis VW berpotongan dengan garis.....
3. Dua garis bersilangan
Dua garis dalam ruang dikatakan bersilangan apabila kedua garis tersebut tidak
sebidang, tidak sejajar, dan tidak memiliki titik persekutuan.
Pada gambar 3, garis PT bersilangan dengan garis VW, UV.
Garis PQ bersilangan dengan garis....
Garis QU bersilangan dengan garis....
D. Kedudukan garis dan bidang dalam ruang
Kedudukan garis terhadap bidang ada tiga macam, yaitu garis sejajar bidang, garis
berpotongan dengan bidang, dan garis terletak pada bidang.
1. Garis sejajar dengan bidang
Suatu garis sejajar dengan bidang apabila garis tersebut dengan bidang tidak
mempunyai titik persekutuan.
Contoh:
Pada gambar 3, garis PQ sejajar dengan bidang TUVW.
Garis QR sejajar dengan bidang....

4. 4
Garis VW sejajar dengan bidang....
Garis PS sejajar dengan bidang....
2. Garis berpotongan dengan bidang
Suatu garis memotong atau menembus suatu bidang apabila garis dengan bidang
tersebut mempunyai tepat satu titik persekutuan.
Gambar 4
g
𝛽
Perhatikan gambar berikut.
Gambar 5.
H G
E F
D C
A B
Garis AB berpotongan dengan bidang BCGF, ADHE.
Garis BF berpotongan dengan bidang.....
Garis BC berpotongan dengan bidang....
Garis GH berpotongan dengan bidang....
3. Garis terletak pada bidang
Suatu garis terletak pada bidang apabila setiap titik yang terletak pada garis juga
terletak pada bidang. Secara jelas digambarkan sebagai berikut.
Gambar 6
g
𝛽
Pada gambar 5, garis AB terletak pada bidang ABCD, ABFE.
Garis EH terletak pada bidang....
Garis CG terletak pada bidang....
Garis BC terletak pada bidang....
E. Menentukan kedudukan antara dua bidang dalam ruang
Kedudukan antara dua bidang dalam ruang dapat dibedakan menjadi tiga kemungkinan
yaitu: kedua bidang sejajar, berpotongan, dan kedua bidang berhimpit.
1. Dua bidang sejajar
Dua bidang dalam ruang dikatakan sejajar apabila kedua bidang tersebut tidak
mempunyai garis persekutuan.
Pada gambar 5, bidang ABCD sejajar dengan bidang EFGH.
Bidang ADHE sejajar dengan bidang....
Bidang ABFE sejajar dengan bidang....
2. Dua bidang berpotongan
Dua bidang dalam ruang saling berpotongan apabila kedua bidang tersebut mempunyai
tepat satu garis persekutuan. Perhatikan gambar berikut.

5. 5
gambar 7
garis potong ( , )
Pada gambar 5,
Bidang ABCD berpotongan dengan bidang ABFE dengan garis potongnya AB,
Bidang ABCD berpotongan dengan bidang BCGFdengan garis potongnya garis BC
Bidang ABCD berpotongan dengan bidang ..... dengan garis potongnya garis....
Bidang BCGF berpotongan dengan bidang .... dengan garis potongnya garis....
Bidang BCGF berpotongan dengan bidang .... dengan garis potongnya garis....
Bidang BCGF berpotongan dengan bidang .... dengan garis potongnya garis....
3. Dua bidang berhimpit
Dua bidang dalam ruang dikatakan berhimpit apabila setiap titik pada bidang yang satu
juga terletak pada bidang yang lainnya. Perhatikan gambar berikut.
Gambar 8
Soal:
Perhatikan gambar berikut.
W V
T U
S R
P Q
Tentukan:
1. Titik yang dilalui garis TU.
2. Garis yang sejajar dengan garis PQ.
3. Garis yang bersilangan dengan garis QR.
4. Garis yang berpotongan dengan garis PS.
5. Garis yang memotong bidang QRVU.
6. Bidang yang sejajar dengan bidang PQRS.
7. Bidang yang berpotongan dengan bidang TUVW dan garis potongnya.

6. 6
F. Menentukan jarak titik dan garis dalam ruang
Perhatikan gambar berikut.
Gambar 9
A
g
P
Jarak antara titik A dan garis g adalah panjang ruas garis AP, titik P terletak pada garis g
sehingga AP tegak lurus g (lihat gambar 9).
Untuk mendapatkan jarak dari suatu titik ke garis dengan langkah-langkah:
1. Lukislah bidang yang melalui garis dan titik.
2. Tariklah garis dari titik ke garis sehingga diperoleh garis yang tegak lurus dengan garis
yang dimaksud. (dari gambar 9, panjang garis AP adalah jarak antara titik A dengan
garis g)
Contoh soal:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah:
a. Jarak antara titik A dengan garis BD
b. Jarak antara titik A dengan garis EG.
Jawab:
H G
E F
D C
A B
a. jarak titik A ke garis BD yaitu tarik garis dari titik A dan tegak lurus BD.
Jarak titik A ke garis BD adalah
1
2
panjang AC =
1
2
. 6√2 = 3√2 cm.
b. Jarak titik A ke garis EG adalah panjang garis AE sehingga jarak titik A ke garis EG
adalah 6 cm.
Soal:
1. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH pada contoh soal diatas.
Tentukan:
a. Jarak titik B ke garis CH
b. Jarak titik A ke garis FH
2. Limas beraturan T.ABCD dengan panjang AB= 4 cm dan panjang rusuk tegak TA = 6 cm.
Tentukan jarak:
a. Titik T ke garis AB c. Titik A ke garis TC
b. Titik T ke garis AC d. Titik B ke garis TD
3. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 8 cm, BC = 4 cm, dan AE = 6 cm.
Tentukan:
a. Jarak titik A ke bidang CDHG
b. Jika titik T adalah titik potong diagonal AC dan BD, tentukan jarak titik T ke bidang
ABFE.

7. 7
G. Menentukan jarak titik dan bidang dalam ruang
Sebelum mempelajari tentang jarak titik terhadap bidang, perlu diketahui terlebih dahulu
tentang pengertian dari proyeksi titik pada bidang.
 Definisi
Jarak antara titik ke bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus menghubungkan
titik tersebut dengan bidang.
Suatu garis tegak lurus dengan bidang, jika dan hanya jika garis tersebut tegak lurus
pada dua garis lurus yang melalui titik potong garis dengan bidang. (lihat gambar 10)
Perhatikan ilustrasi berikut.
Misalkan titik P adalah suatu benda yang akan dijatuhkan ke bidang (misalkan lantai, titik
P’ adalah tempat benda yang jatuh saat menyentuh lantai (bidang 𝛼 ) dan garis g adalah
garis yang dilalui benda saat dilepaskan. Maka titik P adalah titik yang diproyeksikan dan
titik P’ adalah merupakan titik hasil proyeksi, garis g adalah garis yang memproyeksikan
(proyektor), dan lantai (bidang 𝛼 ) adalah bidang proyeksi. Atau dapat digambarkan
sebagai berikut.
Gambar 10
P
𝛼 P’
Dari gambar tersebut menggambarkan bahwa jarak titik P ke P’ merupakan jarak titik ke
bidang.
Contoh:
Perhatikan limas T.ABCD dengan panjang AB = BD = 2 cm dan TB = TD= 4 cm berikut.
T
D T’ C
A B
Jarak titik T ke bidang ABCD merupakan proyeksi titik T ke bidang ABCD dengan proyeksi
titik T yaitu T’ sehingga panjang TT’ adalah:
TT’ = √𝑇𝐶2 − 𝑇′ 𝐶2 dengan 𝑇′ 𝐶 =
1
2
𝐴𝐶 =
1
2
√𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 =
1
2
√22 + 22 =
1
2
.2√2 = √2
=√42 − (√2)
2
= √16 − 2 = √14 cm
Jadi jarak titik T ke bidang ABCD adalah √14 cm.
Soal:
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Tentukan jarak titik B ke
bidang ACF.
H G
E F
D C
A B

8. 8
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Titik P adalah titik potong
diagonal AC dan BD, sedangkan titik Q adalah titik potong diagonal EG dan FH.
Tentukan jarak:
a. Titik P ke bidang BCGF;
b. Titik H ke bidang ACF;
H. Menentukan jarak antara garis dengan garis dan garis ke bidang
Jarak antara garis dengan garis dibedakan menjadi:
a. Jarak antara dua garis yang sejajar
Jarak antara dua garis yang sejajar adalah jarak antara setiap titik pada garis yang satu
dengan proyeksinya pada garis yang lain. Untuk menentukan jarak antara dua garis
yang sejajar perhatikan gambar berikut.
Gambar 11
m
P k
𝛼 Q l
Penjelasan dari gambar 11 adalah:
1. Misalkan gari k sejajar garis l (k // l )
2. Buatlah bidang yang melalui garis k dan l (misalnya bidang 𝛼 )
3. Buatlah garis m yang memotong tegak lurus garis k di titik P dan garis l di titik Q.
Titik Q merupakan proyeksi titik P pada garis l.
4. Jarak antara garis k dan l sama dengan | 𝑃𝑄|
b. Jarak antara dua garis yang yang bersilangan
Perhatikan gambar berikut.
Gambar 12
P
Q h g
𝛼 g’
dari gambar 12, garis g dan h bersilangan, maka jarak antara garis g dan garis h sama
dengan jarak garis g dengan bidang yang sejajar garis g dan memuat garis h. Jarak
antara garis g dan garis h sama dengan jarak antara garis g dengan bidang 𝛼 yaitu
panjang PQ (| 𝑃𝑄|).
 Definisi
Jadi, jarak antara dua garis sejajar atau bersilangan adalah panjang ruas garis yang
tegak lurus terhadap kedua garis tersebut.
Jarak antara garis ke bidang yang sejajar
 Definisi
Jarak antara garis ke bidang yang saling sejajar adalah panjang ruas garis yang
masing-masing tegak lurus terhadap garis dan bidang tersebut.

9. 9
Perhatikan gambar berikut.
Gambar 13
P l
h
Q l’
𝛼
Untuk menentukan jarak antara garis l dengan bidang 𝛼 melalui langkah-langkah sbb:
1. Ambillah sembarang titik P pada garis l
2. Buatlah garis h yang melalui titik P dan tegak lurus bidang 𝛼 sehingga garis h
menembus bidang 𝛼 di titik Q. Titik Q merupakan proyeksi titik P pada bidang 𝛼.
3. Jarak antara garis l dengan bidang 𝛼 sama dengan panjang PQ (| 𝑃𝑄|).
I. Jarak antara bidang ke bidang
 Definisi
Jarak antara dua bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap dua
bidang tersebut.
Perhatikan gambar berikut.
gambar 14
l
P
Q
Jarak antara dua bidang adalah jarak antara setiap titik pada bidang pertama dengan
setiap titik pada bidang kedua yang merupakan proyeksinya masing-masing. Langkah-
langkah untuk menentukan jarak antara dua bidang yang sejajar adalah sebagai
berikut.
1. Ambil sembarang titik (misal titik P pada bidang 𝛼)
2. Buatlah garis l yang melalui titik P dan tegak lurus bidang 𝛽 sehingga garis l
menembus bidang 𝛽 di titik Q. Titik Q merupakan proyeksi titik P pada bidang 𝛽.
3. Jarak antara bidang 𝛼 dengan bidang 𝛽 sama dengan panjang PQ.
Soal:
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan:
a. Jarak antara AF dengan CDHG
b. Jarak antara EG dengan ABCD
c. Jarak antara titik E dengan ABGH
2. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 6 cm, BC = 4 cm, dan BF = 8 cm.
Hitunglah jarak antara:
a. Garis AB dan HG
b. Garis AC dan bidang EFGH
c. Bidang ABFE dan bidang DCGH

10. 10
J. Menentukan besar sudut antara dua garis
Untuk menentukan besar sudut antara dua garis, perhatikan gambar berikut.
Gambar 15
k
P
𝜃 l
O P’
Langkah-langkah untuk menentukan sudut antara dua garis dalam ruang sebagai berikut:
1. Ambil sembarang titik pada garis k (misal titik P)
2. Proyeksikan titik P ke garis l (misal titik P’)
3. Besar sudut antara dua garis adalah ∠ POP’.
K. Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dalam ruang
 Definisi
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksi
garis itu pada bidang.
Perhatikan gambar berikut.
Gambar 16
g
𝛼 g’
dari gambar 16, misalkan terdapat bidang 𝛼 dan garis g, maka sudut yang dibentuk oleh
garis g dengan bidang 𝛼 adalah sudut yang diperoleh dari garis g dengan garis g’ yang
mana garis g’ adalah garis hasil proyeksi garis g pada bidang 𝛼.
Jadi sudut 𝛽 merupakan sudut yang dibentuk oleh garis g dengan bidang 𝛼.
Contoh soal:
Perhatikan limas T.ABCD beraturan dengan panjang AB = BC = TB = 2 cm.
T
D C
A T’ B
Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh garis TB dengan bidang alas.
Jawab:
Buatlah proyeksi garis TB terhadap bidang alas, misalkan hasil proyeksinya adalah garis
BT’,sehingga sudut TBT’ adalah sudut antara garis TB dengan bidang alas.
Untuk menentukan besarnya sudut TBT’ perhatikan segitiga TBT’ dengan siku-siku di T’.
T
2 cm
T’ B
Panjang T’B =
1
2
𝐵𝐷 =
1
2
2√2 = √2

11. 11
Sehingga dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku
diperoleh:
cos∠𝑇𝐵𝑇′ =
𝐵𝑇′
𝐵𝑇
=
√2
2
Sehingga besar ∠𝑇𝐵𝑇′ = arc cos
√2
2
= 450
L. Menentukan besar sudut antara dua bidang dalam ruang
 Definisi
Sudut antara bidang 𝛼 dan bidang 𝛽 dapat ditentukan oleh garis k pada bidang 𝛼 dan
garis l pada bidang 𝛽 yang masing-masing tegak lurus pada garis potong bidang 𝛼 dan
bidang 𝛽.
Untuk menentukan besar sudut antara dua bidang dalam ruang, langkahnya adalah
dengan menentukan garis potong antara dua bidang tersebut. Kemudian tarik garis dari
masing-masing bidang dan tegak lurus dengan garis potong bidang tersebut sehingga
dapat dibentuk sudut yang dibentuk dari kedua garis tersebut. Sudut dari kedua garis
tersebut merupakan sudut antara dua bidang.
Perhatikan gambar berikut.
Gambar 17
Contoh soal:
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 9 cm, BC = 3 cm, dan CG = 6 cm. Hitunglah nilai
dari:
a. tangen sudut antara bidang BCHE dengan bidang EFGH
b. sinus sudut antara bidang BHG dengan CDHG
jawab:
a.
H G
E 𝛽 F 6
D C
A 9 B
Untuk menentukan nilai tan sudut antara BCHE dengan EFGH perhatikan segitiga EBF siku-
siku di F. Jika dimisalkan sudutnya 𝛽 maka:
tan 𝛽 =
𝐵𝐹
𝐸𝐹
=
6
9
=
2
3
b. H G
E F 6
D C
A 9 B

12. 12
Soal:
1. Perhatikan gambar berikut.
A B
3 cm
S R
6 cm
P 5 cm Q
Bidang ABRS tegak lurus PQRS. Tentukan:
a. cosinus sudut antara PQBA dan PQRS
b. sinus sudut antara PRB dan PSA
2. Diberikan limas T.ABCD dengan AB = 8 cm dan tinggi limas 16 cm. Hitunglah:
a. Sudut antara bidang TAD dengan TBC
b. Sudut antara bidang TAD dengan ABCD