Dokumen tersebut membahas tentang jarak, proyeksi, dan sudut dalam ruang tiga dimensi, termasuk definisi, contoh soal, dan penyelesaiannya. Secara khusus membahas jarak antara titik, garis, dan bidang serta sudut antara garis dan bidang.

1. Disusun oleh :
Dita Mustika Ambarwati
Enden Nendah Nurjanah
Ganjar Winajar
M. Sigit Sugiman

2. Kompetensi Dasar :
6.1 Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang
dimensi tiga.
6.2 Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang
dalam ruang dimensi tiga.
6.3 Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara
dua bidang dalam ruang dimensi tiga
Standar Kompetensi :
6. Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang
melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang
dimensi tiga.
SKKD

3. Kita akan membahas :
A. Jarak
B. Proyeksi
C. Sudut dalam ruang dimensi tiga

4. Kita akan membahas jarak antara:
1. Jarak antara duaTitik
2. Jarak Titik terhadap Garis
3. Jarak Titik terhadap Bidang
4. Jarak antara dua Garis
5. Jarak Garis terhadap Bidang
6. Jarak antara dua Bidang

5. 1. Jarak antara dua titik
Definisi Umum :
Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis terpendek yang
menghubungkan kedua titik tersebut.
jarak titik A ke B,
adalah panjang ruas garis
yang menghubungkan
titik A ke B
A
B

6. Contoh :
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
dengan
panjang rusuk a cm.
Tentukan jarak
titik A ke C,
dan titik A ke G
A B
CD
H
E F
G
a cm
a cm
a cm

7. Penyelesaian :
Jadi, diagonal sisi AC adalah
7
Perhatikan
segitiga ABC yang
siku-siku di B, maka
AC =
=
=
=
A B
CD
H
E F
G
a cm
a cm
a cm
22
BCAB 
22
aa 
2
a2
2a
cm2a

8. Jadi, Jarak A ke G adalah
8
Perhatikan
segitiga ACG yang
siku-siku di C, maka
AG =
=
=
=
=
A B
CD
H
E F
G
a cm
a cm
a cm
22
CGAC 
22
a)2a( 
2
a3
3a
3a
22
aa2 
back

9. Definisi umum :
Jarak titik terhadap garis adalah panjang ruas garis tegak lurus
terpendek yang menghubungkan titik dengan garis tersebut.
2. Jarak titik ke Garis
Jarak titik A ke
garis g adalah
panjang ruas garis
yang ditarik dari
titik A dan tegak
lurus garis g
A
g

10. Contoh :
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 5 cm.
Jarak titik A ke
rusuk HG adalah….
A B
CD
H
E F
G
5 cm
5 cm

11. Jarak titik A ke
rusuk HG adalah
panjang ruas garis
AH, (AH  HG)
A B
CD
H
E F
G
5 cm
5 cm
AH = (AH diagonal sisi)
AH =
Jadi, jarak A ke HG = 5√2 cm
2a
25
Penyelesaian :
back

12. Definisi umum :
Jarak titik terhadap bidang adalah panjang ruas garis tegak
lurus terpendek yang menghubungkan titik tersebut
dengan garis bidang.
3. Jarak titik ke bidang
Jarak antara titik A
ke bidang V
adalah panjang
ruas garis yang
menghubungkan
tegak lurus titik A
ke bidang V
A


13. Contoh :
Diketahui limas
segi empat
beraturan
T.ABCD.
Panjang AB = 8
cm dan TA = 12
cm.
Jarak titik T ke
bidang ABCD
adalah….
13
8 cm
T
C
A B
D

14. Penyelesaian :
14
Jarak T ke ABCD
= Jarak T ke
perpotongan AC
dan BD
= TP
AC diagonal persegi
AC = 8√2
AP = ½ AC = 4√28 cm
T
C
A B
D P

15. 15
AP = ½ AC = 4√2
TP =
=
=
=
= 4√7
8 cm
T
C
A B
D P
22
APAT 
22
)24(12 
32144 
112
Jadi jarak T ke ABCD adalah 4√7 cm
back

16. Definisi umum :
Jarak antara dua garis adalah panjang ruas garis terpendek
yang menghubungkan tegak lurus kedua garis tersebut.
4. Jarak garis ke garis
Jarak antara garis g ke
garis h
adalah panjang ruas
garis yang
menghubungkan tegak
lurus kedua garis
tersebut
P
Q
g
h

17. Contoh :
17
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang rusuk
4 cm.
Tentukan jarak:
A B
CD
H
E F
G
4 cm
a.Garis AB ke garis HG
b.Garis AD ke garis HF
c.Garis BD ke garis EG

18. Penyelesaian :
18
Jarak garis:
a. AB ke garis HG
= AH (AH  AB,
AH  HG)
= 4√2 (diagonal sisi)
b. AD ke garis HF
= DH (DH  AD,
DH  HF)
= 4 cm
A B
CD
H
E F
G
4 cm

19. 19
Jarak garis:
c. BD ke garis EG
= PQ (PQ  BD,
PQ  EG)
= AE
= 4 cmA B
CD
H
E F
G
4 cm
P
Q
back

20. Definisi Umum :
Jarak garis terhadap bidang ialah panjang garis terpendek yang
menghubungkan tegak lurus sebuah titik pada garis dengan
bidang.
5. Jarak garis ke bidang
Jarak antara garis g ke
bidang V
adalah panjang ruas garis
yang menghubungkan
tegak lurus garis
dan bidang
g

21. Contoh :
21
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 8 cm
Jarak garis AE ke
bidang BDHF
adalah….
A B
CD
H
E F
G
8 cm

22. Penyelesaian :
22
Jarak garis AE ke
bidang BDHF
diwakili oleh
panjang AP.(AP AE
AP  BDHF)
AP = ½ AC(ACBDHF)
= ½.8√2
= 4√2
A B
CD
H
E F
G
8 cm
P
Jadi, jarak A ke BDHF adalah 4√2 cm
back

23. Definisi umum :
6. Jarak Bidang dan Bidang
Jarak antara dua bidang adalah panjang garis
terpendek yang menghubungkan tegak lurus
kedua bidang tersebut.
V
W
Jarak antara bidang W
dengan bidang V adalah
panjang ruas garis yang
tegak lurus bidang W dan
tegak lurus bidang V
W

24. Contoh :
24
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 6 cm.
Jarak bidang AFH
ke bidang BDG
adalah….
A B
CD
H
E F
G
6 cm
6 cm

25. Penyelesaian :
25
Jarak bidang AFH
ke bidang BDG
diwakili oleh PQ
PQ = ⅓ CE
(CE diagonal ruang)
PQ = ⅓. 9√3
= 3√3
A B
CD
H
E F
G
6 cm
6 cm
P
Q
Jadi, jarak AFH ke BDG adalah 3√3 cm
HOME

26. Proyeksi Pada Bangun Ruang:
1. Proyeksi titik pada garis
2. Proyeksi titik pada bidang
3. Proyeksi garis pada bidang

27. 1. Proyeksi titik pada garis
27
Dari titik P
ditarik garis m garis k
garis m memotong k di Q,
titik Q adalah
hasil proyeksi
titik P pada k
P
Q
k
m

28. Contoh :
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
Tentukan proyeksi
titik A pada garis
a. BC b.BD
c. ET
(T perpotongan
AC dan BD).
A B
CD
H
E F
G
T

29. Penyelesaian :
Proyeksi titik A pada
a. BC adalah titik
b. BD adalah titik
c. ET adalah titik
A B
CD
H
E F
G
T
B
T
A’
A’
(AC  ET)
(AB  BC)
(AC  BD)
back

30. 2. Proyeksi Titik pada Bidang :
Dari titik P
di luar bidang H
ditarik garis g  H.
Garis g menembus
bidang H di titik P’.
Titik P’ adalah
proyeksi titik P
di bidang H
P
P’
g

31. Contoh :
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
a. Proyeksi titik E
pada bidang ABCD
adalah….
b. Proyeksi titik C
pada bidang BDG
adalah….
A B
CD
H
E F
G

32. Pembahasan :
a. Proyeksi titik E
pada bidang ABCD
adalah
b. Proyeksi titik C
pada bidang BDG
adalah
(CE  BDG)
A B
CD
H
E F
G
A
P
P
back

33. 3. Proyeksi garis pada bidang
Proyeksi sebuah garis ke
sebuah bidang dapat
diperoleh dengan
memproyeksikan titik-
titik yang terletak pada
garis itu ke bidang.
A
A’
g
Jadi, proyeksi garis g pada bidang H adalah g’
B
B’
g’
HOME

34. Sudut-sudut Bangun ruang
1. Sudut antara dua garis
a. Sudut antara dua garis berpotongan
b. Sudut antara dua garis bersilangan
2. Sudut antara garis dan bidang
3. Sudut antara dua bidang

35. Yang dimaksud dengan
besar sudut antara
dua garis berpotongen
adalah besar sudut yang
dibentuk oleh kedua garis
tersebut
k
m
a. Sudut antara dua garis berpotongan

36. Diketahui :
kubus ABCD.EFGH
Besar sudut antara
garis-garis:
a. AB dengan BG
b. AH dengan AF
c. BE dengan DFA B
CD
H
E F
G
Contoh:

37. Besar sudut antara
garis-garis:
a. AB dengan BG
= 900
b. AH dengan AF
= 600 ( AFH)
c. BE dengan DF
= 900 (BE  DF)
A B
CD
H
E F
G
Pembahasan:
back

38. m
l
Garis l’ sejajar garis l
Garis m’ sejajar garis m
Garis l’ dan garis m’
berpotongan di titik O
b. Sudut antara dua garis bersilangan
Perhatikan gambar di bawah ini:
m’
l’
O
Sudut θ yang dibentuk oleh garis l’ dan garis m’
adalah sudut antara garis l dan garis m.
θ
back

39. 2. Sudut antara garis dan bidang
Garis BA menembus bidang α di titik A.
Titik B’ adalah proyeksi titik B pada bidang α,

A
B Garis AB’ proyeksi AB pada bidang α.
B’
jadi,
Sudut antara garis dan bidang adalah
sudut lancip yang dibentuk oleh garis
dengan proyeksinya dengan bidang.
Sudut BAB’ bidang α adalah
sudut antara garis BA dan AB’

40. 40
Pada limas
segiempat beraturan
T.ABCD yang semua
rusuknya sama panjang,
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah….
T
A B
CD
a cm
a cm
Contoh :

41. 41
• TA = TB = a cm
• AC = a√2 (diagonal
persegi)
• ∆TAC = ∆ siku-siku
sama kaki
T
A B
CD
a cm
a cm
sudut antara TA dan bidang ABCD adalah
Pembahasan:
sudut antara TA dan AC yang besarnya 450
back

42. 3. Sudut antara Dua Bidang
Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut
yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan serta
masing-masing garis itu tegaklurus terhadap garis potong
antara bidang.
Perhatikan gambar dibawah ini!
Sudut antara
bidang  dan bidang 
adalah sudut antara
garis g dan h, dimana
g  (,) dan h  (,).
(,) garis potong bidang  dan 


(,)
g
h

43. Limas beraturan
T.ABC, panjang
rusuk alas 6 cm dan
panjang rusuk tegak
9 cm. Nilai sinus sudut
antara bidang TAB
dengan bidang ABC
adalah….
A
B
C
T
Contoh :

44. • sin  (TAB,ABC)
= sin  (TP,PC)
= sin  TPC
• TC = 9 cm, BP = 3 cm
• PC =
=
• PT =
=
A
B
C
T
P
22
36 
33
22
39 
36
Pembahasan:

45. Pada saat menentukan
sudut, hal pertama
yang harus dilakukan
adalah menentukan
titik potong antara dua
objek yang akan dicari
sudutnya, kemudian
buat garis-garis bantu.

46. LATIHAN SOAL-SOAL

47. Diketahui:
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 8 cm.
A B
CD
H
E F
G
8 cm
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah….
Latihan 1
A. 1/2
B.2
C. ½2
D. 42
E. 2

48. A B
CD
H
E F
G
8 cm
P
Q
tan (CG,AFH) = tan (PQ,AP)
= tan APQ
PQ
AQ

2
1
GC
AC

8
28.2
1

22
1

Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang
AFH adalah ½√2
Pembahasan:

49. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm.
Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah . . .
A. 22cm
C. 42cm
B. 26cm
D. 46cm
E. 82cm
Latihan2

50. Panjang proyeksi DE
pada bidang BDHF
adalah DE’:
DH = 8, D’H = ½ FH,
FH = ½ . 82 = 42
DE’ = (E'H)² + (DH)²
=
=
=
6432 
96
A B
CD
H
E F
G
64
Pembahasan:
E’

51. keberhasilan seseorang dalambelajar bukan ditentukan olehkuantitas
nilai melainkan kualitasnya
Tetap Semangat!!!