dimensi tiga ,belajar dimensi tiga , dimensi tiga sma x

1. Kedudukan titik, garis,
dan bidang dalam ruang
Menggambar Bangun
Ruang
Contoh
SOAL
Jarak Pada Bangun Ruang
Contoh
SOAL
Besar Sudut Pada Bangun
Ruang
SMA NEGERI 2 LAMONGAN
Contoh
SOAL
Contoh
SOAL

2. Home
exit
1. Unsur-Unsur Ruang
a. Titik
Titik merupakan unsur paling sederhana. Suatu titik
ditentukan oleh letaknya dan tidak mempunyai besaran.
Sebuah titik dilukiskan dengan noktah dan biasanya
dinotasikan dengan huruf kapital seperti A, B, C, dan
sebagaainya.
A
titik A
b. Garis ∝
Suatu garis merupakan himpunan titik-titik tidak terbatas
banyaknya. Garis dikatakan berdimensi satu karena hanya
memiliki satu ukuran saja. Syatu garis biasanya dilukiskan
terbatas dan disebut juga dengan segmen garis (ruas garis)
dan dinotasikan dengan huruf kecil. Ruas garis itu sendiri
dinotasikan dengan menyebut titik pangkal dan titik ujung
garis tersebut, sebagai contoh garis g, h, l atau ruas garis
AB, PQ.
c. Bidang
Bidang merupakan himpunan titik-titik yang memiliki
panjang dan luas, oleh karena itu bidang dikatakan
berdimensi dua. Penotasian suatu bidang diwakili oleh
∝,β,γ atau titik-titik sudut bidang itu.
B
titik B
ruas garis g
A
garis AB
B
a
d
b
c
Bidang abcd
β
Bidang β

3. 2. Aksioma Tentang Garis dan Bidang
Aksioma adalah pernyataan yang dapat diterima langsung nilai
kebenarannya tanpa perlu dibuktikan
Aksioma 1 :
Melalui dua buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.
Aksioma 2 :
Melalui tiga buah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah bidang
Aksioma 3 :
Jika dua buah titik berada pada satu bidang, maka garis yang melaluinya
berada pada bidang tersebut.
Aksioma 4 :
Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu, hanya dapat
dibuat garis yang sejajar dengan garis tertentu.
Home
exit

4. 3. Kedudukan Titik Terhadap Garis
Hom
exit
Antara suatu titik dan suatu garis terdapat dua
kemungkinan yaitu:
 Titik Terletak pada Garis
Jika titik A dilalui oleh garis g, maka titik A dikatakan
terletak pada garis g.
A
 Titik Terletak di Luar Garis
jika titik B tidak dilalui oleh garis h, maka titik B
dikatakan berada diluar garis h.
g
g
A
4. Kedudukan Titik Terhadap Bidang
Antara suatu titik dan suatu bidang terdapat dua
kemungkinan yaitu:
 Titik terletak pada bidang
Jika titik A dapat dilalui oleh bidang W, maka titik A
dikatakan terletak pada bidang W.
 Titik terletak di luar bidang
Jika titik B tidak dapat dilalui oleh bidang V, maka titik
B dikatakan berada diluar bidang V.
A
w
w
A

5. 5. Kedudukan Garis Terhadap Garis
g
v
g
p
v
h
h
h
g
a) dua garis berpotongan
b)
dua garis bersilangan
c)
dua garis sejajar
6. Kedudukan Garis Terhadap Bidang
v
g
v
g
v
p
g
a) Garis terletak pada bidang
b) Garis sejajar bidang
c) Garis menembus atau
memotong bidang
Home
exit

6. 7. Kedudukan Bidang Terhadap Bidang
Antara suatu bidang dan suatu bidang yang lain terdapat tiga
kemungkinan yaitu:
1. Kedua bidang berhimpit, (bidang U dan
V dikatakan berhimpit, jika setiap titik
yang terletak pada bidang U juga terletak
pada bidang V atau setiaptitik yang
terletak pada bidang V juga terletak pada
bidang U).
vw
v
2. Kedua bidang sejajar, (bidang U dan
bidang V dikatakan sejajarjika kedua
bidang itu tidak mempunyai satupun titik
persekutuan).
w
v
3. Kedua bidang berpotongan, (bidang U
dan bidang V dikatakan berpotongan jika
kedua bidang itu tepat memiliki sebuah
garis persekutuan).
(v,w)
w
Home
exit

7. Contoh SOAL
1.
a.
b.
c.
d.
Dari gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini,
tentukanlah kedudukan:
a. titik A terhadap rusuk AB, AD, dan AE
b. titik C terhadap diagonal AC, AH, dan CH
c. titik F terhadap bidang ABFE, CDHG, dan BDHF
d. titik H terhadap bidang ABCD, BCHE, dan ACGE
Jawab
titik A terletak pada AB, AD, dan AE
titik C terletak pada diagonal AC, CH dan terletak di luar diagonal AH
titik F terletak pada bidang ABFE, BDHF dan terletak di luar bidang CDHG
titik H terletak pada bidang BCHE dan terletak diluar bidang ABCD, ACGE
Home
exit

8. 2.
Dari gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini,
Tentukan kedudukan garis AB terhadap:
a. Garis AC
b. Garis AD
c. Garis EF
d. Garis EG
e. Garis EH
Jawab
a. Garis AB dan garis AC berpotongan di titik A.
b. Garis AB dan garis AD berpotongan tegak lurus di titik A
c. Garis AB dan garis EF sejajar
d. Garis AB dan garis EG bersilangan
e. Garis AB dan garis EH bersilangan tegak lurus
Home
exit

9. 3.
Lihat gambar kubus ABCD. EFGH.Tentukan !
a. Hubungan garis FG dengan EH
b. Hubungan garis EC dengan AB
Jawab :
a. Sejajar
b. Bersilangan
Home
exit

10. Home
exit
1. Bidang Gambar
Bidang gambar adalah bidang atau suatu tempat
permukaan untuk menggambar atau melukis bangun
ruang. Biasa di notasikan dengan
serta mempunyai kekhususan selalu menghadap muka
pengamat. Misalnya dalam kehidupan nyata
dicontohkan dengan papan tulis, buku tulis, kain
kanvas, dll.
2. Bidang Frontal
Bidang frontal adalah bidang yang sejajar dengan
bidang gambar. Kekhususan dari bidang frontal adalah
ukurannya sama dengan ukuran sebenarnya
3. Garis Frontal
Garis frontal adalah garis yang terletak pada bidang frontal.
Berdasarkan arahnya garis frontal dibedakan menjadi garis
frontal horizontal dan garis frontal vertical
Bidang frontal kubus
diatas adalah ABFE
Garis frontal kubus diatas
adalah AE, FB, AB, EF

11. Home
exit
4. Bidang Orthogonal
Bidang orthogonal adalah bidang yang tegak
lurus pada bidang frontal ke arah depan atau ke
arah belakang secara horizontal dan vertical
5. Garis Orthogonal
Garis orthogonal adalah garis yang tegak
lurus pada bidang frontal.
6. Sudut Surut
Bidang ortogonal kubus diatas adalah
ADHE, BCGF, ABCD, EFGH
Garis ortogonal kubus diatas adalah
AD, BC, FG, EH
Sudut surut adalah sudut yang dibentuk oleh garis frontal horizontal
ke kanan dengan garis orthogonal ke belakang.

12. 7. Perbandingan Proyeksi
Perbandingan proyeksi adalah perbandingan antara panjang suatu ruas
garis orthogonal pada gambar dengan panjang sebenarnya.
Perbandingan Proyeksi
=
Misal, panjang AD yang digambar 3 cm sedangkan panjang AD yang
sebenarnya 6 cm maka :
Perbandingan Proyeksi
Home
exit

13. 8. Irisan antara bidang dan bangun ruang
Irisan antara bidang dan bangun ruang merupakan bangun datar
yang dibatasi oleh garis - garis potong antara bidang itu dengan
bidang sisi dari bangun ruang yang bersangkutan serta membagi
dua bangun ruang itu.
Ada 2 cara untuk menggambar bangun ruang yaitu :
A. Sumbu afinitas
B. Titik potong diagonal irisan
Home
exit

14. CONTOH SOAL
1.
Gambarlah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, bidang
diagonal ACGE frontal dan AC horizontal, sudut surut 60o dan perbandingan
ortogonal 1 : 2 !
Penyelesaian :

Gambar bidang diagonal ACGE frontal dan AC horizontal. Ingat! AC diagonal
bidang alas ABCD. Maka AC =

Gambar bidang alas ABCD yang terletak pada bidang horizontal. Gambarlah
garis BD melalui titik O (titik tengah AC) dengan besar sudut 60o

Hubungkan titik-titik A, B, C, D sehingga diperoleh bidang alas ABCD

Gambar garis-garis BF dan DH yang sama dan sejajar dengan garis AE.
Hubungkan titik-titik E, F, G, H sehingga diperoleh kubus ABCD.EFGH seperti
yang diminta.
Hasil Gambar
Home
exit

15. Home
exit

16. 2. Sebuah kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 4 cm. gambarlah kubus tersebut
jika PRVT bidang frontal, PR garis frontal horizontal, sudut surut 300 dan perbandingan
orthogonalnya 1 : 2. !
Penyelesaian :
Diketahui :r = 4 cm
PRVT bidang frontal
PR garis frontal horizontal
Sudut surut = 300
Perbandingan orthogonal 1 : 2
Ditanya :
gambar kubus PQRS.TUVW ?
Jawab :
a. Panjang rusuk 4 cm. Maka berapa panjang diagonal PR?
Gunakan teorema phitagoras
b. Gambar bidang frontal PRVT, berapa panjang PR ? (pada langkah diatas) dan RV = 4
cm.
c. Buatlah titik tengah garis PR, dinamakan dengan titik O.
d. Buatlah sudut surut sebesar 300 pada titik O terhadap garis OR.
e. Menentukan panjang OS, panjang OS = OQ
f. Buat bidang PQRS.
g. Kemudian buat rusuk kubus lainnya.
Hasil Gambar
Home
exit

17. Home
exit

18. 3. Bidang ABFE frontal, AB horizontal, sudut 1500, dan perbandingan proyeksi 2 : 3
Penyelesaian :
a. Buatlah ruas garis AB = 4 cm
b. Buatlah ruas garis yang membentuk sudut dengan garis AB yang berpusat di titik A dengan besar sudut
1500 (sudut surut) dan memiliki panjang 2/3 (4cm) =2,4 cm (perbandinganproyeksi untuk garis horizontal)
c. Buatlah bidang persegi ABCD sebagai bidang frontal
d. Lengkapi rusuk-rusuk kubus yang lainya, sehingga terlukis kubus ABCD, EFGH
Hasil Gambar
Home
exit

19. Home
exit

20. 1. Jarak Titik Terhadap Titik
A
Y
X
B
Jarak titik A ke titik B dalam suatu ruang dapat digambarkan dengan cara
menghubungkan titik A dan titik B dengan ruas garis AB. Untuk
mengukur jarak titik A dan titik B dilakukan dengan menarik garis lurus
dari A menuju B. panjang ruas garis AB merupakan jarak antara titk A ke
titik B. Panjang ruas garis AB bisa diselesaikan dengan dalil Pythagoras.
Home
exit

21. 2. Jarak Titik Terhadap Garis
Jika sebuah titik berada diluar garis, maka ada jarak antara titik ke garis itu.
Jarak titik A ke garis g (titik A berada diluar garis g) dapat digambarkan dengan
menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
a.
Melalui titik A dan garis g dengan membuat garis P tegak lurus terhadap
garis g.
b.
Ruas garis P merupakan jarak antara titik P dan garis g yang diminta.
c.
Jarak antara titik dan garis adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik
tegak lurus garis.
Home
exit

22. 3. Jarak Titik Terhadap Bidang
Jarak antara sebuah titik dan sebuah bidang adalah panjang ruas garis
yang menghubungkan titik itu dengan proyeksinya pada bidang tersebut.
H
q
Perhatikan gambar diatas!

Q adalah proyeksi titik P pada bidang H. Jadi, PQ adalah jarak dari titik P
ke bidang H
Home
exit

23. 4. Jarak Dua Garis Yang Sejajar
Jika garis k dan l sejajar, maka dapat dibuat garis h yang memotong garis
k tegak lurus di titik P dan memotong garis l tegak lurus di titik Q.
Panjang PQ merupakan jarak antara garis k dan l.
P
q
Home
exit

24. 5. Jarak Dua Garis Bersilangan
g
g’
V
Misalkan garis g dan garis h bersilangan. Jarak antara garis g dan garis h
yang bersilangan itu dapat digambarkan dengan langkah-langkah sebagai
berikut:
Buatlah garis g’ sejajar garis g sehingga memotong garis h. Garis g’ dan h
membentuk bidang V.
Home
exit

25. 6. Jarak Dua Garis dan Bidang Yang Sejajar
Ambillah garis g // Bidang V. Melalui garis dibuat bidang W yang
memotong bidang V tegak lurus di garis h, maka garis h adalah hasil
proyeksi garis g. Jarak antara garis g dan garis h merupakan jarak
antara garis g dan bidang V.
Jarak antara garis dan bidang yang saling sejajar adalah panjang ruas
garis yang masing-masing tegak lurus terhadap garis dan bidang
tersebut.
Home
exit

26. 7. Jarak Antara Dua Bidang Yang Sejajar
Ambillah bidang V // bidang W. Bila dibuat garis g yang tegak lurus bidang
V di titik P , maka garis g pasti menenmbus bidang W di titik Q secara tegak
lurus pula. Panjang PQ merupakan jarak antara bidang V dan bidang W.
Jarak antara dua bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap
dua bidang tersebut.
Home
exit

27. Contoh SOAL
1.
Diketahui kubus ABCD. EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm.
misalkan P merupakan perpotongan diagonal bidang ADEH. Hitung
jarak titik P dan titik B !
Penyelesaian :
Perhatikan Kubus ABCD.EFGH !
Home
exit

28. 2.
Diketahui Kubus ABCD. EFGH denganpanjang rusuk 5 cm . Titik O adalah
pertengahan FH. Hitunglah jarak titik C ke garis FH.
Penyelesaian :
Home
exit

29. 3.
Diketahui balok ABCD-EFGH dengan AB= 10 cm, AD= 8 cm, dan AE=
6 cm. Titik O adalah titik potong diagonal-diagonal bidang alas AD dan
BD.
Hitunglah jarak titik O ke bidang BCGF dan ke bidang EFGH !
Penyelesaian :
Perhatikan Balok ABCD .EFGH disamping !
Home
exit

30. 4.
Diketahui balok ABCD.EFGH memiliki panjang 8 cm, lebar 4 cm, dan tinggi
6 cm. Hitung jarak antara garis CD dan garis EF !
Penyelesaian :
Perhatikan Balok ABCD.EFGH !
Garis CD// Garis EF
Jarak CD dan EF = Panjang CF
Home
exit

31. 5.
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak garis
AEdan garis CG !
Penyelesaian :
Perhatikan cara menentukan jarak garis AE dan CG !
Garis AE dan garis CG juga merupakan dua garis yang sejajar. Jarak antara garis
AE dan CG dapat digambarkan sebagai berikut :
Home
exit

32. 6.
Balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk-rusuk AB = 5 cm, BC = 4 cm,
dan AE = 3 cm. Hitunglah jarak antara garis AE dan bidang BCGF!
Penyelesaian :
Garis AE dan bidang BCGF merupakan garis dan bidang yang sejajar.
Jarakantara garis AE dan bidang BCGF ditentukan oleh panjang ruas garis
AB, sebab AB tegak lurus garis AE dan juga tegak lurus bidang BCGF.
Jadi, jarak anatar garis AE dan bidang BCGF yang sejajar itu sama dengan
panjang rusuk AB = 5 cm
Home
exit

33. 7.
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB= 5 cm, BC = 4 cm,
dan AE = 3 cm. Tentukan jarak bidang ABCD dan bidang EFGH !
Penyelesaian :
Bidang ABCD dan bidang EFGH merupakan dua bidang yang sejajar. Jarak
antara bidang ABCD dan bidang EFGH ditentukan oleh panjang ruas garis
AE atau BF atau CG atau DH, sebab AE tegak lurus pada bidang ABCD dan
juga bidang EFGH.
Perhatikan gambar disamping !
Jadi, jarak antara bidang ABCD dan
bidang EFGH sama dengan panjang
rusuk AE = 3 cm.
Home
exit

34. 1. Sudut Antara Garis dengan Garis
Sifat dua buah sudut yang sama besar dalam geometri bidang dapat digunakan
untuk menentukan besar sudut antara dua garis berpotongan maupun bersilangan pada
sebidang ruang.
a.
Sudut antara Dua Garis Berpotongan
Jika garis g dan garis h berpotongan, maka sudut antara garis g dan h adalah
lancipnya, α.
α
Home
exit

35. b. Sudut antara Dua Garis Bersilangan
Jika g dan garis h berselingan, maka sudut antara keduanya dapat ditentukan sebagai
berikut :
a) Tetapkan sembarang titik A pada garis g.
b) Buat garis h’ yang melalui A dan sejajar garis h.
c) Besar sudut yang dibentuk oleh garis g dan h’ adalah besar sudut antara garis g
dan h yang diminta dan dinotasikan Ð (g, h) = Ð (g, h’)
Atau
(1) Buat garis g’ yang sejajar g
(2) Buat garis h´ yang berpotongan dengan g’ dan sejajar h.
(3) Besar sudut yang dibentuk oleh garis g’ dan h´ adalah besar sudut antara garis g
dan h yang bersilangan dan dinotasikan Ð (g, h) = Ð (g’, h’) = α
α
α
Home
exit

36. 2. Sudut Antara Garis dan Bidang
l
p
α
l’
V
Misalnya diberikan garis l dan bidang V. Untuk mencari besar
sudut antara garis l dan bidang V tersebut dapat dilakukan dengan cara
berikut. Garis l diperpanjang sedemikian sehingga memotong
(menembus) bidang V di titik P. Kemudian proyeksikan garis l pada
bidang V sedemikian sehingga diperoleh garis l’. Sudut antara haris l
dengan bidang V adalah sudut yang terbentuk antara (perpanjangan)
garis l dengan garis l’, yaitu α.
Home
exit

37. 3. Sudut Antara Bidang dan Bidang
Sudut antara Dua Bidang yang Berimpit atau Sejajar
Jika dua buah bidang V dan W berimpit atau sejajar, maka sudut antara kedua bidang
tersebut adalah (V,W) = 00.
Sudut antara Dua Bidang yang Berpotongan atau Bersilangan
Jika dua buah bidang V dan W berpotongan di garis (V,W), maka sudut antara bidang V dan
W dapat ditentukan sebagai berikut.
a. Tentukan titik P pada garis (V,W).
b. Buat garis g pada bidang V melalui P dan tegak lurus garis (V,W).
c. Buat garis h pada bidang W melalui P dan tegak lurus gari (V,W).
d. Terbentuk sudut antara bidang V dan W yaitu α.
Perhatikanlah bahwa sudut yang terbentuk merupakan sudut antara garis g dan garis h
yaitu α. Dengan demikian, sudut antar dua bidang dapat ditentukan oleh dua garis pada
bidang tersebut yang saling tegak lurus pada garis potong dua bidang tersebut.
Home
exit

38. Contoh SOAL
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Besar sudut antara garis-garis:
a. AB dengan BG
b. AH dengan AF
c. BE dengan DF
Pembahasan :
Besar sudut antara garis-garis:
a.AB dengan BG = 90 derajat
b. AH dengan AF = 600 (∆ AFH)
c. BE dengan DF = 900 (BE ^ DF)
Home
exit

39. 2.
Diketahui kubus ABCD.EFGH panjang rusuk 6 cm. Gambarlah sudut antara
garis BG dengan ACGE, kemudian hitung besar sudutnya
Pembahasan:
Proyeksi garis BG pada bidang ACGE adalah garis KG
(K = titik potong AC dan BD)
Jadi <(BG,ACGE) = <(BG,KG)
<BGK
Home
exit

40. 3. Diketahui kubus ABCD.EFGH
a. Gambarlah sudut antara bidang BDG dengan ABCD
b. Tentukan nilai sinus sudut antara BDG dan ABCD !
Pembahasan :
a. <(BDG,ABCD)
• garis potong BDG dan ABCD ® BD
• garis pada ABCD yang ^ BD ® AC
• garis pada BDG yang ^ BD ® GP
Jadi <(BDG,ABCD) = <(GP,PC) = <GPC
b. sin<(BDG,ABCD) = sin <GPC
Jadi, sin<(BDG,ABCD)
Home
exit

41. Nama Kelompok :
1.
Bella Suci Nur L. U.
(09)
2.
Diah Ayu Sugiharti
(10)
3.
Diya ‘Ulhaq
(11)
4.
Fanny Rohmatus S.
(12)
5.
Freygieon Ogiek R. S.
(13)
6.
Galuh Putri Pasicakti
(14)
7.
Hafizhil Uzhma A.
(15)
8.
Hanna Qoifathul F. U.
(16)
Home
exit