Matematika - Dimensi Tiga

1. www.belajar-matematika.com 1
Dimensi Tiga - IPA
Tahun 2005
1. Pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk a satuan, terdapat bola luar
dinyatakan
B1 dan bola dalam dinyatakan B2. Perbedaan Volume bola B1 dan bola B2 adalah
........
A . 3 3 : 1 C . 3 : 1 E. 2 : 1
B . 2 3 : 1 D. 3 : 1
Jawab:
W V
T U
O r2
T
r1
S R
P a Q
Jari jari bola dalam = r2 = OT= PQ
2
1
= a
2
1
PV = panjang diagonal ruang
= a 3
Jari jari bola luar = r1 = OP=
2
1
PV =
2
1
a 3
Volume bola dalam B 2 = 3
2.
3
4
rπ
Volume bola luar B1 = 3
1.
3
4
rπ
Perbedaan Volume bola B1 dan bola B2 adalah:

2. www.belajar-matematika.com 2
3
1.
3
4
rπ : 3
2.
3
4
rπ = 3
1.r : 3
2.r
= (
2
1
a 3 )3
: ( a
2
1
)3
=
8
1
a3
. 3 3 :
8
1
a3
= 3 3 : 1
Jawabannya adalah A
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm dan T pada AD dengan
panjang AT = 1 cm. Jarak A pada BT adalah ........
A .
2
1
cm C . 3
2
1
cm E. 3
3
2
cm
B . 3
3
1
cm D. 1 cm
Jawab:
H G
E F T O
1
D C A B
T O 3
A B
3
BT = 22
ATAB +
= 22
1)3( + = 13 + = 4 = 2
Luas ∆ ABT =
2
1
AB . AT =
2
1
BT. AO
2
1
. 3 . 1 =
2
1
. 2 . AO
3 = 2 AO
AO = 3
2
1
Jawabannya adalah C

3. www.belajar-matematika.com 3
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P dan Q masing-masing terletak
pada pertengahan CG dan HG. Sudut antara BD dan bidang BPQE adalah α , nilai
tanα = …
A. 2
8
3
. C. 2 E. 2 2
B. 2
4
3
D. 2
2
3
Jawab:
H M Q
G
E F
P
D α C
N
A 4 B
Tan α =
BN
MN
MN = 4
MH = titik berat = HF
3
1
FM= BN = (1 -
3
1
) HF =
3
2
HF =
3
2
. 4 . 2 ; (HF = diagonal bidang = 4 2 )
=
3
8
2
Tan α =
BN
MN
=
2
3
8
4
=
28
12
.
2
2
=
16
212
=
4
3
2
Jawabannya adalah B

4. www.belajar-matematika.com 4
Tahun 2006
4. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Dari pernyataan berikut:
(1) AH dan BE berpotongan
(2) AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD
(3) DF tegak lurus bidang ACH
(4) AG dan DF bersilangan
yang benar adalah nomor…
A. (1) dan (2) saja C. (3) dan (4) saja E. (2) dan (4) saja
B. (2) dan (3) saja D. (1) dan (3) saja
Jawab:
H G
E F
P
D C
A B
Perhatikan gambar:
untuk kondisi 1
AH dan BE tidak berpotongan karena AH dan BE tidak terletak pada bidang yang
terpisah
Untuk kondisi 2
AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD adalah benar
tarik salah satu titik dari gris AH yang berada di luar bidang ABCD yaitu titik H ke bidang
ABCD yang membentuk siku –siku ke ujung titik yang lain (titik A), kemudian tarik titik
tersebut didapat garis AD
untuk kondisi 3.
DF tegak lurus bidang ACH d titik P (titik berat ∆ ACH)
Untuk kondisi 4
terlihat pada gambar bahwa garis AG dan DF bersilangan, karena masing-masing
merupakan garis diagonal ruang yang saling berpotongan

5. www.belajar-matematika.com 5
Penyataan 2, 3 dan 4 benar
Tidak ada jawaban yang tepat
5. Diketahui bidang empat beraturam ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Cosinus sudut
antara bidang ABC dan bidang ABD adalah…..
A.
3
1
C. 3
3
1
E. 2
2
1
B.
2
1
D.
3
2
Jawab:
D
8cm
α C
A O B
∠ (ABC,ABD)= ∠ COD
OD =OC = 22
OBBD − ; OB =
2
1
AB =
2
1
. 8 = 4
= 22
48 − = 1664 − = 48 = 4 3
Aturan cosinus:
CD 2
= OC 2
+ OD 2
- 2 OC.OD cos α
2 OC.OD cos α = OC 2
+ OD 2
- CD 2
cos α =
ODOC
CDODOC
..2
222
−+
=
3.4.3.4.2
8)34()34( 222
−+
=
3.32
644848 −+

6. www.belajar-matematika.com 6
=
3.32
32
=
3
1
Jawabannya adalah A
Tahun 2007
6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6√3 cm. Jarak bidang ACH dan
EGB
adalah….cm.
A. 4√3 C. 4 E. 12
B. 2√3 D.6
Jawab:
H Q G
E R F
S
D C
P
A B
Lihat bidang BDHG :
Q
H F
R
S
D B
P
yang ditanya adalah jarak SR.
SR = DF – FR – DS
DF = 6 3 . 3 = 18 (diagonal ruang)
FR:
∆ EGB mempunyai titik berat di QR
ingat titik berat ∆ = 1/3 tinggi
QR = 1/3 QB

7. www.belajar-matematika.com 7
QB = 22
FQFB +
FB = 6 3
FQ = ½ GH = ½ 6. 3 . 2 = 3. 6
QB = 54108 + = 162 = 9 2
QR = 1/3 QB = 1/3. 9 2 = 3 2
FR = 22
QRFQ −
= 1854 − = 36 = 6
DS :
∆ DSP sebangun dengan ∆ FQR
sehingga DS = FR = 6
Kita cari dan buktikan :
PS = 1/3 PH
PH = 22
DPDH +
DH = 6 3
DP = ½ DB = ½ 6. 3 . 2 = 3. 6
PH = 54108 + = 162 = 9 2
PS = 1/3 PH = 1/3. 9 2 = 3 2
DS = 22
PSDP −
= 1854 − = 36 = 6 (terbukti)
Sehingga panjang SR = DF – FR – DS
= 18 – 6 – 6 = 6 cm
Jawabannya adalah D

8. www.belajar-matematika.com 8
7. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan bidang
BDHF
adalah ….
A. 900
C. 450
E. 150
B. 600
D. 300
Jawab:
T
H G
E F
D α C
A B
Cara 1 :
∠ (BG,BDHF)= ∠ (BG,BT)
∆ BGT siku-sku di T
Sin α =
BG
GT
; misal panjang rusuk =a maka BG = a 2 dan GT =
2
1
a 2
=
2
2
2
1
a
a
=
2
1
a = 300
Cara 2 :
∠ (BG,BDHF)= ∠ (BG,BT)
=
2
1
∠ (EBG) ; ∆ EBG adalah sama sisi sehingga masing-masing
sudutnya
adalah 600
=
2
1
. 600
= 300
Jawabannya adalah D

9. www.belajar-matematika.com 9
Tahun 2008
8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal
AG
dengan bidang alas adalah α , maka sinα adalah ….
A. 3
2
1
3
3
1
2
3
1
B. 2
2
1
2
1
Jawab:
H G
E F
6 cm
D C
α
A B
Sin α =
miringsisi
tegaksisi
=
AG
CG
=
36
6
=
3
1
= 3
3
1
Jawabannya adalah C
9. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H dan garis AC
adalah….cm.
A. 38 C. 64 E. 24
B. 28 D. 34
Jawab:
H G
E F
8 cm
D C
R
A B

10. www.belajar-matematika.com 10
Jarak titik H dan garis AC adalah HR
Sudut R adalah tegak lurus.
AH = 8 2 ; AR =
2
1
AC =
2
1
8 2 = 4 2
HR = 22
ARAH −
= 2.162.64 − = 32128 −
= 96 = 6.16 = 4 6
Jawabannya adalah C
Tahun 2009
10.Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang rusuk- rusuk alas AB = 5 cm, BC =
7 cm dan AC = 8 cm. Panjang rusuk tegak 10 cm. Volume prisma tersebut adalah …
cm3
.
A. 100 C. 175 E. 200 15
B. 100 3 D. 200
Jawab:
D F
E 10
8
A C
5 7
B
Volume prisma = L alas x tinggi
Luas alas prisma = )).().(( CAsBCsABss −−−
dimana s =
2
1
(AB+ BC+ CA)
=
2
1
(5+ 7+ 8) = 10

11. www.belajar-matematika.com 11
L alas = )810).(710).(510(10 −−−
= 2.3.5.10 = 300 = 10 3
Volume Prima = 10 3 . 10
= 100. 3 cm3
Jawabannya adalah B
11.Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari- jari lingkaran luar 8 cm adalah … cm2
.
A. 192 C. 162 E. 144
B. 172 D. 148
Jawab:
Luas segi n beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran r adalah:
L = n .
2
1
. r2
. sin
0
360






n
Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah:
L = 12.
2
1
. 8 2
. Sin
0
12
360






= 384 . sin 300
= 384 .
2
1
= 192
Jawabannya adalah A
12.Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk kubus 12 cm. Titik P terletak pada
perpanjangan rusuk DC sehingga CP : DP = 1 : 3. Jarak titik P dengan bidang BDHF
adalah … cm.
A. 6 2 C. 12 2 E. 18 2
B. 9 2 D. 16 2

12. www.belajar-matematika.com 12
Jawab:
H G
E F
D C P
P’
A B
CP : DP = 1 : 3 CP =
2
1
DC
CP =
2
1
. 12 = 6
DP = DC + CP = 12 + 6 = 18
Luas∆ BDP =
2
1
. alas x tinggi =
2
1
. DP . CB ; (CB ⊥ DP)
=
2
1
. 18 . 12 = 108
PP'
⊥ BD maka :
Luas∆ BDP =
2
1
. BD. PP '
=
2
1
. 12 2 . PP'
= 6 2 . PP'
= 108
PP'
=
26
108
=
2
18
=
2
18
2
2
=
2
18
2 = 9 2
Jawabannya adalah D
13.Balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = BC = 3 cm dan AE = 5 cm. P terletak pada
AD sehingga AP : PD = 1 : 2 dan Q pada FG sehingga FQ : QG = 2 : 1. Jika adalah
sudut antara PQ dengan ABCD, maka tan = ….
A. 5
2
1
C. 10
2
1
E. 35
7
1
B. 5
10
1
D. 14
7
1

13. www.belajar-matematika.com 13
H Q G
Jawab:
E F
5
D C
P α 3 Q’
P’
A 3 B
α adalah sudut QPQ’
Tan α =
datarbidang
tegakbidang
=
'
'
PQ
QQ
QQ’ = AE = 5
PQ’ = 22
)''()'( QPPP + ; PP’ = AB = 3 ; P’Q’ = 3 – BP’- CQ’ = 3 – 1 – 1 = 1
= 22
13 + = 10
Tan α =
10
5
=
10
5
10
10
=
10
5
10 =
2
1
10
Jawabannya adalah C
Tahun 2010
14.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm dan T adalah titik tengah
CG. Jarak titik E ke BT adalah ….
A.
5
3
5 cm C.
5
18
5 cm E. 5 5 cm
B.
5
9
5 cm D.
5
18
10 cm

14. www.belajar-matematika.com 14
Jawab:
H G
E F
T
6 D P C
A 6 B
Dari gambar terlihat Jarak titik E ke BT adalah EP
EP 2
= EB 2
- BP 2
= ET 2
- TP 2
mencari ET:
Lihat ∆ ETG ∠ G = siku-siku
ET= 22
GTEG +
EG =diagonal bidang =6 2
GT =
2
1
CG =
2
1
. 6 = 3
ET= 22
3)26( +
= 972 + = 81 = 9
Titik P terletak diantara titik BT
Misal TP = x maka BP = BT – x
BT= 22
CTBC + ; CT = CG.
2
1
=
2
1
. 6 = 3
= 22
36 + = 936 + = 45 = 3 5
EP 2
= EB 2
- BP 2
= ET 2
- TP 2
(6 2 ) 2
- (3 5 - x ) 2
= 81 - x 2
72 - (45 - 6 5 x + x 2
) = 81 - x 2
72 – 45 + 6 5 x - x 2
= 81 - x 2
72 – 45 – 81 + 6 5 x = x 2
- x 2

15. www.belajar-matematika.com 15
-54 = - 6 5 x
6
54
= 5 x
5 x = 9
x =
5
9
= TP
EP 2
= ET 2
- TP 2
= 9 2
- (
5
9
) 2
= 81 -
5
81
=
5
81405 −
=
5
324
EP=
5
324
=
5
18
=
5
18
5
5
=
5
18
5 cm
Jawabannya adalah C
15.Diketahu kubus ABCD.EFGH. Nilai cosinus sudut antara CF dan bidang ACH adalah
….
A.
6
1
3 C.
2
1
3 E. 3
B.
3
1
3 D.
3
2
3
Jawab:
H G
E F
P O
D C
Q
A B
Yang dicari adalah )(),( COFC∠

16. www.belajar-matematika.com 16
F
Cos α =
miringbidang
datarbidang
=
FC
CO
α
O C
Titik P adalah titik tengah AH maka AP =
2
1
AH ; misal panjang rusuk =a
=
2
1
.a 2
CP = 22
APAC −
= 22
)2
2
1
()2( aa −
= 22
2
1
2 aa − = 2
2
3
a =
2
2
.
2
3 2
a = 6
2
1
a
PO adalah titik berat segitiga =
3
1
CP
CO = CP – PO = CP -
3
1
CP =
3
2
CP =
3
2
6
2
1
a = 6
3
1
a
Cos α =
FC
CO
=
2
6
3
1
a
a
=
2
6
3
1
a
a
2
2
=
3
1
.
2
1
12 =
6
1
.2 3 =
3
1
. 3
Jawabannya adalah B
16.Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ….
A. 192 cm2
C. 162 cm2
E. 144 cm2
B. 172 cm2
D. 148 cm2
Jawab:
Luas segi n beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran r adalah:
L = n .
2
1
. r2
. sin
0
360






n
Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah:

17. www.belajar-matematika.com 17
L = 12.
2
1
. 8 2
. Sin
0
12
360






= 384 . sin 300
= 384 .
2
1
= 192
Jawabannya adalah A
17.Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan panjang rusuk AB = 6 cm, BC = 3 7
cm, dan AC = 3 cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah ….
D F
E
A C
B
A. 55 2 cm3
C. 75 3 cm3
E. 120 3 cm3
B. 60 2 cm3
D. 90 3 cm3
Jawab:
D F
E
20
A 3 C
6 3 7
B
Volume = L alas x tinggi

18. www.belajar-matematika.com 18
Mencari L alas :
L alas =
2
1
x jarak bidang datar x t
Lihat ∆ ABC:
B
6 t 3 7
A 3-x x C
t 2
= 6 2
- (3-x) 2
= (3 7 ) 2
- x 2
36 - (9 - 6x + x 2
) = 63 - x 2
36 - 9 + 6x - x 2
= 63 - x 2
36 – 9 – 63 = - 6x
- 36 = - 6x
x = 6
t 2
= (3 7 ) 2
- x 2
= 63 – 36 = 27
t = 27 = 3 3
L alas =
2
1
x jarak bidang datar x t =
2
1
. 3 . 3 3
=
2
9
3
Volume = L alas x tinggi
=
2
9
3 . 20 = 90 3 cm3
Jawabannya adalah D