Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial biasa berorde n mengandung turunan ke-n dari fungsi tersebut. Fungsi yang disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial dan memenuhi persamaan tersebut untuk semua nilai x disebut solusi persamaan diferensial.
Dokumen tersebut merangkum tentang persamaan diferensial, yang didefinisikan sebagai persamaan yang menghubungkan variabel bebas dan tak bebas serta derivasinya. Terdapat beberapa istilah kunci seperti orde, derajat, penyelesaian umum dan khusus, serta jenis persamaan diferensial seperti biasa dan parsial. Langkah penyelesaian persamaan diferensial linier orde satu juga dijelaskan beserta contoh soalnya.
Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial biasa berorde n mengandung turunan ke-n dari fungsi tersebut. Fungsi yang disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial dan memenuhi persamaan tersebut untuk semua nilai x disebut solusi persamaan diferensial.
Dokumen tersebut merangkum tentang persamaan diferensial, yang didefinisikan sebagai persamaan yang menghubungkan variabel bebas dan tak bebas serta derivasinya. Terdapat beberapa istilah kunci seperti orde, derajat, penyelesaian umum dan khusus, serta jenis persamaan diferensial seperti biasa dan parsial. Langkah penyelesaian persamaan diferensial linier orde satu juga dijelaskan beserta contoh soalnya.
Dokumen tersebut membahas tentang integral, termasuk definisi integral, rumus integral parsial, dan contoh-contoh penyelesaian integral dengan menggunakan teknik-teknik tertentu seperti pemilihan fungsi u dan dv, penggunaan rumus integral parsial, serta teknik cover up.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial linier orde satu. Definisi persamaan diferensial adalah hubungan antara variabel bebas dan tak bebas serta derivasinya. Dibahas pula istilah-istilah seperti orde, derajat, penyelesaian umum dan khusus, serta contoh soal dan penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar ekonomi mikro seperti diferensial fungsi majemuk, optimalisasi, permintaan marjinal, dan elastisitas permintaan. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan cara menghitung turunan parsial dan derivatif dari suatu fungsi, metode optimalisasi bersyarat melalui substitusi dan Lagrange, serta konsep permintaan marjinal dan elastisitas permintaan untuk menganalisis hubungan antar variabel.
Metoda variasi parameter digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak homogen dengan menentukan fungsi variabel V1(x) dan V2(x) sehingga didapatkan penyelesaian khusus. Contoh penerapannya adalah menyelesaikan persamaan Y''+Y=cosec x dengan hasil Y=-x.cosx+ln|sinx|.sinx dan Y''-9Y=e^2x dengan hasil Y=C1e^3x +C2e^-3x -1/5e^2x
Dokumen tersebut membahas tentang diferensiasi fungsi majemuk dan optimisasi bersyarat. Secara ringkas, diferensiasi fungsi majemuk melibatkan lebih dari satu variabel bebas dan dilakukan secara parsial. Optimisasi bersyarat memaksimalkan atau meminimalkan suatu fungsi dengan terikat pada fungsi kendala menggunakan pengganda Lagrange atau metode Kuhn Tucker.
Bab ini membahas penyelesaian turunan parsial fungsi implisit dengan menggunakan aturan rantai. Metode pendiferensialan implisit digunakan untuk menentukan turunan fungsi yang didefinisikan secara implisit oleh persamaan F(x,y)=0. Turunan fungsi implisit dapat ditentukan untuk dua variabel maupun tiga variabel atau lebih. Contoh soal diberikan beserta penyelesaiannya untuk memperjelas konsep dasar
Dokumen ini membahas tentang diferensial dan optimalisasi fungsi majemuk, termasuk definisi diferensial parsial dan contoh penerapannya dalam menentukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi. Juga dijelaskan cara menentukan titik ekstrim dan nilai fungsi pada titik ekstrim untuk fungsi satu atau lebih variabel.
Perkuliahan ini membahas konsep-konsep dasar matematika ekonomi seperti turunan parsial, nilai maksimum dan minimum, aturan diferensial, elastisitas parsial, dan penerapan diferensial berantai dan elastisitas silang permintaan. Tujuan instruksionalnya adalah agar mahasiswa memahami konsep-konsep tersebut dan mampu menyelesaikan soal-soal terkait.
Makalah ini membahas tentang persamaan diferensial parsial, yang merupakan persamaan diferensial yang memuat derivatif dari suatu variabel terhadap dua atau lebih variabel bebas. Persamaan ini berperan penting dalam menggambarkan fenomena fisis yang melibatkan besaran yang berubah terhadap ruang dan waktu, seperti gelombang elektromagnetik dan hidrodinamika. Makalah ini menjelaskan konsep dasar persamaan diferensial parsial, jenis-
Dokumen tersebut membahas dasar-dasar matematika yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah optimasi secara analitis, meliputi gradien, matriks Hessian, syarat perlu dan cukup keoptimalan, serta fungsi konveks dan konkaf.
The first step to success is to learn the basics. In other words, you can say that the key to being successful is learned even at preschool. Your children need a good foundation to be prepared enough for the real world. - http://www.liceo.edu.ph
Dokumen tersebut membahas tentang integral, termasuk definisi integral, rumus integral parsial, dan contoh-contoh penyelesaian integral dengan menggunakan teknik-teknik tertentu seperti pemilihan fungsi u dan dv, penggunaan rumus integral parsial, serta teknik cover up.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial linier orde satu. Definisi persamaan diferensial adalah hubungan antara variabel bebas dan tak bebas serta derivasinya. Dibahas pula istilah-istilah seperti orde, derajat, penyelesaian umum dan khusus, serta contoh soal dan penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar ekonomi mikro seperti diferensial fungsi majemuk, optimalisasi, permintaan marjinal, dan elastisitas permintaan. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan cara menghitung turunan parsial dan derivatif dari suatu fungsi, metode optimalisasi bersyarat melalui substitusi dan Lagrange, serta konsep permintaan marjinal dan elastisitas permintaan untuk menganalisis hubungan antar variabel.
Metoda variasi parameter digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak homogen dengan menentukan fungsi variabel V1(x) dan V2(x) sehingga didapatkan penyelesaian khusus. Contoh penerapannya adalah menyelesaikan persamaan Y''+Y=cosec x dengan hasil Y=-x.cosx+ln|sinx|.sinx dan Y''-9Y=e^2x dengan hasil Y=C1e^3x +C2e^-3x -1/5e^2x
Dokumen tersebut membahas tentang diferensiasi fungsi majemuk dan optimisasi bersyarat. Secara ringkas, diferensiasi fungsi majemuk melibatkan lebih dari satu variabel bebas dan dilakukan secara parsial. Optimisasi bersyarat memaksimalkan atau meminimalkan suatu fungsi dengan terikat pada fungsi kendala menggunakan pengganda Lagrange atau metode Kuhn Tucker.
Bab ini membahas penyelesaian turunan parsial fungsi implisit dengan menggunakan aturan rantai. Metode pendiferensialan implisit digunakan untuk menentukan turunan fungsi yang didefinisikan secara implisit oleh persamaan F(x,y)=0. Turunan fungsi implisit dapat ditentukan untuk dua variabel maupun tiga variabel atau lebih. Contoh soal diberikan beserta penyelesaiannya untuk memperjelas konsep dasar
Dokumen ini membahas tentang diferensial dan optimalisasi fungsi majemuk, termasuk definisi diferensial parsial dan contoh penerapannya dalam menentukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi. Juga dijelaskan cara menentukan titik ekstrim dan nilai fungsi pada titik ekstrim untuk fungsi satu atau lebih variabel.
Perkuliahan ini membahas konsep-konsep dasar matematika ekonomi seperti turunan parsial, nilai maksimum dan minimum, aturan diferensial, elastisitas parsial, dan penerapan diferensial berantai dan elastisitas silang permintaan. Tujuan instruksionalnya adalah agar mahasiswa memahami konsep-konsep tersebut dan mampu menyelesaikan soal-soal terkait.
Makalah ini membahas tentang persamaan diferensial parsial, yang merupakan persamaan diferensial yang memuat derivatif dari suatu variabel terhadap dua atau lebih variabel bebas. Persamaan ini berperan penting dalam menggambarkan fenomena fisis yang melibatkan besaran yang berubah terhadap ruang dan waktu, seperti gelombang elektromagnetik dan hidrodinamika. Makalah ini menjelaskan konsep dasar persamaan diferensial parsial, jenis-
Dokumen tersebut membahas dasar-dasar matematika yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah optimasi secara analitis, meliputi gradien, matriks Hessian, syarat perlu dan cukup keoptimalan, serta fungsi konveks dan konkaf.
The first step to success is to learn the basics. In other words, you can say that the key to being successful is learned even at preschool. Your children need a good foundation to be prepared enough for the real world. - http://www.liceo.edu.ph
The document discusses various technologies the author learned and improved their skills in while creating a media product. They gained experience using Photoshop, Blogger, Microsoft Office programs like Word and PowerPoint, as well as online resources like Prezi and SlideShare. The author also discusses using different devices and file transfer methods. Overall, the author felt they developed their technical skills and ability to use various technologies collaboratively to create media products.
Methods of Widely-Adopted Maximum Power Point Tracking Control for Photovolta...Ali Mahmood
The operation of PV energy conversion systems near the maximum power point increases the output efficiency of PV arrays. Recently, a great number of techniques have been suggested for tracking the maximum power point (MPP). Maximum power point tracking (MPPT) is used in photovoltaic (PV) systems to maximize the photovoltaic array output power, regardless of the temperature and radiation conditions and of the load electrical characteristics the PV array output power is used to directly control the Pulse-Width Modulation (PWM), dc/dc converter, thereby reducing the complexity of the system. The resulting system has high efficiency with lower cost. This paper proposes modeling of a solar power plant under PWM control with a simple algorithm for photovoltaic (PV) power generation systems. The method is based on the use of a constant coefficient of short circuit current of the PV to obtain the maximum output power .
This document discusses the history of black business ownership in the United States from the late 18th century to the modern day. It outlines the barriers black business owners faced after the Civil War, including lack of access to capital and credit. By the early 20th century, black Americans had successfully operated various types of businesses despite facing discrimination and obstacles. The document also examines the growth of black banks and businesses in cities like Rochester in the early-to-mid 20th century, as well as more recent data showing growth in the number and revenues of black-owned businesses in the US.
This document outlines actions in the new Digital Agenda for the Netherlands, with a focus on education, knowledge and innovation. It notes that digitization is rapidly transforming the economy and shifting demand for skills, with increasing shortages of software programmers, cybersecurity specialists, and data analysts. To address talent shortages that pose a challenge to the digital economy, the action line on education, knowledge and innovation aims to improve ICT education, strengthen knowledge development and innovation, and ensure infrastructure supports research, innovation and education.
The document provides a summary of Anna Boldina's education, skills, experience and projects. She has an MArch from UCL and is completing her Part III at Westminster University. She has over 15 years of experience in architecture firms in London and Russia, working on projects ranging from masterplans and residential buildings to competitions. Her roles have included project architect, architectural assistant and urban designer. She is proficient in several design software programs.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms for those who already suffer from conditions like anxiety and depression.
This document is a 122-page draft report prepared by Integrated Development Consultants Ltd for the East African Community Customs Directorate on duty remission schemes, exemptions, and preferential trade schemes applied by EAC partner states. The report assesses the legal basis, economic rationale, and customs management practices of duty remission schemes in the EAC. It also provides recommendations to harmonize duty remission schemes across the partner states, including through improved institutional arrangements and customs controls. The report analyzes duty remission schemes for specific goods like sugar, paper products, motorcycle parts, and wheat in the partner states and their impact on local production and exports. It also evaluates the regional capacity to supply goods covered under the different states'
M. Manjur Murshed Munshi has over 14 years of experience in project management, capacity building, livelihood development, and monitoring and evaluation. He holds a Master's degree in Social Science from the University of Dhaka. Currently he is working as a Program Officer at Pidim Foundation, managing projects in livelihoods, maternal health, and disability. Previously he has worked with organizations such as UNDP, PDIM, DSK, and Shapla Neer in various program and field management roles.
Gopalakrishnan Pillai has over 27 years of experience in logistics, warehousing, and distribution operations management. He is currently the Logistics Manager at Hellmann Healthcare Distribution Center in Dubai, where he oversees operations for major pharmaceutical clients. Previously, he held logistics and warehouse management roles in India and the UAE, helping to establish new facilities and implement efficient systems. He has a breadth of expertise in supply chain management, inventory control, customer relationship management, and team leadership.
This 3 paragraph document contains 3 sections, each with a title and accompanying text. The titles and text provide information about 3 different topics, but no other details are given in the document.
A new report was published on October 22, 2013 by Anthony Hsu. The report discusses a new example of Reportal, providing key details about its features and capabilities in a concise manner. It aims to demonstrate Reportal's functionality for reporting and analysis in a simplified example.
Deon L. Craft is applying for the Supply Base Analyst Indirect job opening at Harley-Davidson Motor Company. He has 8 years of experience as a supply and accounting manager for the United States Marines where he was quickly promoted to a managing position. Craft is eager to contribute his skills in supply chain, procurement, leadership, and management to Harley-Davidson. He has included his resume highlighting his experience and qualifications for the position.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial biasa dan metode numerik untuk menyelesaikannya, yaitu metode Euler, Heun, dan Runge Kutta hingga orde 4. Metode-metode tersebut digunakan untuk memperoleh aproksimasi solusi persamaan diferensial dengan menghitung nilai fungsi pada setiap langkah iterasi.
Dokumen ini membahas metode Newton-Gregory Backward (NGB) untuk menghitung turunan numerik berdasarkan data titik. Metode ini menggunakan hampiran polinom interpolasi dan deret Taylor untuk memperoleh rumus turunan pertama dan kedua secara mundur. Contoh soal mendemonstrasikan penggunaan rumus ini untuk menghitung nilai turunan dan galat berdasarkan data titik yang diberikan.
Metode Newton-Raphson untuk dua variabel memperluas metode ini untuk mencari akar persamaan non-linear dua variabel dengan menggunakan deret Taylor dan membentuk sistem persamaan untuk memperbarui nilai tebakan berikutnya. Contoh menunjukkan cara menerapkannya untuk menemukan akar dari dua persamaan non-linear dengan awal tebakan yang diberikan.
Bab 8 membahas solusi persamaan diferensial parsial dengan metode beda hingga. Metode ini mendekati solusi PDP dengan menggunakan perbedaan hingga eksplisit dan implisit. Metode eksplisit hanya mempertimbangkan nilai sebelumnya sedangkan implisit mempertimbangkan nilai sekarang dan sebelumnya untuk mendapatkan solusi yang lebih akurat. Kedua metode diterapkan untuk menyelesaikan contoh perambatan panas satu
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian dan cara penyelesaian persamaan diferensial tingkat satu dan pangkat satu. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif dari suatu fungsi. Terdapat beberapa jenis persamaan diferensial seperti persamaan homogen, tidak homogen, eksak dan tidak eksak yang diselesaikan dengan beberapa metode seperti faktor integral, variasi konstan, dan metode Bernouli.
Metode numerik pada persamaan diferensial (new)Khubab Basari
Teks tersebut membahas metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan menggunakan metode Euler dan Runge-Kutta. Metode Euler menggunakan deret Taylor sedangkan Runge-Kutta menghasilkan solusi lebih akurat dengan menghitung beberapa kali per iterasi. Contoh soal memberikan ilustrasi penerapan kedua metode tersebut pada persamaan diferensial orde satu.
Sillabus mata kuliah ini membahas berbagai metode numerik untuk menyelesaikan masalah-masalah matematika seperti persamaan non-linear, sistem persamaan linear, interpolasi, turunan numerik, integrasi numerik, dan persamaan diferensial biasa dengan menggunakan pendekatan numerik. Metode-metode yang dibahas antara lain metode eliminasi Gauss, interpolasi polinom, metode Runge Kutta, dan metode integral.
Modul ini membahas tentang derivatif fungsi aljabar, implisit, dan trigonometri. Terdapat rumus-rumus dasar untuk menghitung derivatif berbagai fungsi termasuk contoh soalnya."
1. Variabel bebas, sebagai lawan variabel
terikat yaitu variabel yang nilainya
tergantung oleh variabel yang lain. 1
8. Persamaan Differensial Biasa
(PDB)
Euler, Heun, Runge Kutta 1-4
1
Pendahuluan
Persamaan Differensial :
gabungan dari fungsi yang tidak diketahui dengan turunannya.
Kategori Persamaan Differensial :
– PD Biasa :
Persamaan Differensial yang hanya memiliki satu variabel bebas.
Berdasarkan turunan tertinggi yang dimiliki, PDB dikategorikan
menjadi :
PDB Orde 1 : turunan tertingginya adalah turunan pertama
2
PDB Orde 2 : turunan kedua merupakan turunan tertinggi
PDB Orde 3 : turunan ketiga merupakan turunan tertingginya.
Dan seterusnya
– PD Parsial
Persamaan Differensial yang memiliki lebih dari satu variabel
bebas.
2. Variabel bebas, sebagai lawan variabel
terikat yaitu variabel yang nilainya
tergantung oleh variabel yang lain. 2
Pendahuluan Cont.
Contoh Persamaan :
yx
dx
dy +=
Turunan dilambangkan dengan : dy/dx atau f’(x) atau y’,
sedangkan fungsi yang tidak diketahui dilambangkan
dengan keberadaan variabel terikatnya.
3
seperti contoh di atas, maka :
Turunan dilambangkan dengan dy/dx dan fungsi yang tidak
diketahui diwakili dengan variabel y.
Pendahuluan Cont.
22
' yxy +=
Kategorikan : (PD / bukan PD / PDP / PDB ?)
)2(3)(''' xSinyxCosyy =−+
)(;173' 53
tfytty =+−= −
1. PDB orde 1
2. PDP
3. Bukan PD
4. PDB orde 2
yx
xye
y
u
x
u +
=
∂
∂
+
∂
∂
62
2
2
2
4 02 2
=−+ yyx
dx
dy
)()( yyy
''1'2'''2 yyy −=−
2
2
2
2
2
)1()(3
y
u
x
x
u
txSin
t
u
∂
∂
++
∂
∂
++=
∂
∂
4)(' 2
−=−− xxxf
PDB orde 2
5. PDB orde 3
6. Bukan PD
7. PDP
8. PDB orde 1
3. Variabel bebas, sebagai lawan variabel
terikat yaitu variabel yang nilainya
tergantung oleh variabel yang lain. 3
Pendahuluan (Cont.)
Solusi PDB :
– solusi analitik : salah satunya dengan teknik integral
– solusi numerik : menggunakan metode hampiran.
Solusi Numerik :
mencari nilai fungsi di xr+1, dimana r menunjukkan
jumlah langkah atau iterasi.
Langkah/iterasi memiliki jarak yang sama (h)
5
Langkah/iterasi memiliki jarak yang sama (h)
xr = x0 +rh;r = 0,1,2,…,n
PDB Orde Satu
Bentuk baku PDB orde satu :
Contoh :
),(')(' yxfyxf
dx
dy ===
y
x
yxyyyyy
x
yxy
xy
yyxyy
++−=→−=−=+−
−
=→==+
2'1)1(;'2
2
100
'1)0(;100'2
6
Metode penyelesaian :
– Euler
– Heun
– Runge Kutta
4. Variabel bebas, sebagai lawan variabel
terikat yaitu variabel yang nilainya
tergantung oleh variabel yang lain. 4
Metode Euler
Bentuk baku :
Penurunan
– Deret Taylor : uraikan y(xr+1) disekitar xr
rhxx
xyy
yxyyxfyxf
dx
dy
r
rr
+=
=
====
0
00
)(
)();,(')('
...)(''
!2
)(
)('
!1
)(
)()(
2
11
1 +
−
+
−
+= ++
+ r
rr
r
rr
rr xy
xx
xy
xx
xyxy
7
– Dipotong sampai orde 3 :
– Karena y’(xr) = f(xr,yr) dan xr+1-xr = h, maka :
!2!1
1
2
11
1 );(''
!2
)(
)('
!1
)(
)()( +
++
+ ≤≤
−
+
−
+= rr
rr
r
rr
rr xtxty
xx
xy
xx
xyxy
nrhOyxhfxyxy rrrr ,...,2,1,0);(),()()( 2
1 =++≈+
Metode Euler (Cont.)
Penurunan secara geometris :
f(x,y) adalah persamaan differensial yang dapat
digambarkan sebagai gradien garis singgung di titik
(x,y).
Garis singgung ditarik menyinggung titik (x0,y0) untuk
menemukan nilai y(x ) pada titik (x y ) ditarik lagi
8
menemukan nilai y(x1), pada titik (x1,y1) ditarik lagi
garis yang menyinggung titik tersebut dengan fungsi
f(x,y) untuk mendapatkan f(x2) dan seterusnya.
5. Variabel bebas, sebagai lawan variabel
terikat yaitu variabel yang nilainya
tergantung oleh variabel yang lain. 5
Metode Euler (Cont.)
4
5
6
7
8
y(x)
(x1,y1)
(x2,y2)
(x3,y3)
(x4,y4)
(x5,y5)
(x6,y6)
(x7,y7) (x8,y8)
9
0
1
2
3
4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
dy/dx
(x0,y0)
Metode Euler (Cont.)
0
1
2
3
4
5
6
7
y(x)
yr
Yr+1
sejati
Yr+1
hampiran
Yr
sejati
A
B
C
galat
10
0
0 0.5 1h
),(
),(
),()('
1
1
1
rrrr
rrrr
rr
rrr
yxhfyy
yyyxhf
h
yy
AB
BC
x
y
yxfxym
+=
−=
−
==
∆
∆
===
+
+
+
6. Variabel bebas, sebagai lawan variabel
terikat yaitu variabel yang nilainya
tergantung oleh variabel yang lain. 6
Metode Euler (Cont.)
Galat
– Galat Pemotongan
sebanding dengan kuadrat ukuran langkah
– Galat Kumulatif
)()(''
2
1 22
hOtyhEp =≈
11
)(
2
)('')(
)(''
2
)(
)(''
2
)(''
2
1 2
2
2
1
hO
thyab
tyh
h
ab
yy
nh
tyhE
n
r
kumulatif =
−
=
−
==≈ ∑=
Metode Euler (Cont.)
Contoh Soal :
1. dy/dx =x + y ; y(0) = 0
Berapa y(0.1) dengan langkah h = 0.02 dan h = 0.05
jika diketahui fungsi asli adalah y(x) = ex-x-1, langkah mana yang lebih teliti ?
h = 0.05
x = 0 y(0) = 0
x = 0.05 y(0.05) = 0 + 0.05(0+0) = 0
x = 0.1 y(0.1) = 0 + 0.05(0.05+0) = 0.0025
12
h = 0.02
x = 0 y(0) = 0
x = 0.02 y(0.02) = 0 + 0.02(0+0) = 0
x = 0.04 y(0.04) = 0 + 0.02(0.02+0) = 0.0004
x = 0.06 y(0.06) = 0.004 +0.02(0.04+0.004) = 0.001208
x = 0.08 y(0.08) = 0.001208 +0.02(0.06+0.001208) = 0.00243216
x = 1 y(0.1) = 0.00243216 + 0.02(0.08+0.00243216) = 0.0040808032
y(0.1) = e0.1-0.1-1 =
Langkah h = 0.02 lebih teliti
0.00517091807564762
7. Variabel bebas, sebagai lawan variabel
terikat yaitu variabel yang nilainya
tergantung oleh variabel yang lain. 7
Metode Heun
Merupakan perbaikan metode Euler.
Solusi Euler dijadikan solusi perkiraan awal
dan diperbaiki dengan metode Heun.
Perbaikan gradien yang digunakan
merupakan rata-rata gradien dari 2 titik yang
13
merupakan rata rata gradien dari 2 titik yang
ada.
Metode Heun (Cont.)
Dari satu titik awal (xr,yr), iterasi dan
gradien didapatkan perkiraan nilai
y(xr+1) selanjutnya (xr+1,yr+1)
beserta gradiennya.
Dari dua gradien yang ada dicari
rata-ratanya kemudian digunakan
untuk menghitung kembali nilai
y(xr+1).
Misal :
A l it i di iliki ( 0 0) d
),(
)),(),((
2
1
,(
),();,(
),(
),();,(
1
0
11)
0
11
0
11
0
1
rrrr
rrrrrr
rrrr
rrrr
rrrr
yxfhyy
yxfyxfyxf
yxfyx
yxhfyy
yxfyx
+=
+=
+=
+
++
++++
+
14
– Awal iterasi dimiliki (x0,y0) dan
f(x0,y0)
– Kemudian digunakan untuk
menghitung y(x1) dan didapatkan
f(x1,y1)
– Hitung kembali y(x1) dengan gradien
(f(x0,y0)+f(x1,y1)/2
8. Variabel bebas, sebagai lawan variabel
terikat yaitu variabel yang nilainya
tergantung oleh variabel yang lain. 8
Metode Heun (Cont.)
Secara geometris :
3
4
5
6
7
y(x)
yr_euler
yr_heun
f(xr,yr) f(xr+1,yr+1)
frat(xr,yr)
(xr+1,yr+1)
15
0
1
2
0 0.5 1
(xr,yr)
Metode Runge Kutta
Bentuk umum Runge Kutta Orde n:
yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + … + ankn
Dengan a1,a2,a3, …,an adalah konstanta
k1 = hf(xr,yr)
k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)
k3 = h(f(xr+p2h,yr+q21k1+q22k2)
k4 = h(f(xr+p3h,yr+q31k1+q32k2+q33k3)
…
16
kn = h(xr+pn-1h,yr+qn-1,1k1+qn-1,2+…+qn-1,n-1kn-1)
Galat
– Per langkah Runge Kuta orde –n : O(hn+1)
– Kumulatif orde-n :O(hn)
9. Variabel bebas, sebagai lawan variabel
terikat yaitu variabel yang nilainya
tergantung oleh variabel yang lain. 9
Metode Runge Kutta (Cont. )
Orde 1
k1 = hf(xr,yr)
yr+1 = yr + a1k1 ; a1 = 1
yr+1 = yr + hf(xr,yr) Rumus Euler
Galat :
17
Per langkah : O(h2)
Kumulatif : O(h)
Metode Runge Kutta (Cont. )
Orde 2
k1 = hf(xr,yr)
k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)
yr+1 = yr + a1k1 + a2k2
Dengan penurunan rumus yang sudah ada didapatkan :
a1 = 1-a2 = 1-t
p1 = 1/(2a2) = 1/(2t)
18
q11 = 1/(2a2) = 1/(2t)
Artinya ada tak berhingga formula orde dua.
Dengan a1=a2 = ½, p1 = 1
yr+1 = yr + ½ (k1 + k2) Metode Heun
10. Variabel bebas, sebagai lawan variabel
terikat yaitu variabel yang nilainya
tergantung oleh variabel yang lain. 10
Metode Runge Kutta (Cont. )
Orde 3
k1 = hf(xr,yr)
k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)
k3 = h(f(xr+p2h,yr+q21k1+q22k2)
yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + a3k3
dengan menggunakan penurunan rumus yang ada didapatkan :
k = hf(x y )
19
k1 = hf(xr,yr)
k2 = h(f(xr+1/2 h, yr+1/2 k1)
k3 = h(f(xr+h,yr-k1+2k2)
yr+1 = yr + 1/6( k1 + 4k2 + k3)
Metode Runge Kutta (Cont. )
Orde 4
k1 = hf(xr,yr)
k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)
k3 = h(f(xr+p2h,yr+q21k1+q22k2)
k4 = h(f(xr+p3h,yr+q31k1+q32k2+q33k3)
yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + a3k3 + a4k4
dengan menggunakan penurunan rumus yang ada didapatkan :
k hf( )
20
k1 = hf(xr,yr)
k2 = h(f(xr+1/2 h, yr+1/2 k1)
k3 = h(f(xr+1/2h,yr+2k2)
k4 = h(f(xr+h,yr+k3)
yr+1 = yr + 1/6( k1 + 2k2 + 2k3 + k4)