Matematika Sains: Diferensial Pendidikan Sains Pps. Unesa 2013

1. Diferensial
Matematika Sains
Pendidikan Sains Pps Unesa 2013

2. Turunan
Fungsi
Aljabar
Fungsi
Trigonometri
Fungsi Eksponen
dan Logaritma
Aturan
Rantai
Aplikasi
Grafik
Fungsi

3. A. Definisi Turunan
Turunan dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung kurva,
kecepatan dan percepatan gerak benda, serta kasus maksimum/minimum.
Misalkan diketahui fungsi y = f(x). Jika variable x bertambah besar Δx (dibaca:
“delta x”) maka variabel y (dibaca: “delta y”. Hal ini dapat ditulis
y = f(x)
y + Δy = f(x + Δx)
Jadi, Δy timbul karena adanya perubahan sebesar Δx pada x. Jika kedua ruas
dibagi Δx, diperoleh :
Δ𝑦
Δ𝑥
Δ𝑦
Δ𝑥
=
𝑓 𝑥 + Δ𝑥 −𝑓(𝑥)
Δ𝑥
dinamakan hasil bagi perbedaan yang mencerminkan tingkat perubahan
rata-rata variabel y terhadap variabel x.

4. Turunan suatu fungsi f(x) didefiniikan:
𝑑𝑦
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
′ 𝑥 = lim
= 𝑓
ℎ→0
𝑑𝑥
ℎ
Contoh:
Tentukan turunan pertama fungsi f(x) = 𝑥 2 + 1
Jawab:
𝑑𝑦
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
= 𝑓 ′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑑𝑥
ℎ
=
𝑓(𝑥+ℎ)2 −𝑓(𝑥 2 + 1)
lim
ℎ
ℎ→0
=
𝑥 2 +2𝑥ℎ+ℎ2 +1− 𝑥 2 − 1)
lim
ℎ
ℎ→0
=
2𝑥ℎ+ℎ2
lim
ℎ
ℎ→0
= lim 2𝑥 + ℎ = 2𝑥
ℎ→0

5. B. Turunan Fungsi
Aljabar
Misalkan diberikan fungsi f(x) = c, f(x) = x, f(x), = 𝑥 2 , f(x) = 𝑥 3 , f(x) = 𝑥 4 ,
dan f(x) = 𝑥 𝑛 .
Dengan menggunakan rumus
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 +ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
ℎ→0
= 𝑓 ′ 𝑥 = lim
, maka
akan diperleh turunan fungsi f(x) = c adalah 𝑓 ′ 𝑥 = 0, turunan fungsi
f(x) = 𝑥 2 adalah 𝑓 ′ 𝑥 = 2x, turunan fungsi f(x) = 𝑥 3 adalah 𝑓 ′ 𝑥 =
3𝑥 2 , dan seterusnya.
Secara umum, fungsi f(x) = 𝑥 𝑛 , dengan n bilangan bulat, turunannya
dapat ditentukan dengan:
𝑓
′
𝑥 =
(𝑥+ℎ)2 − 𝑥 𝑛
lim
ℎ
ℎ→0

6. Menurut teorema Binomial, untuk dan y bilangan real dan n bilangan
asli, berlaku:
(𝑥 + 𝑦) 𝑛 = ∁0𝑛 𝑥 𝑛 + ∁1𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑦 + ∁2𝑛 𝑥 𝑛−2 𝑦 2 + ……. + ∁ 𝑛 𝑦 𝑛
𝑛
𝑓
′
𝑥
(𝑥+ℎ)2 − 𝑥 𝑛
= lim
ℎ
ℎ→0
𝑥 𝑛 + ∁1𝑛 𝑥 𝑛−1 ℎ + …….+ ℎ 𝑛 − 𝑥 𝑛
= lim
ℎ
ℎ→0
∁0𝑛 𝑥 𝑛 + ∁1𝑛 𝑥 𝑛−1 ℎ + …….+ ℎ 𝑛 − 𝑥 𝑛
= lim
ℎ
ℎ→0
∁1𝑛 𝑥 𝑛−1 ℎ + …….+ ℎ 𝑛
= lim
ℎ
ℎ→0
= ∁1𝑛 𝑥 𝑛−1
= 𝑛𝑥 𝑛−1
Dengan demikian, apabila f(x) maka telah terbukti 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑛𝑥 𝑛−1 .

7. Dengan cara yang sama, jika f(x) = 𝑎𝑥 𝑛 , maka dapat dibuktikan bahwa
turunan f(x) adalah 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥 𝑛−1 . Selanjutnya, rumus ini berlaku
pula unutuk n bilangan rasional dan dapat dikatakan sebagai berikut:
“jika n bilangan rasional, c konstanta, u(x) dan v(x) fungsifungsi diferensiabel dengan turunannya masing-masing
𝑢′ 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑣 ′ 𝑥 , sedangkan 𝑓 ′ 𝑥 turunan dari f(x).”
maka berlaku sebagai berikut:
• Jika f(x) = c maka turunannya adalah 𝑓 ′ 𝑥 = 0
• Jika f(x) = 𝑥 𝑛 maka turunannya adalah 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑛𝑥 𝑛−1
• Jika f(x) = 𝑎𝑥 𝑛 maka turunannya adalah 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥 𝑛−1

8. Contoh soal:
1. Tentuka turunan dari f(x)= 6𝑥 4
Jawab:
f(x)= 6𝑥 4 , maka dalam hal ini a = 6 n = 4
Jadi, f'(x)= 6(4𝑥 4−1 ) = 24𝑥 3
2. Tentukan turunan dari f(x) =
1
𝑥
Jawab:
1
𝑥
𝑓′
f(x) = = 𝑥 −1 , dalam hal ini, n = -1
Jadi,
𝑥 = −𝑥 −1−1 = −𝑥 −2 atau 𝑓 ′ 𝑥 =
3. Tentukan turunan dari f(x) =
𝑥
−1
𝑥2

9. Jawab:
Dengan menggunakn definisi turunan, diperoleh:
𝑓 ′ 𝑥 = lim
ℎ→0
= lim
ℎ→0
𝑥+ℎ −
ℎ
𝑥+ℎ −
ℎ
𝑥
𝑥
x
𝑥+ℎ − 𝑥
𝑥+ℎ − 𝑥
𝑥+ℎ− 𝑥
ℎ→0 ℎ ( 𝑥+ℎ − 𝑥 )
= lim
= lim
ℎ→0
1
𝑥+ℎ −
𝑥
=
1
2
𝑥
1
−1
2
=
1
2
𝑥
1
−2

10. C. Turunan Fungsi
Trigonometri
Turunan fungsi trigonometri diperoleh dengan mencari limit
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
,
ℎ
ℎ→0
lim
untuk f(x) merupakan fungsi trigonometri. Dan beberapa
fungsi trigonometri khusus yaitu:
sin ℎ
ℎ→0 ℎ
lim
a.
1−cos ℎ
ℎ
ℎ→0
= 1 dan lim
=0
Untuk mencari turunan f 𝑥 = sin 𝑥 dengan menggunakan limit
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
,
ℎ
ℎ→0
lim
𝑓′
diperoleh:
𝑠𝑖𝑛 𝑥 + ℎ − 𝑠𝑖𝑛(𝑥)
𝑥 = lim
ℎ→0
ℎ
sin 𝑥 cos ℎ+cos 𝑥 sin ℎ− sin
= lim
ℎ→0
ℎ
𝑥

11. = lim − 𝑠𝑖𝑛 𝑥.
ℎ→0
1−cos ℎ
ℎ
+ cos 𝑥
sin ℎ
ℎ
sin ℎ
1 − cos ℎ
]
= − sin 𝑥 [lim
] + cos 𝑥 [lim
ℎ
ℎ→0 ℎ
ℎ→0
= sin 𝑥. 0 + cos 𝑥. 1 = cos 𝑥
b. Untuk mencari turunan f 𝑥 = cos 𝑥 dengan menggunakan limit
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
, diperoleh:
ℎ
ℎ→0
𝑐𝑜𝑠 𝑥+ℎ −𝑐𝑜𝑠(𝑥)
= lim
ℎ
ℎ→0
lim
𝑓′ 𝑥
cos 𝑥 cos ℎ+sin 𝑥 sin ℎ− cos 𝑥
ℎ
ℎ→0
= lim
= lim − 𝑐𝑜𝑠 𝑥.
ℎ→0
= − 𝑐𝑜𝑠
1−cos ℎ
ℎ
− sin 𝑥
1−cos ℎ
𝑥 [lim
]
ℎ
ℎ→0
sin ℎ
ℎ
sin ℎ
]
ℎ
ℎ→0
− sin 𝑥 [lim
= −cos 𝑥. 0 − sin 𝑥. 1 = −sin 𝑥

12. D. Turunan dengan
Aturan Rantai

Prinsip menentukan turunan dengan aturan rantai
adalah:
1. Mengubah fungsi yang akan diturunkan kedalam fungsi
bentuk dasar seperti xn
2. Fungsi-fungsi dasar tersebut diurunkan seperti aturan
sebelumnya.
Misalnya terdapat fungsi y = f ( u )x))
Turunan fungsi y dapat ditentukan dengan: dy  dy x du
dx du dx
Misalkan terdapat Fungsi y = f ( u (v(x)))
Turunan fungsi y dapat ditentukan dengan:
dy dy du dv

x
x
dx du dv dx

13. Contoh:
2
 Tentukan turunan fungsi y  (3x  2)
Jawab :
y  u2
Misalkan u  3x  2 . Dengan demikian
Untuk y  u 2 maka dy  2u
du
Karena u  3x  2 maka du  3
dx
dy dy du
Jadi

x  2ux3  2(3x  2)(3)  18 x  2
dx du dx

14. E. Turunan Fungsi
Eksponen dan Logaritma
1.
Turunan Fungsi Eksponen (𝒚 = 𝒆 𝒙 )
Turunan suatu fungsi dapat ditentukan dengan menggunakan limit.
Berdasarkan pengertian itu, turunan fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑓 𝑥+ℎ −𝐹(ℎ)
𝑦′ =lim
ℎ
ℎ→0
adalah
Oleh karena itu ,misalnya 𝑦 = 𝑒 𝑥 maka
𝑓 ′ 𝑥 = lim 𝑒 𝑥+ℎ − 𝑒 𝑟
ℎ→0
=
=
𝑒 𝑥 ×𝑒 𝑥 −𝑒 𝑥
lim
ℎ
ℎ→0
𝑒 𝑥 (𝑒 ℎ −1)
lim
ℎ
ℎ→0
𝑥
= 𝑒 lim
ℎ→0
𝑥×1
= 𝑒
= 𝑒𝑥
𝑒 ℎ −1
ℎ
(ingat : lim
ℎ→0
𝑒 ℎ −1
ℎ
=1

15. Berdasarkan uraian di atas, dapat disim[ulkan sebagai berikut.
Jika 𝑦 = 𝑒 𝑥 maka 𝑦 = 𝑒 𝑥
Dengan menggunakan dalil rantai, misalnya 𝑢 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 , kalian dapat
menentukan bahwa turunan dari fungsi 𝑦 = 𝑒 𝑎𝑥+𝑏 adalah sebagai berikut.
Jika 𝑦 = 𝑒 𝑎𝑥+𝑏 maka 𝑦 ′ = 𝑎𝑥 𝑎𝑥+𝑏
Contoh :
Tentukan turunan dan fungsi berikut.
a.
b.
c.
𝑦 = 𝑒 5𝑥
𝑦= 𝑒
𝑦= 𝑒
−𝑥+3
cos 𝑥
Jawab:
a.
b.
c.
𝑦 = 𝑒 5𝑥 maka 𝑦 ′ = 5𝑒 5𝑥
𝑦 = 𝑒 −𝑥+3 maka 𝑦 ′ = −𝑒 −𝑥+3
𝑦 = 𝑒 cos 𝑥 maka 𝑦 ′ = − sin 𝑥 𝑒 cos
𝑥

16. 2. Turunan Logaritma Natural (In x)
Logaritma, yaitu jika 𝑦 = 𝑎log 𝑥 maka 𝑥 = 𝑎 𝑦 . Apakah logaritma
dengan basis atau bilangan pokok 𝑒. Logaritma natural biasanya
dinotasikan “In” sehingga 𝑒log 𝑥 = In 𝑥
Oleh karena itu , dapat didefinisikan sebagai berikut.
In 𝑥 = 𝑦
𝑥= 𝑒𝑦
Turunan dari fungsi tersebut? Misalnya 𝑦 = in 𝑥, maka 𝑥 = 𝑒 𝑦 . Turunan 𝑒 𝑦
𝑑𝑒 𝑦
𝑑𝑦
terhadap variable 𝑦 akan diperoleh
. Karena 𝑒 𝑦 = 𝑥 maka = 𝑥
𝑑𝑦
Maka, diperoleh
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑑𝑦 =
𝑑𝑥
𝑑𝑥
1
𝑥
Jadi, dapat disimpulkan:
Jika 𝑦 =In 𝑥 maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑥
Secara umum, dapat ditentukan turunan 𝑦 = In 𝑢, dengan 𝑢 = 𝑓(𝑥) adalah
sebagai berikut.
Jika 𝑦 = In 𝑢 dengan 𝑢 = 𝑓 𝑥 , maka 𝑦 ′ =
𝑢′
𝑢′

17. Contoh:
Tentukan turunan fungsi berikut:
a. 𝑦 = 2 In 𝑥
b. 𝑦 = In (𝑘𝑥 + 𝑐)
Jawab:
a.
′
1
𝑥
𝑦 = In 𝑥 maka 𝑦 = 2 × =
2
𝑥
b. 𝑦 = I 𝑘𝑥 + 𝑐
Misal 𝑢 = 𝑘𝑥 + 𝑐 maka
𝑢′ =
𝑘 sehingga
𝑦′
=
𝑢′
𝑢′
=
𝑘
𝑘𝑥+𝑐

18. F. Grafik Fungsi
Langkah-langkah yang perlukan dalam menggambar grafik suatu fungsi f(x):
1. Menentukan titik potong f(x) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X
dan sumbu Y).
2. Menentukan titik-titik stasioner atau titik ekstrem dan jenisnya.
3. Menentukan titik-titik sembarang dalam fungsi untuk memperhalus
grafik.
Contoh:
Sketsalah grafik fungsi f(x)= 2x3 – x4.
Jawab:
Langkah 1:
Titik potong dengan sumbu X, syaratnya f(x)=0
F(x) = 2x3 – x4 = x3 (2-x) = 0. Karena = x3 (2-x) = 0, x=0 atau x = 2.
Dengan demikian, titik potong dengan sumbu X adalah (0,0) dan (2,0).
Titik potong dengan sumbu Y, syaratnya x = 0.
Nilai f(0) = 0. Dengan demikian, titik potong dengan sumbu Y adalah (0,0).

19. Langkah 2:
Setelah menentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu-sumbu
koordinat, kita tentukan titik-titik ekstremnya.
3
2
Diketahui f(x) = 2x3 – x4  f’(x) = 6x2 – 4x3 = 2x2(3-2x) = 0  x = 0 atau x = .
a. Untuk x = 0
Untuk x < 0 maka f’(x) > 0. Akibatnya, untuk x < 0, fungsi f(x) naik.
3
3
3
2
3
2
Untuk 0 < x < maka f’(x) > 0. Akibatnya, untuk 0 < x < , fungsi f(x)
2
2
naik.
Dengan demikian, x = 0 merupakan nilai x dimana terdapat titik
belok.
b.Untuk x =
3
2
Untuk 0 < x < maka f’(x) > 0. Akibatnya, untuk 0 < x < , fungsi f(x) naik.
3
3
Untuk x > , maka f’(x) < 0, untuk x > , fungsi f(x) turun.
2
2
Dari a) dan b) dapat kita lukiskan arah (gradien) grafik itu, seperti
Gambar 8.16 (a).

20. a.
+++
+++
0
---
3
2
𝑓′ 𝑥
3
Dengan demikian, x = 2 merupakan nilai x dimana terdapat titik balik maksimum
dan x = 0 merupakan titik belok.
Jadi sketsa grafiknya dapat kita lukis seperti Gambar 8.16 (b).
b.

21. G. Aplikasi Turunan
dalam Biologi
1. Pengawasan industri penangkapan ikan.
Seorang ahli biologi perikanan mempelajari akibat dari penangkapan ikan pada
populasi air tawar. Populasi ikan dalam suatu danau awalnya berjumlah 1
juta dan kecepatan pertumbuhannya 4% per tahun. Peraturan
memperbolehkan untuk menangkap ikan sebanyak 80000 ikan per tahun.
Dengan syarat ini berapakah ukuran populasi ikan di masa yang akan datang.
Penyelesaian:
Jika yn adalah ukuran populasi ikan pada akhir tahun ke n maka masalah
nilai awal yang menggambarkan populasi ikan di masa yang akan datang:
yn+1 – yn = 0.04yn – 80000, yo = 1000000.
perubahan populasi ikan (yn+1 – yn)
pertumbuhan alami (0.04yn)
penangkapan ikan (80000)
ukuran populasi (1000000)

22. Solusi dari persamaan ini adalah:
yn = 1000000 (1.04)n – 2000000 [(1.04)n - 1].
= 1000000 (1.04)n + 2000000 -2000000(1.04)n.
= 2000000 – 1000000(1.04)n
= 1000000 [ 2 – (1.04)n].
Jadi solusinya adalah:
yn = 1000000 [ 2 – (1.04)n].
Aplikasi dalam bidang biologi ini dapat dirangkum sebagai berikut:
Jika suatu populasi biologi tumbuh dengan kecepatan kper periode waktu dan
jika populasi berkurang secara periodik sejumlah d maka persamaan
diferensi yang menggambarkan ukuran populasi pada akhir periode ke n (yn)
adalah:
yn+1 = (1 + k) yn – d .
dengan solusinya:
yn = yo (1+k)n – d/k [ (1+k)n – 1 ].
(n = 0, 1, 2, 3, … )

23. 2. Aliran Darah
Pada waktu kita meninjau aliran darah melalui pembuluh darah, seperti urat
darah halus atau arteri, kita dapat mengambil bentuk pembuluh darah itu
berupa tabung silinder dengan jari-jari R dan panjang l. Karena gesekan pada
dinding tabung, maka berapakah kecepatan aliran darah jika salah satu arteri
manusia diketahui viskositas darah = 0,027, jari-jari pembuluh darah arteri =
0,008 cm, panjang pembuluh darah arteri = 2 cm, dan selisih tekanan di antara
kedua ujung pembuluh darah = 4000 dyne/cm2, jaraknya = 0,002 cm serta
berapah gradien kecepatannya?
Penyelesaian:
Diketahui: ŋ = 0,027, R = 0,008 cm, l = 2 cm, dan P = 4000 dyne/cm2, r = 0,002
cm
Ditanya: v dan gradien kecepatannya?

24. Jawab:
V=
𝑃
4ŋ 𝐼
(𝑅2 − 𝑟 2 )
4000
(0,000064 − 𝑟 2 )
4 0,027 2
1,85 x 104 (6,4 x10−5 − 𝑟 2 )
V=
≈
Pada r = 0,002 cm darah mengalir pada kecepatan sebesar:
V (0,002) = 1,85 x 104 (6,4 x10−5 x 4 x 10−6 )
𝑐𝑚
𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘
= 1,11 cm/detik
Gradien kecepatan pada titik tersebut adalah
𝑑𝑣
𝑑𝑟
r = 0,002 =
4000 (0,002)
2 0,027 2
= -74 (cm/detik)/cm

25. Untuk mendapatkan perasaan bahwa apakah persamaan ini bermakna,
mari kita ubah satuan dari cm menjadi μm (1 cm = 10.000 μm).
Kemudian jari-jari arteri adalah 80 μm. Kecepatan di sumbu pusat
adalah 11.850 μm/detik, yang berkurang menjadi 11.110 μm/detik
𝑑𝑣
pada jarak r = 20 μm. Kenyataan bahwa
≈ -74 (μm/detik)/μm
𝑑𝑟
berarti bahwa pada waktu r = 20 μm kecepatan berkurang pada laju
sekitar 74 μm/detik untuk setiap mikrometer jauhnya kita beranjak
menjauhi pusat.