Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar ekonomi mikro seperti turunan parsial, elastisitas, fungsi marginal, optimisasi terkendali dan tak terkendali, serta konsep utilitas dalam pemilihan konsumen.
Pertemuan ini membahas berbagai teknik optimisasi untuk memaksimalkan atau meminimalkan fungsi tujuan perusahaan dengan kendala tertentu. Teknik-teknik tersebut meliputi analisis hubungan ekonomi, biaya total rata-rata dan marginal, pendekatan penerimaan total dan biaya total, analisis marginal, kalkulus diferensial, serta optimasi terkendala dan multivariat.
Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar ekonomi mikro seperti diferensial fungsi majemuk, optimalisasi, permintaan marjinal, dan elastisitas permintaan. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan cara menghitung turunan parsial dan derivatif dari suatu fungsi, metode optimalisasi bersyarat melalui substitusi dan Lagrange, serta konsep permintaan marjinal dan elastisitas permintaan untuk menganalisis hubungan antar variabel.
Tugas Mata Kuliah Statistik Widya PutriWidya Putri
Dokumen tersebut membahas tentang penerapan kalkulus integral dalam bidang ekonomi. Integral tak tentu digunakan untuk menemukan fungsi total dari variabel ekonomi jika fungsi marjinalnya diketahui, seperti fungsi biaya total, penerimaan total, utilitas total, dan produksi total. Integral tertentu digunakan untuk menghitung surplus konsumen dan produsen pada saat keseimbangan pasar.
Dokumen tersebut membahas tentang diferensiasi fungsi majemuk dan optimisasi bersyarat. Secara ringkas, diferensiasi fungsi majemuk melibatkan lebih dari satu variabel bebas dan dilakukan secara parsial. Optimisasi bersyarat memaksimalkan atau meminimalkan suatu fungsi dengan terikat pada fungsi kendala menggunakan pengganda Lagrange atau metode Kuhn Tucker.
Pertemuan ini membahas berbagai teknik optimisasi untuk memaksimalkan atau meminimalkan fungsi tujuan perusahaan dengan kendala tertentu. Teknik-teknik tersebut meliputi analisis hubungan ekonomi, biaya total rata-rata dan marginal, pendekatan penerimaan total dan biaya total, analisis marginal, kalkulus diferensial, serta optimasi terkendala dan multivariat.
Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar ekonomi mikro seperti diferensial fungsi majemuk, optimalisasi, permintaan marjinal, dan elastisitas permintaan. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan cara menghitung turunan parsial dan derivatif dari suatu fungsi, metode optimalisasi bersyarat melalui substitusi dan Lagrange, serta konsep permintaan marjinal dan elastisitas permintaan untuk menganalisis hubungan antar variabel.
Tugas Mata Kuliah Statistik Widya PutriWidya Putri
Dokumen tersebut membahas tentang penerapan kalkulus integral dalam bidang ekonomi. Integral tak tentu digunakan untuk menemukan fungsi total dari variabel ekonomi jika fungsi marjinalnya diketahui, seperti fungsi biaya total, penerimaan total, utilitas total, dan produksi total. Integral tertentu digunakan untuk menghitung surplus konsumen dan produsen pada saat keseimbangan pasar.
Dokumen tersebut membahas tentang diferensiasi fungsi majemuk dan optimisasi bersyarat. Secara ringkas, diferensiasi fungsi majemuk melibatkan lebih dari satu variabel bebas dan dilakukan secara parsial. Optimisasi bersyarat memaksimalkan atau meminimalkan suatu fungsi dengan terikat pada fungsi kendala menggunakan pengganda Lagrange atau metode Kuhn Tucker.
Perkuliahan ini membahas konsep-konsep dasar matematika ekonomi seperti turunan parsial, nilai maksimum dan minimum, aturan diferensial, elastisitas parsial, dan penerapan diferensial berantai dan elastisitas silang permintaan. Tujuan instruksionalnya adalah agar mahasiswa memahami konsep-konsep tersebut dan mampu menyelesaikan soal-soal terkait.
This document discusses the concepts of demand and supply elasticity. It begins with an introduction to elasticity, which is defined as a number that shows the percentage change in one variable due to a one percent change in another variable. Elasticity is classified into two types: demand elasticity and supply elasticity. Demand elasticity refers to the percentage change in quantity demanded resulting from a change in other demand-influencing variables like price, income, price of substitutes or complements. There are several types of demand elasticity discussed including price elasticity, income elasticity, and cross elasticity. The document provides examples and formulas for calculating each type of elasticity.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi kuadrat dan bentuk grafiknya, termasuk lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola. Contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan untuk setiap bentuk grafik.
Teori perilaku konsumen mempelajari bagaimana konsumen mengalokasikan sumber daya ekonominya untuk mencapai kepuasan maksimum. Terdapat dua pendekatan untuk mengukur kepuasan, yaitu pendekatan kardinal dan ordinal. Pendekatan kardinal mengukur kepuasan secara kuantitatif sedangkan pendekatan ordinal hanya membandingkan tingkat kepuasan tanpa mengukurnya.
Anuitas Tumbuh dan Variabel (Matematika Keuangan)Kelinci Coklat
Modul ini membahas tentang anuitas tumbuh dan variabel. Anuitas tumbuh adalah anuitas dimana pembayarannya tumbuh dengan tingkat pertumbuhan yang sama setiap periode. Anuitas variabel adalah anuitas dimana besaran pembayarannya berbeda setiap periode. Modul ini memberikan rumus untuk menghitung nilai sekarang dari anuitas tumbuh, variabel, dan perpetuitas tumbuh. Contoh soal juga diberikan beserta penjelasan cara pen
Teori Perilaku Konsumen. Mikroekonomi 1
Vadilla Mutia Zahara SE.,ME
Cardinal dan Ordinal
Theory of Choice
Utilitas dan kepuasan konsumen
Asumsi teori perilaku konsumen
Perbedaan pendekatan kardinal dan ordinal
Total utility dan marginal utility
The diminishing marginal utility, Marginal rate of substitution
Elastisitas permintaan (elasticity of demand)msahuleka
Dokumen tersebut membahas tentang konsep elastisitas permintaan dalam ekonomi, termasuk definisi elastisitas permintaan, cara menghitung koefisien elastisitas permintaan, arti dari koefisien elastisitas permintaan, dan faktor-faktor yang mempengaruhi elastisitas permintaan seperti harga barang, harga barang pengganti, dan pendapatan konsumen.
Dokumen tersebut membahas tentang teknik dan alat optimasi analisis regresi untuk melihat hubungan antara variabel dependen dan independen. Metode ordinary least square (OLS) digunakan untuk memperoleh persamaan regresi sederhana dan berganda dengan meminimalkan kuadrat kesalahan antara data aktual dan perkiraan. Konsep marginalitas dan elastisitas juga dijelaskan untuk menganalisis pengaruh perubahan suatu variabel terhadap variabel lain.
Bab 15 membahas utang pemerintah, termasuk tingkat utang berbagai negara, pandangan tradisional dan Ricardian terhadap utang, dan perspektif lain seperti anggaran berimbang versus kebijakan fiskal optimal."
Dokumen tersebut membahas tentang keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan. Keuntungan maksimum dicapai ketika selisih antara penerimaan total dan biaya total mencapai nilai tertinggi, yaitu pada kondisi di mana penerimaan marginal sama dengan biaya marginal. Dokumen ini juga memberikan contoh perhitungan keuntungan maksimum berdasarkan fungsi penerimaan total dan biaya total.
Bab ini membahas dua pertanyaan tentang kebijakan stabilisasi makroekonomi: (1) apakah kebijakan sebaiknya aktif atau pasif, dan (2) apakah kebijakan sebaiknya dijalankan berdasarkan aturan atau kebijaksanaan. Pendukung kebijakan aktif berargumen bahwa fluktuasi ekonomi dapat dikurangi, sementara pendukung pasif lebih khawatir tentang ketidakefektifan dan ketid
Matematika Ekonomi Diferensiasi fungsi sederhanalia170494
This document discusses differentiation rules for simple functions including:
- Constant functions have a derivative of 0
- Polynomial functions have derivatives that are the polynomial with the exponent decreased by 1 and multiplied by the exponent
- The product rule, quotient rule, and chain rule for differentiation
- Examples of applying these rules to differentiate a variety of functions
Perkuliahan ini membahas konsep-konsep dasar matematika ekonomi seperti turunan parsial, nilai maksimum dan minimum, aturan diferensial, elastisitas parsial, dan penerapan diferensial berantai dan elastisitas silang permintaan. Tujuan instruksionalnya adalah agar mahasiswa memahami konsep-konsep tersebut dan mampu menyelesaikan soal-soal terkait.
This document discusses the concepts of demand and supply elasticity. It begins with an introduction to elasticity, which is defined as a number that shows the percentage change in one variable due to a one percent change in another variable. Elasticity is classified into two types: demand elasticity and supply elasticity. Demand elasticity refers to the percentage change in quantity demanded resulting from a change in other demand-influencing variables like price, income, price of substitutes or complements. There are several types of demand elasticity discussed including price elasticity, income elasticity, and cross elasticity. The document provides examples and formulas for calculating each type of elasticity.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi kuadrat dan bentuk grafiknya, termasuk lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola. Contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan untuk setiap bentuk grafik.
Teori perilaku konsumen mempelajari bagaimana konsumen mengalokasikan sumber daya ekonominya untuk mencapai kepuasan maksimum. Terdapat dua pendekatan untuk mengukur kepuasan, yaitu pendekatan kardinal dan ordinal. Pendekatan kardinal mengukur kepuasan secara kuantitatif sedangkan pendekatan ordinal hanya membandingkan tingkat kepuasan tanpa mengukurnya.
Anuitas Tumbuh dan Variabel (Matematika Keuangan)Kelinci Coklat
Modul ini membahas tentang anuitas tumbuh dan variabel. Anuitas tumbuh adalah anuitas dimana pembayarannya tumbuh dengan tingkat pertumbuhan yang sama setiap periode. Anuitas variabel adalah anuitas dimana besaran pembayarannya berbeda setiap periode. Modul ini memberikan rumus untuk menghitung nilai sekarang dari anuitas tumbuh, variabel, dan perpetuitas tumbuh. Contoh soal juga diberikan beserta penjelasan cara pen
Teori Perilaku Konsumen. Mikroekonomi 1
Vadilla Mutia Zahara SE.,ME
Cardinal dan Ordinal
Theory of Choice
Utilitas dan kepuasan konsumen
Asumsi teori perilaku konsumen
Perbedaan pendekatan kardinal dan ordinal
Total utility dan marginal utility
The diminishing marginal utility, Marginal rate of substitution
Elastisitas permintaan (elasticity of demand)msahuleka
Dokumen tersebut membahas tentang konsep elastisitas permintaan dalam ekonomi, termasuk definisi elastisitas permintaan, cara menghitung koefisien elastisitas permintaan, arti dari koefisien elastisitas permintaan, dan faktor-faktor yang mempengaruhi elastisitas permintaan seperti harga barang, harga barang pengganti, dan pendapatan konsumen.
Dokumen tersebut membahas tentang teknik dan alat optimasi analisis regresi untuk melihat hubungan antara variabel dependen dan independen. Metode ordinary least square (OLS) digunakan untuk memperoleh persamaan regresi sederhana dan berganda dengan meminimalkan kuadrat kesalahan antara data aktual dan perkiraan. Konsep marginalitas dan elastisitas juga dijelaskan untuk menganalisis pengaruh perubahan suatu variabel terhadap variabel lain.
Bab 15 membahas utang pemerintah, termasuk tingkat utang berbagai negara, pandangan tradisional dan Ricardian terhadap utang, dan perspektif lain seperti anggaran berimbang versus kebijakan fiskal optimal."
Dokumen tersebut membahas tentang keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan. Keuntungan maksimum dicapai ketika selisih antara penerimaan total dan biaya total mencapai nilai tertinggi, yaitu pada kondisi di mana penerimaan marginal sama dengan biaya marginal. Dokumen ini juga memberikan contoh perhitungan keuntungan maksimum berdasarkan fungsi penerimaan total dan biaya total.
Bab ini membahas dua pertanyaan tentang kebijakan stabilisasi makroekonomi: (1) apakah kebijakan sebaiknya aktif atau pasif, dan (2) apakah kebijakan sebaiknya dijalankan berdasarkan aturan atau kebijaksanaan. Pendukung kebijakan aktif berargumen bahwa fluktuasi ekonomi dapat dikurangi, sementara pendukung pasif lebih khawatir tentang ketidakefektifan dan ketid
Matematika Ekonomi Diferensiasi fungsi sederhanalia170494
This document discusses differentiation rules for simple functions including:
- Constant functions have a derivative of 0
- Polynomial functions have derivatives that are the polynomial with the exponent decreased by 1 and multiplied by the exponent
- The product rule, quotient rule, and chain rule for differentiation
- Examples of applying these rules to differentiate a variety of functions
Makalah ini membahas tentang fungsi biaya dan penerimaan dalam produksi suatu perusahaan. Ia menjelaskan beberapa jenis biaya seperti biaya tetap, biaya variabel, biaya total, serta cara menghitung biaya rata-rata dan biaya marginal. Makalah ini juga mendefinisikan penerimaan total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marginal beserta contoh soal perhitungan.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi non-linear khususnya fungsi kuadrat. Dijelaskan bahwa fungsi kuadrat memiliki bentuk grafik parabola dan dapat memiliki nilai ekstrim minimum atau maksimum tergantung nilai koefisien a. Selanjutnya dijelaskan pula bagaimana menentukan titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x dan y berdasarkan nilai diskriminan. Diberikan juga contoh soal untuk mengg
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
(1) Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar ekonomi mikro seperti biaya produksi, penerimaan, dan keuntungan produsen; (2) Juga membahas pasar persaingan sempurna dimana harga ditentukan oleh pasar dan produsen dapat menjual output tanpa menurunkan harga; (3) Memberikan contoh perhitungan biaya, penerimaan, keuntungan, dan pasar persaingan sempurn
Dokumen ini membahas tentang diferensial dan optimalisasi fungsi majemuk, termasuk definisi diferensial parsial dan contoh penerapannya dalam menentukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi. Juga dijelaskan cara menentukan titik ekstrim dan nilai fungsi pada titik ekstrim untuk fungsi satu atau lebih variabel.
Dokumen ini membahas tentang diferensial dan optimalisasi fungsi majemuk, termasuk definisi diferensial parsial dan contoh penerapannya dalam menentukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi. Juga dijelaskan cara menentukan titik ekstrim dan nilai fungsi pada titik ekstrim untuk fungsi satu atau lebih variabel.
Modul ini membahas konsep dasar turunan dan aplikasinya dalam bisnis dan ekonomi. Turunan digunakan untuk menganalisis tingkat perubahan suatu fungsi. Modul ini juga menjelaskan kaidah-kaidah diferensiasi berbagai bentuk fungsi dan hubungan antara fungsi dan turunannya seperti garis singgung dan normal serta nilai stasioner. Aplikasi turunan dalam bisnis meliputi elastisitas harga, permintaan, penawaran, dan produksi s
Bab ini membahas penyelesaian turunan parsial fungsi implisit dengan menggunakan aturan rantai. Metode pendiferensialan implisit digunakan untuk menentukan turunan fungsi yang didefinisikan secara implisit oleh persamaan F(x,y)=0. Turunan fungsi implisit dapat ditentukan untuk dua variabel maupun tiga variabel atau lebih. Contoh soal diberikan beserta penyelesaiannya untuk memperjelas konsep dasar
1. Matematika derivatif membahas pengertian, rumus, dan arti geometrik dari derivatif. Rumus umum derivatif membahas aturan-aturan derivatif fungsi yang dijumlah, dikurang, dikalikan, atau dibagi.
2. Derivatif fungsi bersusun dan diferensial total membahas cara menghitung derivatif suatu fungsi yang nilai variabelnya bergantung pada fungsi lain.
3. Contoh penerapan derivatif membahas cara menent
Fungsi invers, eksponensial, logaritma, dan trigonometri mencakup definisi dan sifat-sifat fungsi seperti fungsi invers, eksponensial, logaritma, dan trigonometri serta turunan dan integralnya. Fungsi-fungsi tersebut merupakan konsep penting dalam kalkulus.
Dokumen tersebut membahas dasar-dasar matematika yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah optimasi secara analitis, meliputi gradien, matriks Hessian, syarat perlu dan cukup keoptimalan, serta fungsi konveks dan konkaf.
Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu dan integral tertentu. Integral adalah antiturunan dari suatu fungsi, yang ditulis dengan notasi integral. Terdapat beberapa teorema integral tak tentu dan aturan-aturan integral yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah integral. Dokumen juga membahas metode substitusi dan integral parsial untuk menyelesaikan integral rasional dan trigonometri.
Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu dan integral tertentu. Integral tak tentu adalah operasi antiturunan dari suatu fungsi, sedangkan integral tertentu mengintegralkan suatu fungsi pada batas tertentu. Dokumen ini juga menjelaskan berbagai teorema dan metode penyelesaian masalah integral seperti substitusi, integral parsial, dan integral fungsi rasional.
Dokumen tersebut membahas tentang kontinuitas fungsi, termasuk definisi kontinuitas fungsi, syarat-syarat agar suatu fungsi kontinu pada suatu titik, dan contoh-contoh soal untuk menguji kontinuitas fungsi. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan bahwa suatu fungsi dikatakan kontinu pada suatu titik jika memenuhi tiga syarat yaitu nilai fungsi di titik tersebut terdefinisi, limit fungsi saat mendekati titik
Fisika matematika bab4 differensial danintegralRozaq Fadlli
Bab 4 membahas konsep diferensial dan integral untuk fungsi satu dan lebih variabel. Differensial parsial digunakan untuk menentukan turunan fungsi multivariabel terhadap satu variabel dengan variabel lain dianggap konstan. Aplikasi diferensial parsial meliputi penentuan titik ekstremum dan jarak terdekat ke permukaan.
Ujian akhir semester mata kuliah Persamaan Differensial dilaksanakan pada hari Senin, 31 Januari 2011 dari pukul 12.00-14.30 WIB. Ujian bersifat tutup buku dan peserta diwajibkan mengerjakan soal nomor genap atau ganjil sesuai NIM masing-masing. Soal ujian meliputi penyelesaian persamaan diferensial menggunakan transformasi Laplace beserta konvolusi dan aplikasinya dalam menyelesaikan masalah-
Dokumen tersebut membahas tentang interpolasi polinom Newton Gregory maju dan mundur untuk fungsi dua variabel. Ia menjelaskan bentuk umum polinom interpolasi dua variabel, contoh penyelesaian soal interpolasi satu variabel menggunakan polinom Newton Gregory maju dan mundur, serta contoh soal interpolasi dua variabel.
Metode dekomposisi LU merupakan metode pemecahan persamaan linier dengan mendekomposisi matriks koefisien menjadi hasil perkalian matriks segitiga atas dan bawah. Metode ini meliputi dekomposisi LU naif yang membentuk matriks segitiga atas dan bawah secara langsung dari matriks asli, serta dekomposisi Crout yang menghasilkan matriks segitiga lebih secara efisien.
Dokumen tersebut membahas metode Gauss-Jordan dan Gauss Seidel untuk memecahkan persamaan linear. Metode Gauss-Jordan mengubah matriks awal menjadi matriks identitas dengan operasi baris, sedangkan metode Gauss Seidel menghitung nilai variabel secara iteratif dengan menggunakan nilai terakhir variabel lainnya.
Dokumen tersebut membahas tentang metode-metode penyelesaian sistem persamaan linier, meliputi metode grafik, determinan dan aturan Cramer, eliminasi bilangan anu, serta eliminasi Gauss Naif. Metode-metode tersebut diterangkan beserta contoh penerapannya untuk sistem persamaan linier berukuran kecil maupun besar.
Metode Newton-Raphson untuk dua variabel memperluas metode ini untuk mencari akar persamaan non-linear dua variabel dengan menggunakan deret Taylor dan membentuk sistem persamaan untuk memperbarui nilai tebakan berikutnya. Contoh menunjukkan cara menerapkannya untuk menemukan akar dari dua persamaan non-linear dengan awal tebakan yang diberikan.
Sillabus mata kuliah ini membahas berbagai metode numerik untuk menyelesaikan masalah-masalah matematika seperti persamaan non-linear, sistem persamaan linear, interpolasi, turunan numerik, integrasi numerik, dan persamaan diferensial biasa dengan menggunakan pendekatan numerik. Metode-metode yang dibahas antara lain metode eliminasi Gauss, interpolasi polinom, metode Runge Kutta, dan metode integral.
(1) Hipotesis menguji rata-rata masa pakai lampu, dengan H0: 800 jam vs H1: tidak 800 jam.
(2) Statistik uji z atau t dibandingkan dengan daerah kritis untuk menentukan penerimaan/penolakan H0.
(3) Contoh menunjukkan H0 diterima, artinya rata-rata masa pakai lampu masih sekitar 800 jam.
Dokumen tersebut membahas tentang pendugaan interval keyakinan. Pendugaan interval keyakinan memberikan rentang nilai yang kemungkinan mengandung parameter populasi berdasarkan tingkat keyakinan tertentu. Dokumen tersebut menjelaskan proses pendugaan interval keyakinan untuk rata-rata dengan variansi diketahui dan tidak diketahui, proporsi, total populasi, dan contoh soal pendugaan interval keyakinan untuk rata-rata IQ dengan n=100, rata-rata 110,
1. 5. Differential Partial
(Turunan Parsil)
5.1 Fungsi Beberapa Variabel
5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas
Parsil
5.3 Perbandingan Statik (Comparative
Static)
5.4 Optimisasi Tanpa Kendala
(Unconstrained Optimization)
5.5 Optimisasi Terkendala/Terbatas
5.6 Pengganda Lagrange
2. 5.1 Fungsi Beberapa Variabel
Suatu Model Ekonomi atau Bisnis, sering
membutuhkan beberapa variabel bebas akibat
banyak hal yang mempengaruhi variabel terikat
tersebut,
Z = f ( X 1 , X 2 , ..., X n )
Jika variabel terikat Z , berubah yang diakibatkan
oleh perubahan dari salah satu variabel bebas
(misalnya X 1 ) sedangkan variabel lainnya tidak
berubah atau konstan, maka disebut Turunan
Parsial dari Z terhadap X 1 , dan seterusnya.
3. 5.1 Fungsi Beberapa
Variabel
Notasinya adalah,
∂z
∂x1
atau
dapat juga ditulis sebagai z 1 , f 1 jika terhadap
turunan X 2 ditulis sebagai,
∂z = Z = f
∂x2 2 2
4. 5.1 Fungsi Beberapa
Variabel
2
∂ z =Z = f
2 xx xx
∂x
atau turunan kedua Z terhadap y, ditulis,
2
∂ z =Z = f
2 yy yy
∂y
Jika turunan f x terhadap y, ditulis,
2
∂ z =Z = f
∂yx yx yx
atau
5. 5.1 Fungsi Beberapa
Variabel
2
∂ z=Z = f
∂xy xy xy
Contoh :
Carilah turunan parsial kedua dari fungsi berikut
(lihat buku 1., hal. 349 & 350) :
(a). f(x,y)=5x4 – y2
(b). f(x,y)= x2y3 – 10x
Carilah turunan Parsil f1, f11, f12 dan f32 dari
(c). f(x1,x2,x3) = x1x2 + x13 –x22x3
6. 5.1 Fungsi Beberapa
Variabel
Hubungan antara turunan Parsial dengan turunan
total (dz), dapat dirumuskan sebagai,
Δz = ∂z Δx + ∂z Δy
∂x ∂y
atau
dz = ∂z dx + ∂z dy
∂x ∂y
Contoh (lihat buku 1, hal. 352) :
Jika z = xy – 5x + 2y
Periksalah ∂z dan ∂z di titik (2, 6)
∂x ∂y
7. 5.1 Fungsi Beberapa
Variabel
(a) Gunakan rumus taksiran perubahan
dalam z , dengan penurunan x dari 2 ke 1.9
dan y naik dari 6 ke 6.1.
(b) Periksa taksiran pada bagian (1) dengan
mengevaluasi pada (2, 6) dan (1.9, 6.1)
Jika sebuah fungsi dengan z = f(x, y) = konstan
maka dy f
=− x
dx f
y
Disebut turunan implisit.
8. 5.1 Fungsi Beberapa
Variabel
Contoh (lihat buku 1, hal. 353) :
Gunakan turunan implisit untuk mencari dy/dx
dari fungsi,
y3 + 2xy2 – x =5
Jawab
Diketahui f(x, y) = y3 + 2xy2 – x,
fx = 2y2 – 1 dan fy = 3y2 +4xy
Jadi dy
f x 2y
2 − 1 − 2y 2 + 1
= − = − =
dx f
3y
2 + 4xy 3y 2 + 4xy
y
9. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Elastisitas Permintaaan :
Andaikan kuantitas barang (Q ) dipengaruhi oleh
P , dan alternatif harga P A dan pendapatan
Konsumen Y ,
Q = f (P,P A ,Y)
Maka Elastisitas harga Permintaan didefinisikan
sebagai,
E p =− Perubahan persentase dalam Q
Perubahan persentase dalam P
10. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
E p =− P x ∂Q
Q ∂P
Sementara Elastisitas harga alternatif Permintaan
didefinisikan sebagai,
p A ∂Q
Ep = x
A
Q ∂p A
Jika (∂Q/∂PA) > 0, maka |EpA |> 0, dimana
permintaan Elastis terhadap harga.
11. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Jika (∂Q/∂PA) < 0, maka |EpA |< 0, dimana
permintaan tidak Elastis terhadap harga.
Elastisitas Pendapatan terhadap permintaan,
dapat dirumuskan sebagai,
E =− Perubahan persentase dalam Q
Y Perubahan persentase dalam Y
Dengan,
EY = Y x ∂Q
Q ∂Y
12. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Jika (∂Q/∂Y) > 0, maka |EY |> 0, dimana
pendapatan Elastis terhadap harga.
Jika (∂Q/∂Y) < 0, maka |EY |< 0, dimana
pendapatan tidak Elastis terhadap harga.
(lihat Contoh buku 1 hal. 358),
Contoh :
Diberikan fungsi permintaan
Q = 100 – 2P + P A + 0. 1Y
dimana P =10, P A = 12 dan Y = 1000
carilah
13. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
(a) Elastisitas Harga Permintaan
(b) Elastisitas Harga silang Permintaan
(c) Elastisitas Pendapatan terhadap Permintaan
Apakah subtitusi alternatif terbaik atau
komplementer?
Jawab :
Kita mulai menghitung nilai dari Q dimana,
P=10, PA= 12 dan Y = 1000, maka persamaannya
Q= 100 – 2(10)+12+0.1(1000) = 192.
14. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
(a) Elastisitas harga permintaan, turunan parsial
persamaan Q terhadap P,
dengan Q = 100 – 2P + PA + 0. 1Y , maka
∂Q = −2
∂P
dimana,
E p = − P x ∂Q = − 10 x( −2)=0.10
Q ∂P 192
15. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
(b) Elastisitas harga silang permintaan, yaitu
turunan parsial persamaan Q terhadap P A ,
dengan Q = 100 – 2P + PA + 0. 1Y , maka
∂Q =1
∂P A
dimana,
P ∂Q 12
Ep = x = A
x1 =0.06
Q ∂P 192
A
A
16. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
(c) Elastisitas Pendapatan terhadap permintaan,
yaitu turunan parsial persamaan Q terhadap
Y, dengan Q = 100 – 2P + PA + 0. 1Y , maka
∂Q =0.1
∂Y
dimana,
E = Y x ∂Q = 1000 x 0.1 =0.52
Y Q ∂Y 192
Lihat buku 1, hal. 359 coba kerjakan soalnya!
17. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Utility (Kegunaan)
Untuk mengetahui perilaku konsumen terhadap
suatu barang, dapat dianalisis menggunakan
konsep Utility, seberapa perlu konsumen
terhadap suatu barang. Andaikan ada dua barang
G1 dan G2, konsumen memilih x1 pada G1 dan x2
pada G2, maka variabel U sebagai fungsi dari x1
dan x2 dapat ditulis sebagai
U = U ( x1, x2)
Contoh :
18. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
U ( 3, 7) = 20 dan U ( 4, 5) = 25,
Ada Empat pilihan yaitu memilih 3 di G1 dan 7 di
G2 atau dapat juga memilih 4 di G1 dan 5 di G2.
Turunan Parsial pertama dari fungsi utility, dapat
ditulis sebagai,
∂U dan ∂U
∂x 1
∂x 2
Laju perubahan U akibat xi disebut Utilitas
Maginal dari x i .
19. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Jika xi berubah sekecil apapun, dan
mempengaruhi U, maka berlaku,
ΔU ≈ ∂U Δx
∂xi i
Jika x1 dan x2 keduanya berubah mengakibatkan,
Perubahan Utilitas menjadi
ΔU ≈ ∂U Δx + ∂U Δx
∂x 1
1
∂x 2
i
20. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Contoh : (Lihat buku 1, contoh hal. 360 - 361)
Diberikan fungsi utility,
U = x11/4 x23/4,
Tentukan nilai utilitas marginal dari,
∂U dan ∂U
∂x1
∂x 2
Dimana x1 = 100, dan x2 = 200. Taksirlah
perubahan utilitas menurun xi dari 100 ke 99 dan
utilitas naik dari 200 ke 201.
21. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Jawab :
Fungsi utility,
U = x11/4 x23/4,
∂U = 1 x - 3/4
x
3/4
dan ∂U = 4 x x
3
1/4 - 1/4
∂x 4
1
1 2
∂x2
1 2
Dengan x1 = 100, dan x2 = 200.
∂U = 1 (100 ) (200 ) =0.42
- 3/4 3/4
∂x 4 1
22. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
∂U = 3 (100 ) (200 )
1/4 - 1/4
=0.63
∂x 4
2
Dimana x1 berkurang sebesar 1 unit, ∆x 1 = – 1
Dan x2 bertambah sebesar 1 unit ∆x 2 = 1,
Sehingga,
ΔU ≈ ∂U Δx + ∂U Δx
∂x ∂x
1
1
2
i
Jadi, perubahan utilitasnya adalah :
ΔU ≈ 0.42 - 1 + 0.631 =0.21
23. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Kurva Indefferens dapat ditentukan dari
persamaan implicit terhadap fungsi utilitas
berikut : U ( x1, x2) = U 0
Turunan Implisit dapat ditentukan dengan
Rumus : dy = − f x
dx f
y ∂U
Sehingga, MRCS = − dx = ∂x2 1
dx ∂U 1
∂x 2
24. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Contoh (lihat buku 1, hal. 364) :
Diberikan fungsi
U = x11/2 x21/2 , Carilah MRCS dalam bentuk
variabel x1 dan x2, dititik (300, 500), dimana x1
turun 3 unit, dan x2 beriringan naik.
Jawab :
∂U = 1 xx dan ∂U = 2 x x
- 1/2
1
1/2 1/2 - 1/2
∂x 2
1
1
∂x 2
2
1 2
−1/ 2
1x x x
1/ 2
MRCS = − 2 =x x =
−1 1
1 2 2
−1/ 2 1 2
1x x
1/ 2
2
x 2 2
1
25. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
MRCS = 500 = 5
300 3
Sehingga, U ( 300, 500) = (300)1/2(500)1/2=387.3
Jika x1 turun 3 unit maka x2 naik 5 unit.
5 x 3 =5
3
Jadi, U ( 297, 505) = (297)1/2(505)1/2=387.28