Dokumen ini membahas metode Newton-Gregory Backward (NGB) untuk menghitung turunan numerik berdasarkan data titik. Metode ini menggunakan hampiran polinom interpolasi dan deret Taylor untuk memperoleh rumus turunan pertama dan kedua secara mundur. Contoh soal mendemonstrasikan penggunaan rumus ini untuk menghitung nilai turunan dan galat berdasarkan data titik yang diberikan.

1. Turunan Numerik dengan Metode
Newton-Gregory Backward (NGB)
Oleh:
Kelompok 5
Fahrul Hakim (103174092)
Ganang Wahyu H (103174213)
M. Sigit Widodo (103174216)
Alvita Wulansari (103174221)
Eviana Budiarti (103174232)
2010 E

2. A. Pendahuluan
Aplikasi matematika pada bidang-bidang fisika, biologi, kimia ataupun sosial
seringkali memerlukan perhitungan diferensial atau derivatif dari suatu fungsi.
Dua situasi mendasar apabila suatu proses memerlukan
turunan numerik:
1. Apabila fungsi f dinyatakan hanya dengan sekumpulan titik-
titik data (x0, f0 ), (x1, f1 ), (x3, f3 ), …, (xn, fn ) dan nilai-nilai
fungsi tersebut tidak diketahui.
2. Apabila fungsi f terlalu rumit dan diferensiasi secara analitik.
Oleh karena itu, kita dapat menggunakan metode numerik untuk
memperoleh penyelesaiannya.

3. B. Turunan Numerik Newton-Gregory Backward (NGB)
1. Dengan hampiran polinom interpolasi
2. Dengan bantuan deret Taylor

5. Sehingga

8. 1,3 3,669
0,813
1,5 4,482 0,179
0,992 0,041
1,7 5,474 0,220 0,007
1,212 0,048
1,9 6,686 0,268 0,012
1,480 0,060
2,1 8,166 0,326 0,012
1,808 0,072
2,3 9,974 0,400
2,208
2,5 12,182

10. Derivatif yang Lebih
Tinggi

11. Sebelumnya...
diperoleh...

12. Apabila s = 0, maka
Agar mudah, gunakan persamaan:

14. Dengan demikian:

16. Contoh soal...
• Dengan menggunakan Tabel pada contoh 1, hitung nilai
pendekatan dari y’’ (2,1)
• Penyelesaian:

17. Penurunan Rumus Turunan dengan Deret
Taylor
• Kurva Pendekatan Penghitungan Turunan Numerik Dengan
Pendekatan selisih mundur f ( x0 ) f ( x0 h) f0 f 1
f ' ( x0 )
h h
f0 y = f(x)
f-1
h
x-1 x0

18. Pendekatan Turunan Pertama Selisih – Mundur
Uraikan f(xi-1) disekitar xi:
( xi 1 xi ) ( xi 1 xi ) 2
f ( xi 1 ) f ( xi ) f ' ( xi ) f ' ' ( xi ) ...
1! 2!
h2
f i 1 f i hf i ' f i ' ' ...
2
h2
hf i' f i f i 1 f i ' ' ...
2
fi fi 1 h
fi ' fi ' '
h 2
fi fi 1
fi ' O ( h)
h

19. • yang dalam hal ini galat berupa
O(h) = h/2 f’’(t), xi-1<t<xi
• Untuk nilai-nilai f di x0 dan x1 persamaan rumusnya:
f0 f 1
f0 ' O ( h) dalam hal ini, O(h) = h/2 f’’(t), xi-1<t<xi
h

20. Pendekatan Turunan Kedua Selisih – Mundur
• Dengan cara yang sama seperti di atas, diperoleh
fi 2 2 fi 1 fi
fi ' ' O ( h) dalam hal ini, O(h) = h f’’(t), xi-2<t<xi
h2
• Untuk nilai-nilai f di x-2, x0 dan x1 persamaan
rumusnya:
fi 2 2f 1 f0
f0 ' ' O ( h) dalam hal ini, O(h) = hf’’(t), xi-2<t<xi
h2

21. • Contoh:
1.Backward difference (dua titik)
𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙 − 𝒉)
𝑹𝒖𝒎𝒖𝒔 ∶ 𝒇′ 𝒙 =
𝒉
Diketahui data sebagai berikut
x f(x) = e-x Sin (x)
0.4 0.261035 f’(1)= - 0.110794 (eksak)
Hitung nilai pendekatan f’(1) dan
0.6 0.309882 galat dengan selisih h = 0.2 !
0.8 0.322329
1 0.309560
1.2 0.280725
1.4 0.243009
1.6 0.201810

22. Penyelesaian:
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 − ℎ)
𝑓′ 𝑥 ≈
ℎ
𝑓 1 − 𝑓 1 − 0.2
𝑓′ 1 ≈
0.2
0.309560 − 0.322329
≈
0.2
≈ −0.063845
Error = Selisih nilai pertama dan kedua
=|−0.063845 − −0.110794 | = 0.046948797

23. 2.Backward difference (tiga titik)
𝟑 𝒇 𝒙 − 𝟒𝒇 𝒙 − 𝒉 + 𝒇 𝒙 − 𝟐𝒉
𝑹𝒖𝒎𝒖𝒔 ∶ 𝒇′ 𝒙 ≈
𝟐𝒉
Diketahui data sebagai berikut:
𝑓 ′ 1 = −0.110794 (𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘)
x f(x) = e-x Sin (x)
Hitung nilai pendekatan f’(1)
0.4 0.261035 dan galat dengan selisih h = 0.2 !
0.6 0.309882
0.8 0.322329
1 0.309560
1.2 0.280725
1.4 0.243009
1.6 0.201810

24. Penyelesaian:
′
3 × 0.309560 − 4𝑓 𝑥 − ℎ + 𝑓(𝑥 − 2ℎ)
𝑓 (𝑥) ≈
2ℎ
′
3 𝑓 𝑥 − 4 × 0.322329 + 0.309882
𝑓 (1) ≈
0.4
≈ −0.1268837
Error = Selisih nilai pertama dan kedua
=|−0.1268837 − −0.110794 | =0.0160897

25. 3. Backward difference (turunan kedua)
0.4 0.261035
0.6 0.309882
0.8 0.322329
Hitung nilai pendekatan
1 0.309560
f”(1) dan galat dengan
1.2 0.280725
selisih h = 0,2 !
1.4 0.243009
1.6 0.201810

27. Contoh soal pemilihan rumus NGB
Diberikan data dalam bentuk tabel berikut.

28. Ringkasan Rumus Turunan
dengan Metode Newton-
Gregory Mundur

29. Rumus untuk Data Tanpa Diketahui Fungsi

30. Rumus untuk Data dengan Diketahui Fungsi

31. Sekian, terima kasih . . .
......