Dokumen tersebut membahas tentang fungsi-fungsi non linier khususnya fungsi kuadrat, logaritma, dan eksponensial. Secara khusus, bagian pertama menjelaskan bentuk umum dan cara penyelesaian persamaan kuadrat. Bagian berikutnya mendefinisikan konsep profit, cost, dan revenue dalam hubungannya dengan fungsi permintaan dan penawaran serta cara menggambarkannya secara grafis.

1. 2. Persamaan Non Linier
2.1 Fungsi Kuadrat
2.2 Profit (Keuntungan), Cost
(Harga/Biaya) dan Revenue
(Pendapatan/Pajak)
2.3 Logaritma dan Notasi Indeks
2.4 Fungsi Logaritma dan Fungsi
Eksponensial
1

2. 2.1 Fungsi Kuadrat
Bentuk Umum dari fungsi kuadrat dapat digambarkan sebagai :
y = f(x) = ax 2 + bx + c (2.1.1)
Dengan, y = variabel terikat
x = variabel bebas
a , b , dan c adalah konstanta, a ≠ 0
Untuk mendapatkan akar – akarnya, maka f(x) = 0.
Contoh 1 :
Carilah akar – akar dari f(x) = x 2 – 9.
Jawab :
x2 – 9 = 0
⇒ x 2 = 9 ⇒ x = ±3.
2

3. 2.1 Fungsi Kuadrat
Penyelesaian Umum dari persamaan (2.1.1) dapat diturunkan
sebagai :
x 1,2 =
−b ± b 2 −4ac
2a
(a) Jika D = b 2 – 4ac >0 (disebut juga sebagai Diskriminan),
mempunyai dua penyelesaian,
−b + b 2 −4ac −b − b 2 −4ac
x1 = 2a dan x 2 = 2a
3

4. 2.1 Fungsi Kuadrat
4

5. 2.1 Fungsi Kuadrat
(b). Jika D = b 2 – 4ac = 0, maka mempunyai
tepat satu penyelesaian,
x 1,2 = −b ± b 2 −4ac = −b ± 0 = −b
2a 2a 2a
(c). Jika D = b 2 – 4ac < 0, maka tidak
mempunyai penyelesaian.
Contoh 2
Selesaikanlah persamaan kuadrat berikut :
(a) 2x2 – 19x – 10 = 0 (c) 4x2 + 12x +9 = 0
(b) x2 + x +1 = 0 (d) x2 – 3x + 10 = 2x + 4
5

6. 2.1 Fungsi Kuadrat
6

7. 2.1 Fungsi Kuadrat
7

8. 2.1 Fungsi Kuadrat
Contoh 3. Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat, f(x) = x 2 .
Untuk mendapatkan nilai – nilai yang tepat dalam mensketsa grafiknya,
gunakan tabulasi data seperti berikut :
x f(x)
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
8

9. 2.1 Fungsi Kuadrat
Contoh 4,
Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat berikut :
f(x) = –x 2 + 8x–12 .
Jawab :
Diketahui
- Konstanta a = -1 , maka grafik kurvanya menghadap kebawah (U terbalik).
- Konstanta c = -12 , maka titik perpotongan kurva di x=0 dan y = -12.
- Nilai – nilai akarnya adalah :
−8 ± 8 2 −4 - 1 - 12  −8 ± 16
  
x 1,2 =   
=
2 
- 1  -2
 
Jadi x 1 = 2 dan x 2 = 6 .
- Selanjutnya untuk mendapatkan nilai simterik kurva di x, maka
x t =½(2 + 6) = 4, sehingga f(4) = –4 2 + 8(4)–12 = 4, jadi nilai
maksimumnya di titik y = 4 atau menggunakan rumus ( – b/2a, – D/4a)
9

10. 2.1 Fungsi Kuadrat
Sketsa grafiknya :
10

11. 2.1 Fungsi Kuadrat
Contoh 5,
Diberikan fungsi permintaan (Demand ) dan penawaran (Supply ) sebagai
berikut :
P= –Q d 2 – 10Q d +150
P= Q s 2 + 14Q s + 22
Jawab :
Diketahui fungsi keseimbangan (equilibrium )
Q s =Q d
Maka,
Q 2 + 14Q +22 = –Q 2 – 10Q +150
⇒ Q 2 + 12Q – 64 = 0
− 12 ± 12 2 − 4 (1 )(- 64 ) − 12 ± 400
Q1,2 = =
2 (1 ) 2
⇒ Q 1 = - 16 dan Q 2 = 4
11

12. 2.1 Fungsi Kuadrat
Nilai kuantitas Q = 4, itu disubtitusi ke persamaan fungsi permintaan
(Demand ) :
P= –(4) 2 – 10(4) +150 = 94
dan penawaran (Supply ) :
P= 4 2 + 14(4)+22 = 94
Begitu pula untuk Q = – 16 maka,
P= –(–16) 2 – 10(–16) +150 = 54
dan penawaran (Supply ) :
P= –16 2 + 14(–16)+22 = 54
Titik (4, 94) dan (-16, 54), merupakan perpotongan kurva, dalam ilmu
ekonomi, hanya nilai positif yang dianggap terdefinisi, atau dapat
ditarik suatu kesimpulan.
12

13. 2.1 Fungsi Kuadrat
Gambar Grafiknya Qs2+ 14Qs+ 22 = 0
Contoh 5:
–Qd2– 10Qd+150 = 0
13

14. 2.2 Revenue, Cost dan
Profit
Definisi :
⇔ Profit (Keuntungan) dirumuskan sebagai
π = TR – TC
(2.2.1)
⇔ Cost (Harga/Biaya),
TC = FC + (VC)Q,
(2.2.2)
TVC = (VC)Q,
(2.2.3)
⇔ Revenue (Pendapatan/Pajak)
TR = PQ
(2.2.4)
Contoh 6 ,
Diberikan fungsi permintaan
P = 100 – 2Q
Tunjukkan TR sebagai fungsi dari Q dan sketsalah 14
grafiknya,

15. 2.2 Revenue, Cost dan
Profit
Jawab :
Secara umum fungsi permintaan linier dapat ditunjukkan sebagai :
P = aQ + b (a<0, b>0)
Jadi fungsi total Revenue,
TR = PQ
= (aQ + b)Q = aQ 2 + bQ
(2.2.5)
dengan P = 100 – 2Q,
Jadi,
TR = (100 – 2Q)Q = 100Q – 2Q 2
(2.2.6)
Karena a = –2 , maka bentuk grafiknya U terbalik.
- Jika TR = 0, maka Q 1 = 0, dan Q 2 = 50 yang merupakan akar
– akar persamaan.
- Titik simetrik persamaan di Q t = ½(0+50) = 25, dengan
TR = 100(25) – (25)2 = 1250 .
15

16. 2.2 Revenue, Cost dan
Profit
Grafik fungsinya sebagai berikut :
16

17. 2.2 Revenue, Cost dan
Profit
Dari Persamaan (2.2.2) dan (2.2.3) diketahui :
TC = FC + (VC)Q, dan
TVC = (VC)Q,
Dimana, TC = Total Cost,
FC = Fixed Cost (Biaya Tetap)
VC = Variabel Cost
TVC = Total Variabel Cost,
Maka, fungsi rata – rata Biaya (Average Cost/AC) ,
dirumuskan sebagai biaya total dibagi dengan kuantitas barang
yang keluar,
AC = TC = FC + (VC)Q
Q Q
(VC)Q FC
= FC + = +VC
Q Q Q
17

18. 2.2 Revenue, Cost dan
Profit
Contoh 7 ,
DiBerikan Biaya Tetap 1000, dan Biaya Variabel 4 Perunit, tunjukkan
TC dan AC sebagai fungsi dari Q, sketsalah grafiknya ?
Jawab
Diketahui,
FC = 1000, VC = 4,
Dari persamaan (2.2.2) diketahui TC = FC + (VC)Q maka,
TC = 1000 + 4Q
Dan
AC =TC
Q
= 1000 + 4Q
Q
= 1000 + 4
Q
18

19. 2.2 Revenue, Cost dan
Profit
Grafik TC dan Q dapat ditunjukkan berikut ini:
19

20. 2.2 Revenue, Cost dan
Profit
Grafik AC dan Q dapat ditunjukkan berikut ini:
Q AC
100 14
250 8
500 6
1000 5
2000 4.5
20

21. 2.2 Revenue, Cost dan
Profit
Secara umum, variabel biaya (VC) adalah konstanta dalam fungsi
total biaya :
TC = FC + (VC)Q,
sebagai fungsi linier, dimana FC merupakan intersept dan VC
sebagai slope atau kemiringan.
Untuk fungsi rata – rata biaya,
AC = FC +VC
Q
Dapat dicatat bahwa jika Q kecil, maka FC/Q membesar, jadi grafik
Q mendekat ke nol. Q merupakan fungsi menurun, sedangkan
FC/Q, fungsi naik. Sederhananya VC bergantung pada Q, dengan
nilai VC merupakan sumbu asimptotik datar.
21

22. 2.2 Revenue, Cost dan
Profit
Grafik AC dan Q :
22

23. 2.2 Revenue, Cost dan
Profit
Jika grafik TR dan TC disketsa dalam satu diagram, maka bentuknya
akan seperti berikut :
23

24. 2.2 Revenue, Cost dan
Profit
Dari gambar tersebut di atas dapat dijelaskan bahwa, dua kurva
berpotongan di dua titik, A dan B, berpasangan dengan kuantitas Q A
dan QB.
24