代数幾何memo_2020March30_1337

1. 1
𝑅′
を環、𝑅を𝑅′
の部分環とする。𝑅′
が𝑅加群として有限生成であるならば、𝑅′
は𝑅上整である。
証明 𝑅′
を𝑅加群としてみるとき、有限個の元𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛 ∈ 𝑅′が存在して、
𝑅′ = 𝑅𝑢1 + 𝑅𝑢2 + ⋯ + 𝑅𝑢 𝑛
とかける。𝑅′
の任意の元𝛼をとる。𝛼𝑢𝑖 ∈ 𝑅′なので、𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅, ( 𝑗 = 1,2,… , 𝑛)が存在して
𝛼𝑢𝑖 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑢𝑗
𝑛
𝑗=1
とかける。𝑎𝑖𝑗を(𝑖, 𝑗)成分とする𝑛次正方行列を𝐴とする。移項して行列の形でかけば
(𝛼𝐼 − 𝐴)𝕦 = 𝕠
ただし、𝕦 = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛)T
で𝐼は単位行列である。両辺に𝛼𝐼 − 𝐴の余因子行列 𝛼𝐼 − 𝐴̃ をかけ
れば、
(𝛼𝐼 − 𝐴̃ )(𝛼𝐼 − 𝐴)𝕦 = det(𝛼𝐼 − 𝐴) 𝐼 𝕦 = 𝕠
ゆえに、det(𝛼𝐼 − 𝐴)𝑢𝑖 = 0, 𝑖 = 1,2,… , 𝑛を得る。また、𝑅′
∋ 1をとれば、𝑅 ∋ 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐 𝑛が存
在して
1 = 𝑐1 𝑢1 + 𝑐2 𝑢2 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑢 𝑛
とかける、両辺にdet(𝛼𝐼 − 𝐴)をかければ、det(𝛼𝐼 − 𝐴) = 0となる。
𝑓(𝑥) = det(𝑥𝐼 − 𝐴)は𝑅,𝑥-の 0 でない多項式で、最高次係数は 1 だから、𝛼は𝑅上整となる。
Memo:
𝑅′ = 𝑅𝑢1 + 𝑅𝑢2
∀𝛼 ∈ 𝑅′
𝛼𝑢1 = 𝑎11 𝑢1 + 𝑎12 𝑢2
𝛼𝑢2 = 𝑎21 𝑢1 + 𝑎22 𝑢2
[
𝛼 − 𝑎11 −𝑎12
−𝑎21 𝛼 − 𝑎22
] [
𝑢1
𝑢2
] = [
0
0
]
[
𝛼 − 𝑎22 𝑎12
𝑎21 𝛼 − 𝑎11
] [
𝛼 − 𝑎11 −𝑎12
−𝑎21 𝛼 − 𝑎22
] [
𝑢1
𝑢2
] = [
0
0
]
*(𝛼 − 𝑎11 )(𝛼 − 𝑎22 ) − 𝑎12 𝑎21+ [
1 0
0 1
] [
𝑢1
𝑢2
] = [
0
0
]
∴ *(𝛼 − 𝑎11 )(𝛼 − 𝑎22 ) − 𝑎12 𝑎21+𝑢𝑖 = 0, (𝑖 = 1,2)
𝑅′
∋ 1 = 𝑐1 𝑢1 + 𝑐2 𝑢2, (∃𝑐1, 𝑐2 ∈ 𝑅)
*(𝛼 − 𝑎11 )(𝛼 − 𝑎22 ) − 𝑎12 𝑎21+ = 0
𝑓(𝑥) = *(𝑥 − 𝑎11 )(𝑥 − 𝑎22 ) − 𝑎12 𝑎21+ ∈ 𝑅,𝑥-