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ケーリーハミルトンの定理の証明
- 2. ケーリーハミルトンの定理 • 𝑛次元ベクトル空間𝑉の線形写像𝑓は， 𝑓 𝑛 + 𝑎1 𝑓 𝑛−1 + 𝑎2 𝑓 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 = 0 (零写像) •という関係式を満たす.（ただし，𝑎𝑖はスカラー）
- 3. ケーリーハミルトンの定理の証明 • 𝕧1, … , 𝕧 𝑛 を𝑛次元ベクトル空間𝑉の基底とする. • この時，𝑓(𝕧𝑖), (𝑖 = 1 … 𝑛)は以下のようになる. 𝑓(𝕧1) = 𝑎11 𝕧1 + 𝑎12 𝕧2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝕧 𝑛 𝑓(𝕧2) = 𝑎21 𝕧1 + 𝑎22 𝕧2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝕧 𝑛 ⋮ 𝑓(𝕧 𝑛) = 𝑎 𝑛1 𝕧1 + 𝑎 𝑛2 𝕧2 + ⋯ + 𝑎 𝑛𝑛 𝕧 𝑛 （𝑎𝑖𝑗はスカラー）
- 4. ケーリーハミルトンの定理の証明 さっきの式を，行列形式にすると・・・ 𝑓 0 0 0 0 0 𝑓 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑓 ⋮ 0 0 0 0 𝑓 𝕧1 ⋮ ⋮ ⋮ 𝕧 𝑛 = 𝑎11 … … … 𝑎1𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 𝑛1 … … … 𝑎 𝑛𝑛 𝕧1 ⋮ ⋮ ⋮ 𝕧 𝑛 そして，右辺を左辺に移項し，単位行列𝐸が(𝛿𝑖𝑗)と書けることに注意すると， 𝛿𝑖𝑗はクロネッカーのデルタ, 𝛿𝑖𝑗 = 1 (𝑖 = 𝑗) 0 (𝑖 ≠ 𝑗)
- 5. ケーリーハミルトンの定理の証明 先ほどの式は，以下のようになる. 𝒇𝜹𝒊𝒋 − 𝒂𝒊𝒋 𝕧 𝟏 ⋮ ⋮ ⋮ 𝕧 𝒏 = 𝟎 ⋮ ⋮ ⋮ 𝟎 (☆) (☆)の両辺に，余因子行列 𝒇𝜹𝒊𝒋 − 𝒂𝒊𝒋 を左からかける. 𝒇𝜹𝒊𝒋 − 𝒂𝒊𝒋 𝒇𝜹𝒊𝒋 − 𝒂𝒊𝒋 = 𝐝𝐞𝐭 𝒇𝜹𝒊𝒋 − 𝒂𝒊𝒋 𝑬 という関係が成立するので， ∵ 𝑨−𝟏= 𝟏 𝐝𝐞𝐭(𝑨) 𝑨 ⟺ 𝑬 = 𝑨−𝟏 𝑨 = 𝟏 𝐝𝐞𝐭 𝑨 𝑨𝑨 ⟺ 𝑨𝑨 = 𝐝𝐞𝐭 𝑨 𝑬
- 6. ケーリーハミルトンの定理の証明 (☆)式は，以下のようになる. 𝑑𝑒𝑡 𝑓𝛿𝑖𝑗 − 𝑎𝑖𝑗 𝕧1 ⋮ ⋮ ⋮ 𝕧 𝑛 = 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 (☆☆) そして，𝑑𝑒𝑡 𝑓𝛿𝑖𝑗 − 𝑎𝑖𝑗 を展開すると，以下のようになるので， 𝑑𝑒𝑡 𝑓𝛿𝑖𝑗 − 𝑎𝑖𝑗 = 𝑓 𝑛 + 𝑎1 𝑓 𝑛−1 + 𝑎2 𝑓 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎 𝑛
- 7. ケーリーハミルトンの定理の証明 𝑓 𝑛 + 𝑎1 𝑓 𝑛−1 + 𝑎2 𝑓 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝕧1 ⋮ ⋮ ⋮ 𝕧 𝑛 = 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 ∴ 𝒇 𝒏 + 𝒂 𝟏 𝒇 𝒏−𝟏 + 𝒂 𝟐 𝒇 𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝒏 𝕧𝒊 = 𝕠, (𝒊 = 𝟏 … 𝒏)
- 8. ケーリーハミルトンの定理の証明 つまり，∀𝕩 = 𝑏1 𝕧1 + ⋯ + 𝑏 𝑛 𝕧 𝑛 ∈ 𝑉に対して 𝒇 𝒏 + 𝒂 𝟏 𝒇 𝒏−𝟏 + 𝒂 𝟐 𝒇 𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝒏 𝕩 = 𝕠 となる.ゆえに， 𝒇 𝒏 + 𝒂 𝟏 𝒇 𝒏−𝟏 + 𝒂 𝟐 𝒇 𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝒏 = 𝟎 (零写像) 証明終