金利スワップのスワップレートS(t)の導出。 仕事で、金融工学をすることになったので、メモを作成 Kinri swap 2020_feb11_19_02.pdf

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金利スワップ 2020Feb11 Tamura Takumi age 26 執筆開始 19:03 Japan Time
執筆完了 19:27
将来の期間[𝑇𝑗, 𝑇𝑗+1]に対応する金利をフォワード Libor とよび、時点𝑡に観測されるフォワ
ード Libor を𝐿𝑗(𝑡)と書く。𝐿𝑗(𝑡)には以下の関係式が成立する。
𝛿𝑗 𝐿𝑗(𝑡) =
𝐷(𝑡, 𝑇𝑗)
𝐷(𝑡, 𝑇𝑗+1)
− 1 ⋯ (1)
∴ 𝐿𝑗(𝑡) =
𝐷(𝑡, 𝑇𝑗) − 𝐷(𝑡, 𝑇𝑗+1)
𝛿𝑗 𝐷(𝑡, 𝑇𝑗+1)
⋯ (2)
連続的な時点の列
[𝑇0 = 0, 𝑇1, … , 𝑇 𝑁+1]⋯ (3)
をテナー構造と呼ぶ。このテナー構造の上での期間の列
[𝑇𝑛, 𝑇𝑛+1],[𝑇𝑛+1, 𝑇𝑛+2], … , [𝑇 𝑚, 𝑇 𝑚+1] ⋯ (4)
を考える。それぞれの期間の金利について、最初に決められた固定レート𝐾と変動金利
(Libor)を交換する取引のことをスワップ(Swap)取引と呼ぶ。つまり、スワップ取引におい
ては、時点𝑇𝑗+1, (𝑗 = 𝑛, … , 𝑚)に金利𝛿𝑗 (𝐾 − 𝐿𝑗(𝑇𝑗)) , (𝛿𝑗 = 𝑇𝑗+1 − 𝑇𝑗)をカウンターパーティの
一方が他方に支払う。この金利を支払うサイドを固定レートの支払いサイド、受け取るカ
ウンターパーティを受取サイドと呼ぶ。このスワップの固定金利を払うサイドにおける価
値𝑉(𝑡)は、
𝑉(𝑡) = ∑ 𝐷(𝑡, 𝑇𝑗+1)𝛿𝑗(𝐿𝑗(𝑡) − 𝐾)
𝑚
𝑗=𝑛
⋯ (5)
このスワップ取引について、その価値𝑉(𝑡)が固定金利を支払うサイドと受け取るサイドにと
って同じになるような固定レートのことを（パー）スワップレート𝑆(𝑡)と呼ぶ。つまり、
𝑉(𝑡) = 0となる𝐾のことである。（パー）スワップレート𝑆(𝑡)はディスカウントファクターで、
𝑆(𝑡) =
(∑ 𝛿𝑗 𝐿𝑗(𝑡)𝐷(𝑡, 𝑇𝑗+1)𝑚
𝑗=𝑛 )
∑ 𝛿𝑗 𝐷(𝑡, 𝑇𝑗+1)𝑚
𝑗=𝑛
⋯ (6)
(6)式に(1)式を代入すると、下記のようにも書ける。
𝑆(𝑡) =
1
∑ 𝛿𝑗 𝐷(𝑡, 𝑇𝑗+1)𝑚
𝑗=𝑛
{∑ (
𝐷(𝑡, 𝑇𝑗)
𝐷(𝑡, 𝑇𝑗+1)
− 1) 𝐷(𝑡, 𝑇𝑗+1)
𝑚
𝑗=𝑛
} ⋯ (7)
∴ 𝑆(𝑡) =
𝐷(𝑡, 𝑇𝑛) − 𝐷(𝑡, 𝑇 𝑚)
∑ 𝛿𝑗 𝐷(𝑡, 𝑇𝑗+1)𝑚
𝑗=𝑛