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![p.245
定義4:群環(Group algebra)ℂ[𝐺]
有限群𝐺の元を基底とするℂ上の 𝐺 次元ベクトル空間.
ℂ 𝐺 ≔
𝑔∈𝐺
𝑓 𝑔 𝑒 𝑔 |𝑓 𝑔 ∈ ℂ, 𝑓: 𝐺 → ℂ
群環ℂ[𝐺]の基底は 𝑒 𝑔|𝑔 ∈ 𝐺 , 𝑒 𝑔 𝑒ℎ = 𝑒 𝑔ℎ
𝐿2
𝐺 = {𝑓: 𝐺 → ℂ}
𝐿2
𝐺 は有限群𝐺上の複素数値関数の集合
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐿2
𝐺 の畳込み積∗
𝑎 ∗ 𝑏 𝑥 =
𝑡∈𝐺
𝑎 𝑥𝑡−1
𝑏(𝑡) =
𝑦∈𝐺
𝑎 𝑦 𝑏(𝑦−1
𝑥)
14](https://image.slidesharecdn.com/semi2-160507230048/85/slide-14-320.jpg)
![𝐸𝑥𝑒𝑟𝑐𝑖𝑠𝑒
有限群𝐺が有限集合𝑋上で作用する.すなわち，
𝑔 ∈ 𝐺, 𝑥 ∈ 𝑋 ⇒ 𝑔𝑥 ∈ 𝑋
𝐺 ∋ 𝑒: 単位元, 𝑒𝑥 = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑋
𝑔 ℎ𝑥 = 𝑔ℎ 𝑥
を満たす時，𝜋: 𝐺 → 𝐺𝐿 𝑉 , 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 𝑉 = 𝑓: 𝑋 → ℂ
𝜋 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑔−1
𝑥 , ∀𝑔 ∈ 𝐺, ∀𝑥 ∈ 𝑋
と表現𝜋を定義する.この時，指標 𝜒 𝜋 𝑔 = Tr 𝜋(𝑔) が
𝜒 𝜋 𝑔 = 𝑥 ∈ 𝑋 𝑔𝑥 = 𝑥
となる事を示せ.
(Fulton, Harris [1991] はこれを”元祖不動点公式”と呼んだ)
22](https://image.slidesharecdn.com/semi2-160507230048/85/slide-22-320.jpg)
表現論 ゼミ資料
- 1. 有限群上の表現論 M1 seminar 03 Text:FourierAnalysis on Finite Group and applications Audrey Terras 1999 M1 Tamura Takumi 2016/May/09 Monday 1
- 2. p.243 定義1:同値な表現 ・𝛼, 𝛽: 𝐺→ 𝐺𝐿 𝑛, ℂ が同値 ⇔ ∃𝑇 ∈ 𝐺𝐿 𝑛, ℂ , 𝑇𝛼 𝑔 𝑇−1 = 𝛽 𝑔 , ∀𝑔 ∈ 𝐺 つまり，𝛼 𝑔 と𝛽 𝑔 は行列の共役関係を満たしている. 𝛼 𝑔 ~𝛽 𝑔 , ∀𝑔 ∈ 𝐺 これはベクトル空間ℂ 𝑛上の基底を変えることで 𝛼(𝑔) ↦ 𝛽(𝑔), 𝛽(𝑔) ↦ 𝛼(𝑔) と対応づけができることを意味している. 2
- 3. 𝑇:座標変換行列 𝑇 ∈𝐺𝐿 𝑛, ℂ ℂ 𝑛 )𝛼(𝑔 ℂ 𝑛 𝑇 ↓ ↻ ↓ ℂ 𝑛 )𝛽(𝑔 ℂ 𝑛 𝑇 𝛽 𝑔 𝑇 = 𝑇𝛼 𝑔 ∴ 𝛽 𝑔 = 𝑇𝛼 𝑔 𝑇−1 3
- 4. 定義2:ユニタリ表現𝜋の定義 • 群𝐺からユニタリ群𝑈(𝑛)への表現𝜋のことである. 𝜋: 𝐺→ 𝑈(𝑛) ただし，𝑈 𝑛 = 𝐴 ∈ 𝐺𝐿(𝑛, ℂ)|𝐴∗ 𝐴 = 𝐼 𝐴∗: 複素共役転置 ℂ 𝑛 ∋ 𝕦 = 𝑢1 ⋮ 𝑢 𝑛 , 𝕧 = 𝑣1 ⋮ 𝑣 𝑛 上の標準エルミート内積の定義: 𝕦, 𝕧 : = 𝕦∗ 𝕧 = 𝑢1, … , 𝑢 𝑛 𝑣1 ⋮ 𝑣 𝑛 = 𝑖=1 𝑛 𝑢𝑖 𝑣𝑖 • ユニタリ行列は標準エルミート内積を変えない. 𝐴𝕦, 𝐴𝕧 = 𝕦, 𝕧 , ∀𝕦, 𝕧 ∈ ℂ 𝑛 4
- 5. 演習問題1: 𝐴∗ 𝐴 =𝐼 ⟺ 𝐴𝕦, 𝐴𝕧 = 𝕦, 𝕧 , ∀𝕦, 𝕧 ∈ ℂ 𝑛 を示せ. 証明:∀𝕦, 𝕧 ∈ ℂ 𝑛 に対して， 𝐴𝕦, 𝐴𝕧 = 𝐴𝕦 ∗ 𝐴𝕧 = 𝕦∗ 𝐴∗ 𝐴𝕧 = 𝕦∗ 𝐼𝕧 = 𝕦∗ 𝕧 = 𝕦, 𝕧 定義3:部分表現 表現𝜋: 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉)の部分表現𝜌とは𝜌: 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑊)である. ただし，𝑊は𝑉の𝜋 𝑔 不変部分空間:∀𝑔 ∈ 𝐺, 𝜋 𝑔 𝑊 ⊂ 𝑊 𝜋 𝑔 𝑊 = 𝜋 𝑔 𝕨 𝕨 ∈ 𝑊} 𝜌(𝑔)は𝜋 𝑔 の𝑊への制限写像である.すなわち， 𝜋 𝑔 | 𝑊 = 𝜌 𝑔 ∀𝑔 ∈ 𝐺 5
- 6. 定義3を行列の言葉に翻訳する • 以下のような𝑉の基底𝕧1, …, 𝕧 𝑛が取れる. 𝑉 = 𝑆𝑝𝑎𝑛 𝕧1, 𝕧2, … , 𝕧 𝑘, 𝕧 𝑘+1, … , 𝕧 𝑛 , 𝑊 = 𝑆𝑝𝑎𝑛 𝕧1, 𝕧2, … , 𝕧 𝑘 𝜋 𝑔 𝑊 ⊂ 𝑊, 𝜋 𝑔 𝑊 = 𝜋 𝑔 𝕨 𝕨 ∈ 𝑊} この時，𝜋 𝑔 の表現行列は 𝜌(𝑔) ∗ 0 ∗ という形式になる. ただし，𝑆𝑝𝑎𝑛 𝕧1, 𝕧2, … , 𝕧 𝑛 ≔ 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 𝕧𝑖 |𝑥𝑖 ∈ ℂ 定義4:既約表現 表現𝜋の部分表現が𝜋自身と0しか存在しない時， 𝜋は既約表現とよぶ. 有限群の場合，全ての表現は既約表現の直和になる(後述). 6
- 7. 𝑉 = 𝑆𝑝𝑎𝑛𝕧1, 𝕧2, 𝕧3 , 𝕧1, 𝕧2 ∈ 𝑊, 𝜋 𝑔 𝑊 ⊂ 𝑊 𝜋 𝑔 (𝑥1 𝕧1) = 𝑥1 𝐴11 𝕧1 + 𝑥1 𝐴21 𝕧2 𝜋 𝑔 (𝑥2 𝕧2) = 𝑥2 𝐴12 𝕧1 + 𝑥2 𝐴22 𝕧2 𝜋 𝑔 𝑥3 𝕧3 = 𝑥3 𝐴13 𝕧1 + 𝑥3 𝐴23 𝕧2 + 𝑥3 𝐴33 𝕧3 𝜋 𝑔 𝑥1 𝑥2 𝑥3 = 𝐴11 𝐴12 𝐴13 𝐴21 𝐴22 𝐴23 0 0 𝐴33 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑖, 𝐴𝑖𝑗 ∈ ℂ, 𝑖 = 1,2,3, 𝑗 = 1,2,3 7
- 8. p.244 命題1:有限群𝑮の表現はユニタリ表現と同値. Proof: まず，記号を用意する. 𝑐 𝕦,𝕧 : 正定値エルミート内積. 𝑐 𝕦, 𝕧 の満たすべき性質 1 𝑐 𝕦, 𝕧 は𝕧を固定した時，𝕦に関して線形 2 𝑐 𝕦, 𝕧 = 𝑐 𝕧, 𝕦 ; 𝑐 𝕦, 𝕦 ≥ 0; 𝑐 𝕦, 𝕦 > 0 𝑖𝑓 𝑢 ≠ 𝕠 𝕖1, … , 𝕖 𝑛 : ℂ 𝑛の標準単位基底ベクトル このとき，𝑛 × 𝑛行列𝐶 = 𝑐(𝕖𝑖, 𝕖𝑗) とすると， 𝐶: 正定値エルミート行列 ∵ 𝑐 𝕖𝑖, 𝕖𝑗 = 𝑐(𝕖𝑗, 𝕖𝑖) 𝑐 𝕦, 𝕧 = 𝕦∗ 𝐶𝕧 8
- 9. 正定値エルミート行列の定義. 𝐻がエルミート行列 ⟺ 𝐻∗= 𝐻 𝐶が正定値エルミート行列 ⟺ 𝐶∗ = 𝐶 かつ ∀𝕦 ∈ ℂ 𝑛 , 𝕦∗ 𝐶𝕦 > 0 Note:固有値と正定値性の関係 𝑛 × 𝑛 エルミート行列𝐶の全ての固有値𝑑1, … , 𝑑 𝑘が𝑑1 > 0, … , 𝑑 𝑘 > 0 ⇕ 𝐶が正定値エルミート行列 9
- 10. Proof 1.1: 𝐶は正定値エルミート行列なので，ある正定値エルミート行列𝑅で 𝐶 =𝑅2 ⋯ 2 と表せる. 命題1.1: 𝑐 𝑀𝕦, 𝑀𝕧 = 𝑐 𝕦, 𝕧 ⇒ 𝑀はあるユニタリ行列𝑈と共役. すなわち，𝑀∗ 𝐶𝑀 = 𝐶 ⇒ ∃𝑈 ∈ 𝑈 𝑛 , ∃𝐴 ∈ 𝐺𝐿 𝑛, ℂ , 𝑀 = 𝐴−1 𝑈𝐴. 命題1を証明する前に，以下の命題1.1を証明する. 10
- 11. なぜなら，𝐶はエルミート行列なので，あるユニタリ行列𝑈で対角化可能(スペクトル定理). 𝐶 = 𝑈∗ 𝑑10 ⋱ 0 𝑑 𝑛 𝑈, 𝐶が正定値なので𝑑𝑗 > 0，𝑑𝑗: 𝐶の固有値 ∴ 𝑅 = 𝑈∗ 𝑑1 0 ⋱ 0 𝑑 𝑛 𝑈, 𝐶 = 𝑅2, 𝑅∗ = 𝑅 さて，(1)式より，𝑀∗ 𝐶𝑀 = 𝐶. 2 式より， 𝑀∗ 𝑅∗ 𝑅𝑀 = 𝑅∗ 𝑅 ∴ 𝑅∗−1 𝑀∗ 𝑅∗ 𝑅𝑀𝑅−1 = 𝑅∗−1 𝑅∗ 𝑅𝑅−1 = 𝐼 ∴ 𝑀′ = 𝑅𝑀𝑅−1 𝑖𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑦. ∴ 𝑀はユニタリ行列と共役.■ 11
- 12. 命題1の証明に戻る. 𝑐 𝕦, 𝕧≔ 𝑔∈𝐺 𝜋 𝑔 𝕦, 𝜋 𝑔 𝕧 , 𝕦, 𝕧 は標準エルミート内積 𝑐 𝕦, 𝕧 は正定値エルミート内積 ∵ ∀𝕦 ∈ ℂ 𝑛 , 𝕦, 𝕦 = 𝕦∗ 𝕦 = 𝕦 2 > 0 𝑐 𝜋 ℎ 𝕦, 𝜋 ℎ 𝕧 = 𝑔∈𝐺 𝜋 𝑔 𝜋(ℎ)𝕦, 𝜋 𝑔 𝜋(ℎ)𝕧 = 𝑔∈𝐺 𝜋 𝑔ℎ 𝕦, 𝜋 𝑔ℎ 𝕧 = 𝑘∈𝐺 𝜋 𝑘 𝕦, 𝜋 𝑘 𝕧 = 𝑐 𝕦, 𝕧 ∵ 和 𝑔∈𝐺 の中でℎは固定されているので，𝑔ℎを新たに𝑘と置いて 𝑘についての総和に変えてもよい 12
- 13. ∴ 𝑐 𝜋ℎ 𝕦, 𝜋 ℎ 𝕧 = 𝑐 𝕦, 𝕧 , ∀ℎ ∈ 𝐺 この正定値エルミート内積の作り方が“Weyl’s unitary trick” 𝜋 ℎ ∗ 𝐶𝜋 ℎ = 𝐶, 𝜋 ℎ ∗ 𝑅∗ 𝑅𝜋 ℎ = 𝑅∗ 𝑅 𝑅−1 𝜋 ℎ ∗ 𝑅∗ 𝑅𝜋 ℎ 𝑅−1 = 𝐼, 𝑅𝜋 ℎ 𝑅−1 ∗ 𝑅𝜋 ℎ 𝑅−1 = 𝐼 ∴ 𝜋′ ℎ = 𝑅𝜋 ℎ 𝑅−1 𝑖𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑦. ∴ 𝜋 ℎ = 𝑅−1 𝜋′(ℎ)𝑅 よって，命題1.1より行列𝜋 ℎ はユニタリ行列𝜋′ ℎ と共役. ∴有限群𝑮の表現はユニタリ表現と同値■ 13
- 14. p.245 定義4:群環(Group algebra)ℂ[𝐺] 有限群𝐺の元を基底とするℂ上の 𝐺次元ベクトル空間. ℂ 𝐺 ≔ 𝑔∈𝐺 𝑓 𝑔 𝑒 𝑔 |𝑓 𝑔 ∈ ℂ, 𝑓: 𝐺 → ℂ 群環ℂ[𝐺]の基底は 𝑒 𝑔|𝑔 ∈ 𝐺 , 𝑒 𝑔 𝑒ℎ = 𝑒 𝑔ℎ 𝐿2 𝐺 = {𝑓: 𝐺 → ℂ} 𝐿2 𝐺 は有限群𝐺上の複素数値関数の集合 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐿2 𝐺 の畳込み積∗ 𝑎 ∗ 𝑏 𝑥 = 𝑡∈𝐺 𝑎 𝑥𝑡−1 𝑏(𝑡) = 𝑦∈𝐺 𝑎 𝑦 𝑏(𝑦−1 𝑥) 14
- 15. 群環ℂ 𝐺 の演算: 1加法+: 𝑔∈𝐺 𝑎 𝑔 𝑒 𝑔 + 𝑔∈𝐺 𝑏 𝑔 𝑒 𝑔 = 𝑔∈𝐺 (𝑎 𝑔 + 𝑏(𝑔)) 𝑒 𝑔 2 スカラー倍: 𝛼 𝑔∈𝐺 𝑓 𝑔 𝑒 𝑔 = 𝑔∈𝐺 𝛼𝑓 𝑔 𝑒 𝑔 , 𝛼 ∈ ℂ 3 積: 𝑔∈𝐺 𝑎 𝑔 𝑒 𝑔 ℎ∈𝐺 𝑏 ℎ 𝑒ℎ = 𝑘∈𝐺 𝑎 ∗ 𝑏 𝑘 𝑒 𝑘 群環ℂ 𝐺 は加法とスカラー倍によって，ベクトル空間の構造をもつ. さらに，加法と畳み込みによる積の２つの演算によって，環の構造をもつ. 15
- 16. 𝐿2 𝐺 = {𝑓:𝐺 → ℂ}の演算: 1 加法+: 𝐿2 𝐺 ∋ 𝑎 𝑔 , 𝑏 𝑔 に対して，𝑎 𝑔 + 𝑏 𝑔 ∈ 𝐿2(𝐺) 2 スカラー倍: 𝐿2 𝐺 ∋ 𝑓 𝑔 , ℂ ∋ 𝛼に対して，𝛼𝑓(𝑔) ∈ 𝐿2(𝐺) 3 積 ∗: 𝐿2 𝐺 ∋ 𝑎 𝑔 , 𝑏 𝑔 に対して， 𝑎 ∗ 𝑏 𝑔 ∈ 𝐿2(𝐺) 𝐿2 𝐺 も加法とスカラー倍によって，ベクトル空間の構造をもつ. さらに，加法と畳み込みによる積の２つの演算によって，環の構造をもつ. 群環ℂ 𝐺 の元と𝐿2 𝐺 の元は自然に，同一視できる！ 16
- 17. 演習問題2: 𝐿2(𝐺)の中心が類関数の集合である事を証明せよ. • 証明の前に，記号を定義する. 𝐿2 𝐺の中心 = 𝑍 𝐿2 𝐺 = {𝑓 ∈ 𝐿2 (𝐺)|𝑓 ∗ ℎ = ℎ ∗ 𝑓, ∀ℎ ∈ 𝐿2 (𝐺)} 𝐿2 𝐺 ∋ 𝑓が類関数 ⇔ 𝑓 𝑔 = 𝑓 𝑥𝑔𝑥−1 , ∀𝑥, 𝑔 ∈ 𝐺 あるいは同じことだが，𝑢 = 𝑥𝑔, 𝑣 = 𝑥−1 と置けば， 𝑓 𝑢𝑣 = 𝑓 𝑣𝑢 , ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝐺 証明: 𝐿2 𝐺 ∋ 𝑓が類関数とする. 𝑓 ∗ ℎ 𝑥 − ℎ ∗ 𝑓 𝑥 = 𝑡∈𝐺 𝑓 𝑥𝑡−1 ℎ 𝑡 − 𝑡∈𝐺 ℎ 𝑡 𝑓(𝑡−1 𝑥) = 𝑡∈𝐺 𝑓 𝑥𝑡−1 − 𝑓(𝑡−1 𝑥) ℎ 𝑡 = 0 ∴ 𝑓 ∗ ℎ 𝑥 = (ℎ ∗ 𝑓)(𝑥) 逆も同様■ 17
- 18. p.246 Example 1:右正則表現，左正則表現 置換行列𝑃(𝜎):𝑆3 ∋𝜎 = 1 2 3 2 3 1 𝜎 𝑥1 𝑥2 𝑥3 = 𝑥 𝜎(1) 𝑥 𝜎(2) 𝑥 𝜎(3) = 𝑥2 𝑥3 𝑥1 = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ∴ 𝑃 𝜎 = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 一般に，𝑖行𝜎 𝑖 列成分が1,それ以外は0 18
- 19. 𝐺の左正則表現𝐿 𝐿: 𝐺 →𝐺𝐿 𝐿2 𝐺 𝐿 𝑔 𝑥 = 𝑔−1 𝑥 𝑊ℎ𝑒𝑟𝑒 𝐿 𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑔−1 𝑥 𝑓𝑜𝑟 𝑎 ∈ 𝐿2 𝐺 , 𝑔, 𝑥 ∈ 𝐺 𝐺の右正則表現𝑅 𝑅: 𝐺 → 𝐺𝐿 𝐿2 𝐺 𝑅 𝑔 = 𝑥𝑔 𝑊ℎ𝑒𝑟𝑒 𝑅 𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑥𝑔 𝑓𝑜𝑟 𝑎 ∈ 𝐿2 𝐺 , 𝑔, 𝑥 ∈ 𝐺 左(または右)正則表現は𝐺の全ての表現の源である. 19
- 20. 𝐸𝑥𝑒𝑟𝑐𝑖𝑠𝑒 a) 𝐿が群𝐺の表現である事を確かめる. 𝐿 𝑔𝑥𝑦 = 𝑔−1 𝑥𝑦 = 𝑔−1 𝑥𝑔−1 𝑦 = 𝐿 𝑔 𝑥 𝐿(𝑔)(𝑦)∎ b) 𝛿 𝑔 𝑥 = 1 𝑖𝑓 𝑥 = 𝑔 0 𝑖𝑓 𝑥 ≠ 𝑔 と定義するとき，𝐿 𝑔 𝛿ℎ = 𝛿 𝑔ℎ 𝐿 𝑔 𝛿ℎ 𝑥 = 𝛿ℎ 𝑔−1 𝑥 = 1 𝑖𝑓 𝑔−1 𝑥 = ℎ ⇔ 𝑥 = 𝑔ℎ 0 𝑖𝑓 𝑔−1 𝑥 ≠ ℎ ∴ 𝐿 𝑔 𝛿ℎ 𝑥 = 𝛿 𝑔ℎ(𝑥) また，𝛿 𝑔ℎ 𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 = 𝑔ℎ ⟺ 𝑔−1 𝑥 = ℎ 20
- 21. b)の続き 𝐺 = {𝑔1,𝑔2, … , 𝑔 𝑛}とする. 𝐿(𝑔)の行列成分は𝛿𝑔𝑖 𝑔𝑗 −1 𝑔 .なぜなら， 𝛿𝑔𝑖 𝑔𝑗 −1 𝑔 = 1 ⟺ 𝑔 = 𝑔𝑖 𝑔𝑗 −1 ⟺ 𝑔−1 𝑔𝑖 = 𝑔𝑗 𝐿 𝑔 𝑔𝑖 = 𝑔−1 𝑔𝑖 = 𝑔𝑗 𝐿 𝑔 は単射 ∵ 𝐿 𝑔 𝑥 = 𝐿 𝑔 𝑥′ ⟺ 𝑔−1 𝑥 = 𝑔−1 𝑥′ ⇒ 𝑥 = 𝑥′ これは結局，𝑔𝑖 ↦ 𝑔𝑗の置換であるから，左正則表現は置換行列で 表示できる. 21
- 22. 𝐸𝑥𝑒𝑟𝑐𝑖𝑠𝑒 有限群𝐺が有限集合𝑋上で作用する.すなわち， 𝑔 ∈ 𝐺,𝑥 ∈ 𝑋 ⇒ 𝑔𝑥 ∈ 𝑋 𝐺 ∋ 𝑒: 単位元, 𝑒𝑥 = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑔 ℎ𝑥 = 𝑔ℎ 𝑥 を満たす時，𝜋: 𝐺 → 𝐺𝐿 𝑉 , 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 𝑉 = 𝑓: 𝑋 → ℂ 𝜋 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑔−1 𝑥 , ∀𝑔 ∈ 𝐺, ∀𝑥 ∈ 𝑋 と表現𝜋を定義する.この時，指標 𝜒 𝜋 𝑔 = Tr 𝜋(𝑔) が 𝜒 𝜋 𝑔 = 𝑥 ∈ 𝑋 𝑔𝑥 = 𝑥 となる事を示せ. (Fulton, Harris [1991] はこれを”元祖不動点公式”と呼んだ) 22
- 23. p.247 命題2:完全可約性定理 1) 𝜌: 𝐺→ 𝑈(𝑚)を表現𝜋: 𝐺 → 𝑈(𝑛)の部分表現とする. この時， 𝜋(𝑔)は以下の表現と同値. 𝜌 ⊕ 𝜎 𝑔 = 𝜌(𝑔) 0 0 𝜎(𝑔) 2) 帰納的に，𝜋(𝑔)は以下の表現と同値. 𝜋1 ⊕ ⋯ ⊕ 𝜋 𝑟 𝑔 = 𝜋1(𝑔) 0 ⋱ 0 𝜋 𝑟(𝑔) ここで，部分表現𝜋𝑖は全て既約. この定理は表現𝜋が完全可約であると主張している. 23
- 24. フーリエ変換による置換族の独立性解析 長岡技術科学大学 鈴木孝 NGUYENTHAI PHAT 武井由智 2.6 Young直交表現 2.7 対称群上のフーリエ解析 2.8 畳み込み 24
- 25. §2.6 Young直交表現(YOR) • YORは対称群の既約表現:整数の分割𝜆 ⊢ 𝑛でラベル付 𝜌 𝜆: 𝑆 𝑛 → ℝ 𝑑 𝜆×𝑑 𝜆 • 表現の次数𝑑 𝜆 = StTab 𝜆 , StTab 𝜆 : 𝜆に関する標準ヤング盤の集合 O 𝑑 𝜆 ∋ 𝜌 𝜆 𝑘, 𝑘 + 1 𝑡,𝑡 = 1 𝑑 𝑡 𝑘, 𝑘 + 1 (対角成分) O 𝑑 𝜆 : 𝑑 𝜆 × 𝑑 𝜆 𝑜𝑟𝑡ℎ𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥 𝑠𝑒𝑡, StTab 𝜆 ∋ 𝑡, 𝑆 𝑛 ∋ 𝑘, 𝑘 + 1 : 隣接互換 𝑖𝑓 𝑘, 𝑘 + 1 𝑡 ∈ StTab 𝜆 ⇒ 非対角要素が存在する 25
- 26. §2.6 Young直交表現(YOR) 𝜌 𝜆𝑘, 𝑘 + 1 𝑡,(𝑘,𝑘+1)(𝑡) = 1 − 1 𝑑 𝑡 𝑘, 𝑘 + 1 2 その他の行列要素は0. 𝑑 𝑡 𝑖, 𝑗 = 𝑐 𝑗 − 𝑐 𝑖 𝑐 𝑥 𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑡 𝑜𝑓 𝑥. 標準ヤング盤𝑡上の𝑟行𝜇列に数字𝑥がある時， 𝑐 𝑥 = 𝜇 − 𝑟 ∀𝜎 ∈ 𝑆 𝑛は隣接互換の積で表せる. ∴ ∀𝜎 ∈ 𝑆 𝑛の表現が定義できた！ 特に，𝜌 𝜆 𝜎−1 = 𝜌 𝜆 𝜎 −1 = 𝜌 𝜆 𝜎 𝑇 26
- 27. §2.6 Young直交表現(YOR) 𝜆 =2,2 =⊞⊢ 4, 𝜌 𝜆 123 4 = 𝜌⊞ 123 を求めてみる. 𝜌⊞ 123 = 𝜌⊞ (12)(23) = 𝜌⊞ (12) ⋅ 𝜌⊞ 23 𝑑⊞ = StTab ⊞ = 2 𝑡 = 1 3 2 4 , 𝑐 2 = 1 − 2 = −1, 𝑐 1 = 0, ∴ 𝑑 𝑡 1,2 = −1 𝑡′ = 1 2 3 4 , 𝑐 2 = 2 − 1 = 1, 𝑐 1 = 0, ∴ 𝑑 𝑡′ 1,2 = 1 1,2 𝑡 = 2 3 1 4 ∉ StTab 𝜆 , 非対角要素は0, ∴ 𝜌⊞ 12 = −1 0 0 1 27
- 28. §2.6 Young直交表現(YOR) 𝑡 = 13 2 4 , 𝑐 3 = 2 − 1 = 1, 𝑐 2 = 1 − 2 = −1, ∴ 𝑑 𝑡 2,3 = 2 𝑡′ = 1 2 3 4 , 𝑐 3 = 1 − 2 = −1, 𝑐 2 = 2 − 1 = 1, ∴ 𝑑 𝑡′ 2,3 = −2 2,3 𝑡 = 1 2 3 4 ∈ StTab 𝜆 , 非対角要素が存在 ∴ 𝜌⊞ 23 = 1/2 3/2 3/2 −1/2 28
- 29. ∴ 𝜌⊞ 123= −1 0 0 1 1/2 3/2 3/2 −1/2 = −1/2 − 3/2 3/2 −1/2 29