Wronskian≠0ならば，２つの数列は一次独立です

1. Proof of linear independence
on sequence by Wronskian
Hanpen Robot
Thursday March 03 2016

2. 数列 −1 𝑛
, {2 𝑛
}が基底として採用できるとは，
数列 −1 𝑛
, {2 𝑛
}が線形独立であることを意味します.
線形独立の定義を以下に示します.
𝐶1 −1 𝑛 + 𝐶22 𝑛 = 0を満たすならば 𝐶1 = 0かつ𝐶2 = 0
■線形独立の定義

3. 数列 −1 𝑛
, {2 𝑛
}が基底として採用できるとは，
数列 −1 𝑛
, {2 𝑛
}が線形独立であることを意味します.
線形独立の定義を以下に示します.
𝐶1 −1 𝑛 + 𝐶22 𝑛 = 0を満たすならば 𝐶1 = 0かつ𝐶2 = 0
■線形独立の定義
それでは，上式を証明してみましょう！

4. 𝐶1 −1 𝑛
+ 𝐶22 𝑛
= 0
𝐶1 −1 𝑛+1
+ 𝐶22 𝑛+1
= 0
これを行列を使って書き直すと，
−1 𝑛
2 𝑛
−1 𝑛+1
2 𝑛+1
𝐶1
𝐶2
=
0
0

5. 𝐶1 −1 𝑛
+ 𝐶22 𝑛
= 0
𝐶1 −1 𝑛+1
+ 𝐶22 𝑛+1
= 0
これを行列を使って書き直すと，
−1 𝑛
2 𝑛
−1 𝑛+1
2 𝑛+1
𝐶1
𝐶2
=
0
0

6. もし
−1 𝑛 2 𝑛
−1 𝑛+1 2 𝑛+1
−1
が存在すれば
𝐶1
𝐶2
=
0
0
が成立します.
逆行列の存在を判定するために，
−1 𝑛 2 𝑛
−1 𝑛+1
2 𝑛+1 を計算します.
(この行列式はWronskianといいます)
−1 𝑛 2 𝑛
−1 𝑛+1
2 𝑛+1 = −1 𝑛2 𝑛+1 − −1 𝑛+12 𝑛 = 3 −2 𝑛 ≠ 0 (∀𝑛 ∈ ℕ)
∴
𝐶1
𝐶2
=
0
0

7. もし
−1 𝑛 2 𝑛
−1 𝑛+1 2 𝑛+1
−1
が存在すれば
𝐶1
𝐶2
=
0
0
が成立します.
逆行列の存在を判定するために，
−1 𝑛 2 𝑛
−1 𝑛+1
2 𝑛+1 を計算します.
(この行列式はWronskianといいます)
−1 𝑛 2 𝑛
−1 𝑛+1
2 𝑛+1 = −1 𝑛2 𝑛+1 − −1 𝑛+12 𝑛 = 3 −2 𝑛 ≠ 0 (∀𝑛 ∈ ℕ)
∴
𝐶1
𝐶2
=
0
0

8. よって数列 −1 𝑛
, {2 𝑛
}が基底として採用できる