微分演算子にexp(αt)を作用させる事についての考察.

1. 微分演算子と多項式の剰余環の関係
についてのメモ
2016 October 12 Wednesday 17:02 (Japan time)
M1 Tamura Takumi Age 23

2. 𝐷 ≔
𝑑
𝑑𝑡
とする.
一般に，
𝐷 − 𝛼 𝑒 𝛼𝑡
= 0
である. よって，以下が成立する.
𝑓 𝐷 𝑒 𝛼𝑡 = 0 ⇒ 𝐷 − 𝛼 |𝑓(𝐷)
ただし，𝑓 𝐷 = 𝑎 𝑛 𝐷 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝐷 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝐷 + 𝑎0 (𝑎 𝑛 ≠ 0)
ゆえに，
𝑓 𝐷 𝑒 𝛼𝑡 = 𝑔 𝐷 𝑒 𝛼𝑡 ⟺ 𝑓 𝐷 ≡ 𝑔 𝐷 (𝑚𝑜𝑑 (𝐷 − 𝛼))
が成立する.

3. ∴ ℂ 𝐷 𝑒 𝛼𝑡
≅ ℂ[𝐷]/(𝐷 − 𝛼)