微分演算子と多項式の剰余環の関係 2016 october 12

1.
微分演算子と多項式の剰余環の関係についてのメモ 2016 October 12Wednesday 17:02 (Japan time) M1 Tamura Takumi Age 23

2.
𝐷 ≔ 𝑑 𝑑𝑡 とする. 一般に， 𝐷 −𝛼 𝑒 𝛼𝑡 = 0 である. よって，以下が成立する. 𝑓 𝐷 𝑒 𝛼𝑡 = 0 ⇒ 𝐷 − 𝛼 |𝑓(𝐷) ただし，𝑓 𝐷 = 𝑎 𝑛 𝐷 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝐷 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝐷 + 𝑎0 (𝑎 𝑛 ≠ 0) ゆえに， 𝑓 𝐷 𝑒 𝛼𝑡 = 𝑔 𝐷 𝑒 𝛼𝑡 ⟺ 𝑓 𝐷 ≡ 𝑔 𝐷 (𝑚𝑜𝑑 (𝐷 − 𝛼)) が成立する.

3.
∴ ℂ 𝐷𝑒 𝛼𝑡 ≅ ℂ[𝐷]/(𝐷 − 𝛼)