リー代数 構造定数が随伴表現になることの証明

1. 構造定数が随伴表現になるこ
との証明
2020 December Thursday 31, 16:05 ~ 20:11 Japan Time
Tamura Takumi
Lie代数のメモ, Lie代数の専⾨書[1]だと、さらっと証明されてる事柄。
それを、やっと理解できたので、備忘録として資料化しました。

2. 𝑋!, 𝑋" : = 𝑋! 𝑋" − 𝑋" 𝑋! = &
#$%
&
−1𝑐!"# 𝑋# ∈ 𝔤
交換⼦積 ⋅,⋅ を下記で定義
ℝ ∋ 𝑐!"#をLie代数の構造定数と呼ぶ
𝔤: ℂ上の𝑛次元Lie代数(𝔤 はℂ上の𝑛次元ベクトル空間の構造と、乗算を持っ
ている代数系である。これを多元環ともいう。)とする。
𝔤 ∋ 𝑋$, 𝑋%, … , 𝑋&を𝔤の生成子とする。すなわち、 1 , 2 を満たす
1 ∀𝑌 ∈ 𝔤, Y = &
'$%
&
𝑎' 𝑋' , ∃! 𝑎' ∈ ℂ
この時、ヤコビ恒等式(4)が成⽴
4 𝑋!, 𝑋", 𝑋# + 𝑋", 𝑋#, 𝑋! + 𝑋#, 𝑋!, 𝑋" = 0
2 3
'($
&
𝑎' 𝑋' = 0 ⇒ 𝑎' = 0, ∀𝑖
（𝑋!の一次独立性）
構造定数の反対称性
3 𝑐!"# = −𝑐"!#

3. Lie代数の構造定数𝑐!"#が、またLie代数の表現になることを示す
ヤコビ恒等式(4)を変形していく。
𝑋!, 𝑋", 𝑋# + 𝑋", 𝑋#, 𝑋! + 𝑋#, 𝑋!, 𝑋" = 0
𝑋!, 3
*($
&
−1𝑐"#* 𝑋* + 𝑋", 3
*($
&
−1𝑐#!* 𝑋* + 𝑋#, 3
*($
&
−1𝑐!"* 𝑋* = 0
&
)$%
&
−1 𝑐"#) 𝑋!, 𝑋) + 𝑐#!) 𝑋", 𝑋) + 𝑐!") 𝑋#, 𝑋) = 0
3
*($
&
3
+($
&
𝑐"#* 𝑐!*+ + 𝑐#!* 𝑐"*+ + 𝑐!"* 𝑐#*+ 𝑋+ = 0

4. ヤコビ恒等式(4)を変形していく。
3
+($
&
3
*($
&
𝑐"#* 𝑐!*+ + 𝑐#!* 𝑐"*+ + 𝑐!"* 𝑐#*+ 𝑋+ = 0
3
*($
&
𝑐"#* 𝑐!*$ + 𝑐#!* 𝑐"*$ + 𝑐!"* 𝑐#*$ 𝑋$ + 3
*($
&
𝑐"#* 𝑐!*% + 𝑐#!* 𝑐"*% + 𝑐!"* 𝑐#*% 𝑋% + ⋯
+ 3
*($
&
𝑐"#* 𝑐!*& + 𝑐#!* 𝑐"*& + 𝑐!"* 𝑐#*& 𝑋& = 0 ⋯ (5)
Lie代数の構造定数𝑐!"#が、またLie代数の表現になることを示す
ここで、(2) 𝑋'の一次独立性を(5)式に適用
∴ +
%&'
(
𝑐"#% 𝑐!%) + 𝑐#!% 𝑐"%) + 𝑐!"% 𝑐#%) = 0, ∀𝑓 ∈ 1,2, … , 𝑛

5. ここで、𝑛次正⽅⾏列𝑇!の𝑖⾏𝑗列成分 𝑇! '*を以下で定義する。
𝑇! '* = − −1𝑐!'*、すると
3
*($
&
𝑐"#* 𝑐!*+ + 𝑐#!* 𝑐"*+ + 𝑐!"* 𝑐#*+ = 0, ∀𝑓 ∈ 1,2, … , 𝑛
&
)$%
&
− −1𝑐"#) −1𝑐!)+ − −1𝑐#!) −1𝑐")+ − −1𝑐!") −1𝑐#)+ = 0
Lie代数の構造定数𝑐!"#が、またLie代数の表現になることを示す
&
)$%
&
− −1𝑐"#) −1𝑐!)+ + −1𝑐!#) −1𝑐")+ + −1𝑐!") −1𝑐)#+ = 0
, ∀𝑓 ∈ 1,2, … , 𝑛構造定数の反対称性
3 𝑐#!% = −𝑐!#%

6. ここで、𝑛次正⽅⾏列𝑇!の𝑖⾏𝑗列成分 𝑇! '*を以下で定義する。
𝑇! '* = − −1𝑐!'*、すると
Lie代数の構造定数𝑐!"#が、またLie代数の表現になることを示す
&
)$%
&
− −1𝑐"#) −1𝑐!)+ + −1𝑐!#) −1𝑐")+ + −1𝑐!") −1𝑐)#+ = 0
, ∀𝑓 ∈ 1,2, … , 𝑛
+
%&'
(
− 𝑇" #% 𝑇! %) + 𝑇! #% 𝑇" %) − −1𝑐!"% 𝑇% #) = 0

7. Lie代数の構造定数𝑐!"#が、またLie代数の表現になることを示す
+
%&'
(
− 𝑇" #% 𝑇! %) + 𝑇! #% 𝑇" %) − −1𝑐!"% 𝑇% #) = 0
− 𝑇" 𝑇! #) + 𝑇! 𝑇" #) − +
%&'
(
−1𝑐!"% 𝑇% #) = 0
∵ 𝐴 = (𝑎'*), 𝐵 = 𝑎'* ⇒ 𝐴𝐵 '* = &
,$'
&
𝑎', 𝑏,* 行列の積の定義

8. Lie代数の構造定数𝑐!"#が、またLie代数の表現になることを示す
+
%&'
(
− 𝑇" #% 𝑇! %) + 𝑇! #% 𝑇" %) − −1𝑐!"% 𝑇% #) = 0
− 𝑇" 𝑇! #) + 𝑇! 𝑇" #) − +
%&'
(
−1𝑐!"% 𝑇% #) = 0
∴ − 𝑇" 𝑇! #) + 𝑇! 𝑇" #) = +
%&'
(
−1𝑐!"% 𝑇% #)

9. Lie代数の構造定数𝑐!"#が、またLie代数の表現になることを示す
∴ 𝑇!, 𝑇" = 𝑇! 𝑇" − 𝑇" 𝑇! = +
%&'
(
−1𝑐!"% 𝑇%
∴ − 𝑇" 𝑇! #) + 𝑇! 𝑇" #) = +
%&'
(
−1𝑐!"% 𝑇% #)
Lie代数の構造定数𝑐!"#が、Lie代数の交換関係を満たすことができた。
よって、 Lie代数の構造定数𝑐!"#が またLie代数の表現になることが示せた。
この表現を随伴表現と呼ぶ。

10. ⽂献
• [1] 物理学におけるリー代数―アイソスピンから統⼀理論へ (物
理学叢書 107), ２章
• この本の２章を攻略するときに作った⾃分のメモがこのスライ
ドです。
[1]の⽂献は⾏間がかなり空いている本です。
⽂献中では、アインシュタインの縮約規則が使われていたので、
結構混乱しました。
アインシュタインの縮約規則:∑𝒊$𝟏
𝒏
𝒂𝒊𝒊 = 𝒂𝒊𝒊
同じ添字は、総和を取るというテンソル解析での略記法。