第4回日曜数学会（2016-01-30開催）の発表スライドです。 加算、乗算のようなノリで加算よりレベルの低い演算ができないかという素朴な疑問について考えてみました。

1. 加法よりも低レベルな演算を
考える
日曜数学会 2016-01-30
@butchi_y

2. きっかけ
 加算から乗算が生まれた
 乗算からべき乗が生まれた
 なら、その逆ルートを辿れるか？

3. 定義
 x + x = x × 2
 x × x = x ^ 2
 ということは
 x ⊕ x = x + 2
こう定義するのが自然そう
（ “⊕” は「準加算記号」とでも名前を付けておく）

4. 定義
 x + x + … + x = x × y
 x × x × … × x = x ^ y
 x ⊕ x ⊕ … ⊕ x = x + y
y
y
y

5. 具体的には
 0 ⊕ 0 = 2
 1 ⊕ 1 = 3
 2 ⊕ 2 = 4
 3 ⊕ 3 = 5
 4 ⊕ 4 = 6
⊕ 0 1 2 3 4
0 2
1 3
2 4
3 5
4 6

6. もっと計算
 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 3 → (0 ⊕ 0) ⊕ 0 = 2 ⊕
0
 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 4 → (1 ⊕ 1) ⊕ 1 = 3 ⊕
1
 2 ⊕ 2 ⊕ 2 = 5 → (2 ⊕ 2) ⊕ 2 = 4 ⊕
2
⊕ 0 1 2 3 4
0 2 3
1 3 4
2 3 4 5
3 4 5
4 5 6（交換法則を仮定）

7. もっと計算
 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 4 = 3 ⊕ 0
 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 5 = 4 ⊕ 1
 2 ⊕ 2 ⊕ 2 ⊕ 2 = 6 = 5 ⊕ 2
⊕ 0 1 2 3 4
0 2 3 4
1 3 4 5
2 3 4 5
3 4 4 5
4 5 5 6順調に埋まってる！

8. 結合法則を仮定すると…
 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 6
 (0 ⊕ 0) ⊕ (0 ⊕ 0) ⊕ (0 ⊕ 0) = 2 ⊕ 2
⊕ 2 = 5
 (0 ⊕ 0 ⊕ 0) ⊕ (0 ⊕ 0 ⊕ 0) = 3 ⊕ 3 =
5
 …矛盾！

9. 0の演算は特殊？
 0 + 0 = 0
 0 × 0 = 0
だけど
0 ^ 0は不定値だし、
0 ⊕ 0も不定値？

10. また結合法則を仮定すると…
 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 7
 (1 ⊕ 1) ⊕ (1 ⊕ 1) ⊕ (1 ⊕ 1) = 3 ⊕ 3
⊕ 3 = 6
 (1 ⊕ 1 ⊕ 1) ⊕ (1 ⊕ 1 ⊕ 1) = 4 ⊕ 4 =
6
 …どのみち矛盾！

11. 零元
 a ⊕ a = a となるようなaはある？
→定義より a ⊕ a = a + 2
＿人人人人人人人人人＿
＞ 非常に厳しい！ ＜
￣Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y￣

12. 代数学的アプローチ
 f(x) = x + 1 (: インクリメント演算)
 f2(x) = f(f(x)) = x + 2 = x ⊕ x
 f3(x) = f(f(f(x))) = x + 3 = x ⊕ x ⊕ x
 fy(x) = x + y (= fx(y))

13. まとめ
 加算、乗算のノリで低級化を試みた
 x ⊕ x = 2という定義を厳守
 交換法則等を用いると矛盾
 矛盾しない解決法を募集中！