複素数の対数関数、リーマン面

1. 複素数の対数関数
logの作るリーマン面

2. •今日のvideoのgoal
logの作るリーマン面
log:
→ ℂ

3. ℂ ∋ 1 = 1𝑒 𝑖0
= 1𝑒2𝜋𝑖
= 1𝑒4𝜋𝑖
= ⋯
複素数𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃
, 𝑟 ≥ 0, 𝑟: 実数, 𝜃 ∈ ℝ
偏角𝜃

4. ⋮
log 1 + 4𝜋𝑖
log 1 + 2𝜋𝑖
log 1 + 𝑖0
log 1 − 2𝜋𝑖
log 1 − 4𝜋𝑖
⋮
ℂ ∋ 1 ↦
1の対数は無限個ある

5. ⋮
log 1 + 4𝜋𝑖
log 1 + 2𝜋𝑖
log 1 + 𝑖0
log 1 − 2𝜋𝑖
log 1 − 4𝜋𝑖
⋮
ℂ ∋ 1 ↦
1の対数は無限個ある
いわゆる、多価関数

6. ⋮
log 1 + 4𝜋𝑖
log 1 + 2𝜋𝑖
log 1 + 𝑖0
log 1 − 2𝜋𝑖
log 1 − 4𝜋𝑖
⋮
ℂ ∋ 1 ↦
1の対数は無限個ある
いわゆる、多価関数
log関数の定義域を ℂ でないものに変更する。
そうすると、普通の関数になる

7. 偏角𝜃を制限する。 −𝜋 < 𝜃 < 𝜋
𝒟 = ℂ ∖ (−∞, 0]

8. 偏角𝜃を制限する。 −𝜋 < 𝜃 < 𝜋
𝒟 = ℂ ∖ (−∞, 0]
𝒟 ∋ 1 ↦ log 1 + 𝑖0

9. 次のように、(領域、関数)のペアを考える。
𝒟 = ℂ ∖ (−∞, 0]
領域
関数
𝜑 𝑛 𝑧 = log 𝑟 + 𝑖(𝜃 + 2𝜋𝑛)

10. ⋮
𝐷2, 𝜑2
𝐷1, 𝜑1
𝐷0, 𝜑0
𝐷−1, 𝜑−1
𝐷−2, 𝜑−2
⋮
=
⋮
𝐷2, log 𝑟 + 𝑖(𝜃 + 4𝜋)
𝐷1, log 𝑟 + 𝑖(𝜃 + 2𝜋)
𝐷0, log 𝑟 + 𝑖𝜃
𝐷−1, log 𝑟 + 𝑖(𝜃 − 2𝜋)
𝐷−2, log 𝑟 + 𝑖(𝜃 − 4𝜋)
⋮
𝐷 = 𝐷0 = 𝐷±1 = 𝐷±2 = ⋯

11. ⋮
𝐷2, 𝜑2
𝐷1, 𝜑1
𝐷0, 𝜑0
𝐷−1, 𝜑−1
𝐷−2, 𝜑−2
⋮
=
⋮
𝐷2, log 𝑟 + 𝑖(𝜃 + 4𝜋)
𝐷1, log 𝑟 + 𝑖(𝜃 + 2𝜋)
𝐷0, log 𝑟 + 𝑖𝜃
𝐷−1, log 𝑟 + 𝑖(𝜃 − 2𝜋)
𝐷−2, log 𝑟 + 𝑖(𝜃 − 4𝜋)
⋮
𝐷 = 𝐷0 = 𝐷±1 = 𝐷±2 = ⋯
超超重要: 偏角𝜽は−𝝅 < 𝜽 < 𝝅に制限されてます！

12. •Logの作るリーマン面

13. •Logの作るリーマン面 ⋮
log 1 + 4𝜋𝑖
log 1 + 2𝜋𝑖
log 1 + 𝑖0
log 1 − 2𝜋𝑖
log 1 − 4𝜋𝑖
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