多項式の零点集合をイデアルの言葉に直します

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代数幾何学 原稿(仮) 執筆開始日 2015/12/19 午後 8 時 14 分(ハノイ時間)
Hanpen Robot
[0] 単位円𝑥2
+ 𝑦2
= 1をイデアルの言葉に書き直してみよう！
まずは，詳細な説明は省略して，大雑把に代数幾何学におけるイデアルの役割を見ていこう.
単位円𝑥2
+ 𝑦2
= 1は 2 変数多項式𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑥2
+ 𝑦2
− 1の零点の集合
𝑉( 𝑓) = 𝑉(𝑥2
+ 𝑦2
− 1) = {( 𝑝1,𝑝2) ∈ ℂ2
| 𝑓( 𝑝1,𝑝2) = 0}
と書き直すことができますね.さて，𝑉( 𝑓)をイデアルの言葉で書き直してみます.
まず， 𝑓( 𝑝1, 𝑝2) = 0 は 𝑓( 𝑝1, 𝑝2) ∈ (𝑥 − 𝑝1, 𝑦 − 𝑝2) と同値です. (𝑥 − 𝑝1, 𝑦 − 𝑝2)は多項式環
ℂ[𝑥, 𝑦]の極大イデアルです.また，ヒルベルトの弱零点定理から，ℂ[𝑥, 𝑦]の極大イデアルは全
てこの形をしています.ここで，多項式𝑓( 𝑝1,𝑝2)によって生成されるイデアル(𝑓)を考えま
す. (𝑓)は多項式𝑓を含む最小のイデアルです.よって，
𝑓( 𝑝1, 𝑝2) = 0 ⟺ ( 𝑓) ⊂ ( 𝑥 − 𝑝1, 𝑦 − 𝑝2) ∈ 𝑆𝑝𝑚(ℂ[𝑥, 𝑦])
が成立します. 𝑆𝑝𝑚(𝑘[𝑥, 𝑦])はℂ[𝑥, 𝑦]の極大イデアルの集合です.ゆえに，
𝑉( 𝑥2
+ 𝑦2
− 1) = { 𝔪 ∈ 𝑆𝑝𝑚(ℂ[𝑥, 𝑦])| ( 𝑥2
+ 𝑦2
− 1) ⊂ 𝔪}
なお，( 𝑥 − 𝑝1, 𝑦 − 𝑝2)を𝔪と略記しました.また，ℂが代数的閉体なので，以下が成立します
𝑉( 𝑥2 + 𝑦2 − 1) ≅ 𝑆𝑝𝑚(ℂ[ 𝑥, 𝑦]/( 𝑥2 + 𝑦2 − 1))
上式は剰余環の自然な準同型𝜋: ℂ[ 𝑥, 𝑦] → ℂ[ 𝑥, 𝑦]/( 𝑥2
+ 𝑦2
− 1)で，ℂ[ 𝑥, 𝑦]/( 𝑥2
+ 𝑦2
− 1)の極
大イデアル𝔪̃を引き戻す(逆像𝜋−1( 𝔪̃)を考えること)事によって導けます(いわゆる，イデア
ルの対応定理).つまり，代数的閉体上の多項式の零点によって，表現される図形は，剰余環
の極大イデアルの集合と考えることができます.また，可換環ℂ[ 𝑥, 𝑦]/( 𝑥2
+ 𝑦2
− 1)と同型の
環を考えて，その極大イデアルの集合を考えても，本質的には問題ないことも分かります.
この単位円のケースを一般化すると以下のようになります.
𝑓1, … , 𝑓𝑚 ∈ 𝑘[ 𝑥1,… , 𝑥 𝑛 ],𝑘は代数的閉体
𝑉( 𝑓1, … , 𝑓𝑚) = { 𝔪 ∈ 𝑆𝑝𝑚( 𝑘[ 𝑥, 𝑦]) | ( 𝑓1, … , 𝑓𝑚) ⊂ 𝔪} ≅ 𝑆𝑝𝑚(𝑘[ 𝑥, 𝑦]/( 𝑓1,… , 𝑓𝑚))
つまり，𝑛変数多項式𝑓1, … , 𝑓𝑚の共通零点の集合𝑉( 𝑓1, … , 𝑓𝑚)は𝑓1, … , 𝑓𝑚から生成されるイデア
ルによる剰余環𝑘[ 𝑥, 𝑦]/( 𝑓1, …, 𝑓𝑚)の極大イデアルの集合と同一視できます.
[1] 代数的閉集合
𝑛次元アファイン空間𝔸 𝑛
を𝔸 𝑛
:= 𝑘 𝑛
= {( 𝑎1,… , 𝑎 𝑛 )|𝑎𝑖 ∈ 𝑘, 𝑖 = 1, . . , 𝑛}と定義する. 𝑘は代数的
閉体とする.以下の形の𝔸 𝑛の部分集合を，代数的閉集合という.
𝑉( 𝑇) = { 𝑃 ∈ 𝑘 𝑛
| ∀𝑓 ∈ 𝑇, 𝑓( 𝑃) = 0} ただし，𝑇 ⊂ 𝑘[𝑥1,… , 𝑥 𝑛]
つまり，𝑉( 𝑇)は𝑛変数多項式の集合𝑇の共通零点の集合である. では，この代数的閉集合のも
つ性質を調べていく.
・性質 1
𝑇1 ⊂ 𝑇2 ⇒ 𝑉( 𝑇2) ⊂ 𝑉(𝑇1)

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証明: 𝑃 ∈ 𝑉( 𝑇2) ⟺ ∀𝑓 ∈ 𝑇2, 𝑓( 𝑃) = 0と仮定𝑇1 ⊂ 𝑇2から∀𝑓 ∈ 𝑇1, 𝑓( 𝑃) = 0が成立する∎
方程式の本数が多くなる(つまり，𝑇1 ⊂ 𝑇2)とその解である共通零点が少なくなるのは，直感
的には明らかである.性質 1 で包含関係⊂が逆になる部分は，実は圏論における反変関手の
暗示をしている.
・性質 2
代数的閉集合𝑉( 𝑇)は，閉集合の公理をみたす.すなわち，以下が成立する.
(1) 𝑉( 𝑇1) ∪ 𝑉( 𝑇2) = 𝑉(𝑇1 ∩ 𝑇2)
(2) ⋂ 𝑉(𝑇𝜆)
𝜆∈Λ
= 𝑉 (⋃ 𝑇𝜆
𝜆∈Λ
)
(3) 𝑉( 𝔸 𝑛) = 𝜙, 𝑉(0) = 𝔸 𝑛
よって，𝔸 𝑛
は閉集合族{ 𝑉( 𝑇𝜆)} 𝜆∈Λによって位相空間とみなせる.この位相空間を Zariski 位
相空間と呼ぶ.