行列による空間の直和分解を解説します.行列による空間の直和分解を利用することで，ジョルダン標準形が計算できます.

1. 行列による空間の直和分解
Hanpen Robot

2. まずは，行列𝔸 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
を考える

3. 次に，行列𝔸を使って，
ℝ上の２次元ベクトル空間ℝ2を，
ℝ[𝔸]上の加群ℝ 𝔸 𝟐に拡張する！

4. 拡張前
ℝ2
= 𝑥1 𝕖1 + 𝑥2 𝕖2 𝑥𝑖 ∈ ℝ
ただし，𝕖1 =
1
0
，𝕖2 =
0
1
拡張後
ℝ[𝔸] 𝟐
= 𝒇 𝟏(𝔸)𝕖 𝟏 + 𝒇 𝟐(𝔸)𝕖 𝟐 𝒇𝒊 (𝔸) ∈ ℝ[𝔸]

5. 変数𝑡を行列𝔸に置き換える写像です.
とても自然ですね♪
𝜋: ℝ 𝑡 2
∋
𝑓1 𝑡
𝑓2 𝑡
⟼ 𝑓1 𝔸 𝕖1 + 𝑓2 𝔸 𝕖2 ∈ ℝ 𝔸 2
ℝ 𝑡 2
とℝ 𝔸 2
の間には，
自然な全射準同型𝜋が存在します！

6. 実は𝑘𝑒𝑟 𝜋 = 𝔸 − 𝑡𝔼 ℝ 𝑡 2
なのです！

7. 略証
𝔸 − 𝑡𝔼
𝑓1 𝑡
𝑓2 𝑡
=
𝑎11 − 𝑡 𝑎12
𝑎21 𝑎22 − 𝑡
𝑓1 𝑡
𝑓2 𝑡
=
𝑎11 − 𝑡 𝑓1 𝑡 + 𝑎12 𝑓2 𝑡
𝑎21 𝑓1(𝑡) + (𝑎22 − 𝑡)𝑓2 𝑡
これを𝜋で写像する

8. 𝑎11 𝔼 − 𝔸 𝑓1 𝔸 + 𝑎12 𝑓2(𝔸) 𝕖1 + 𝑎21 𝑓1 𝔸 + 𝑎22 𝔼 − 𝔸 𝑓2(𝔸) 𝕖2
= 𝑓1 𝔸
0 −𝑎12
−𝑎21 𝑎11 − 𝑎22
+ 𝑓2 𝔸 𝑎12 𝔼
1
0
+ 𝑓1 𝔸 𝑎21 𝔼 + 𝑓2 𝔸
𝑎22 − 𝑎11 −𝑎12
−𝑎21 0
0
1
= 𝑓1 𝔸
0
−𝑎21
+ 𝑓2 𝔸
𝑎12
0
+ 𝑓1 𝔸
0
𝑎21
+ 𝑓2 𝔸
−𝑎12
0
=
0
0
∴ 𝔸 − 𝑡𝔼
𝑓1 𝑡
𝑓2 𝑡
∈ 𝑘𝑒𝑟 𝜋
略証

9. ℝ 𝑡 2
𝔸 − 𝑡𝔼 ℝ 𝑡 2
≅ ℝ 𝔸 2
∴ 𝑘𝑒𝑟 𝜋 = 𝔸 − 𝑡𝔼 ℝ 𝑡 2
そして，準同型定理より，

10. 記号の意味を思い出そう！
ℝ 𝑡 2
𝔸 − 𝑡𝔼 ℝ 𝑡 2
=
𝑓1(𝑡)
𝑓2 𝑡
∈ ℝ 𝑡 2 𝑎11 − 𝑡 𝑎12
𝑎21 𝑎22 − 𝑡
𝑓1 𝑡
𝑓2 𝑡
=
0
0
ℝ 𝑡 2
𝔸−𝑡𝔼 ℝ 𝑡 2は以下のような意味です
𝑎11 − 𝑡 𝑎12
𝑎21 𝑎22 − 𝑡
𝑓1 𝑡
𝑓2 𝑡
=
0
0
は多項式が係数の連立一次方程式ですね.

11. 単因子論(単項イデアル整域の
連立一次方程式の理論)によれば
𝑎11 − 𝑡 𝑎12
𝑎21 𝑎22 − 𝑡
𝑓1 𝑡
𝑓2 𝑡
=
0
0
⇒
𝑑11(𝑡) 0
0 𝑑22(𝑡)
𝑓1 𝑡
𝑓2 𝑡
=
0
0
行基本変形，列基本変形で，↑のように方程式を簡約化できます.
なお，𝑑22 𝑡 = 𝑔 𝑡 𝑑11(𝑡)の関係が成立します.
(𝑑11(𝑡)は𝑑22 𝑡 の約多項式ってこと）
𝑑11(𝑡), 𝑑22(𝑡)は行列𝔸の単因子とよびます.

12. ℝ 𝑡 2
𝔸 − 𝑡𝔼 ℝ 𝑡 2
=
𝑓1(𝑡)
𝑓2 𝑡
∈ ℝ 𝑡 2 𝑑11(𝑡) 0
0 𝑑22(𝑡)
𝑓1 𝑡
𝑓2 𝑡
=
0
0
=
𝑓1 𝑡
𝑓2 𝑡
∈ ℝ 𝑡 2 │
𝑑11(𝑡)𝑓1 𝑡
𝑑22(𝑡)𝑓2 𝑡
=
0
0
=
𝑓1 𝑡 𝑚𝑜𝑑 𝑑11(𝑡)
𝑓2 𝑡 𝑚𝑜𝑑 𝑑22(𝑡)
=
ℝ 𝑡
𝑑11ℝ[𝑡]
⨁
ℝ 𝑡
𝑑22ℝ[𝑡]
∴ ℝ 𝔸 2
≅
ℝ 𝑡 2
𝔸 − 𝑡𝔼 ℝ 𝑡 2
=
ℝ 𝑡
𝑑11ℝ[𝑡]
⨁
ℝ 𝑡
𝑑22ℝ[𝑡]
行列で空間の直和分解ができた！

13. 行列による空間の直和分解を利用
する事で，行列のジョルダン標準形
が計算できます！