漸化式と微分積分

1. R上連続関数fに対してf1 x f2 x … をf1 x = 0
x
f y dy fk x = 0
x
fk−1 y dy k ≧ 2で定義する。
(1)f2 x = 0
x
f y (x − y)dy となることを示せ。
(2)fk x =
1
k−1 ! 0
x
f y x − y k−1
dy k≧２を示せ。
(3)g0 x = exp −cx c > 0 とする。g1 x , g2 x … が gk
′
x = −cgk x + gk−1 x gk 0 = 0 k ≧ 1を満たすとする。
1 g1 x を求めよ。
2 gk x k≧１を求めよ。

2. R上連続関数fに対してf1 x f2 x … をf1 x = 0
x
f y dy fk x = 0
x
fk−1 y dy k ≧ 2で定義する。
(1)f2 x = 0
x
f y (x − y)dy となることを示せ。
証明
f1 x = 0
x
f y dy fk x = 0
x
fk−1 y dy よって
f2 x = 0
x
f1 y dy= 0
x
0
y
f t dt dy= 0
x
t
x
f t dy dt= 0
x
f y (x − y)dy となる。
(2) fk x =
1
k−1 ! 0
x
f y x − y k−1
dy k≧２を示せ。
証明
数学的帰納法により示す。(1)によりk=2の時は成立する。k=nのとき成り立つとすると
fn+1 x = 0
x
fn y dy=
1
n−1 ! 0
x
0
y
f t x − t n−1
dt dy
1
n−1 ! 0
x
t
x
f t x − t n−1
dy dt 0≦t≦y≦
=
1
n−1 ! 0
x
0
y
f t [ y − t n
]y=t
x
dt=
1
n ! 0
x
f t x − t n
dt よってt=n+1の時も正しい。
(3)g0 x = exp −cx c > 0 とする。g1 x , g2 x … が gk
′
x = −cgk x + gk−1 x gk 0 = 0 k ≧ 1を満たすとする。
1 g1 x を求めよ。
計算
g0 x = exp −cx から
g1
′
x = −cg1 x + exp −𝑐𝑥 ⇆ 𝑐𝑒𝑥𝑝 𝑐𝑥 g1 x + exp(𝑐𝑥)g1′ x = 1⇆(exp(𝑐𝑥)g1 x )’=1⇆exp(cx)g1 x =x+C
gk 0 = 0 からC＝０
2 gk x k≧１を求めよ。
gk x =
1
k!
𝑥 𝑘
exp(−𝑐𝑥)
帰納法で示す。K=1は正しい。k=nの時成り立つとすると、
gk+1
′
x = −cgk+1 x + gk x ⇆cexp(cx)gk+1 x +exp(cx) gk+1
′
(𝑥) =
1
𝑛!
𝑥 𝑛
⇆(epx(cx)gk+1 x )’=
1
𝑛!
𝑥 𝑛
epx(cx)gk+1 x =
1
(𝑛+1)!
𝑥 𝑛+1
+C’ gk 0 = 0 C’=0よってk=n+1の時も成り立つ。